Файл: В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные работы №4, 5, 6 и методические указания для студентов 2 курса заочной формы обучения.pdf

Скачать файл (0,38Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 102

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

(u2 + 2)− 2 + 2u

= 1 −

2u + u2

u2 + 2

u2 + 2 u2 + 2

Итак

I =

2∫

du =

−

∫

2du

2udu

arctg

u2 + 2

2 ∫du

∫

= 2u −

+ 2

+ 2 ln(u2 + 2)+ c = 2 x +1 − 4

arctg

x +1 + 2 ln x + 3 + c .

Здесь ∫du и ∫

табличные, а

u2 +

+ 2)

2udu

∫

d(u

= ln(u2 + 2)+ c .

+ 2

u + 2

В пункте в приведены интегралы от дробнорациональных функций, метод интегрирования которых приведён в литературе [1, гл. YII,

с. 303-311; 7, гл. IX, с. 235-245].

Пример. Найти ∫			x2 −		2	dx.
	x	3	− 4x	2	+ 3x

Подынтегральная функция является правильной дробно - рациональной функцией, так как степень числителя меньше степени знаменателя. Для разложения её в сумму простейших дробей найдём корни знаменателя x3 − 4x2 + 3x = x(x2 − 4x + 3)= 0. Тогда x = 0,x =1,x = 3 . Так как корни действительные и различные числа, разложение имеет

вид	x2 − 2	=	A	+		B		+	C		. Для нахождения неопределённых ко-
	x3 − 4x2 + 3x		x			x −	1		x −	3

эффициентов A,B,C					приводим к общему знаменателю выражение в

правой части и приравниваем числители

x2 − 2 = A(x −1)(x − 3)+ Bx(x − 3)+ Cx(x −1).

Подставляя в это равенство корень x = 0, получаем − 2 = 3A A = − 23 .

При x =1, получаем −1 = −2B B =	1	. При x = 3 , получаем
	2

7 = 6C C = 76 . Заменяя подынтегральное выражение, получаем

−

∫

dx = ∫

dx = − 2 ∫dx + 1 ∫

+ 7 ∫

x −1

x −

− 4x

+ 3x

3 x 2 x −1 6 x −

= −

∫

d(x −1)

∫d(x − 3)

= −

2 ln x +

1 ln x −1 +

7 ln x − 3 + C =

3 x 2 x −1

6 x − 3

= ln

x −1 6 (x − 3)7

+ C.

3 x2

Для нахождения площадей плоских фигур и объёмов тел вращения в задачах № 31-60 рекомендуется изучить литературу [1, гл.8, с. 340-344, 347; 3, гл.6, с. 340-346; 4, гл.12, с. 416-418,426; 6, гл.5, с. 189,199; 7, гл.10, с. 269-271].

При вычислении интегралов в этих задачах и в дальнейшем можно пользоваться таблицей интегралов в справочниках [10, с. 841-851; 11,

с. 114-156].

Пример. Найти площади частей, на которые круг x2 + y2 = 12 делится параболой y = x2 .

Сделаем схематический чертёж ( рис.5) и найдём точки пересечения этих линий

						2	+ y		2	= 12						2	= 12 − y			2
				x			+ y			= 12				x			= 12 − y				12	− y2 = y
								2								2					12	− y2 = y
								2								2	= y
				y = x										x			= y
				y2 + y − 12 = 0 y = − 1 ± 1 + 48 = − 1 ± 7 , y = 3.
																			2			2
	В	точке			пересечения								x2 = 3 x1 = −								3, x2 =			.		Площадь						меньшей
	В	точке			пересечения								x2 = 3 x1 = −								3, x2 =		3	.		Площадь						меньшей
части
		3								3				x								x					3			x3		3
																																3

S1 =		∫	12 − x2 dx −							∫ x2dx =							12 − x2 + 6 arcsin												−			=
S1 =		∫	12 − x2 dx −							∫ x2dx =					2		12 − x2 + 6 arcsin					12							−	3		=
	−	3								− 3					2							12				−		3		3	−	3
		3								− 3																−		3			−	3
=	3	12 − 3 + 6 arcsin									3	−			−		3	12	− 3		− 6 arcsin				3			−
=	2	12 − 3 + 6 arcsin									12	−			−	2		12	− 3		− 6 arcsin			12				−
	2										12					2								12
−	3	3	−	− 3		3							π		− 2 3 = 3 + 2π.
−	3		−	3			= 3 3 + 12						6		− 2 3 = 3 + 2π.
	3			3									6

			13
y	y = x2		y
	y = x2		y = x
			y = x
		x	x
x2	+ y2	=12	x
x2	+ y2	=12
Рис.5			Рис.6

При вычислении интеграла ∫ 12 − x2 dx мы воспользовались справочником [10] (интеграл № 51) или [11] (интеграл № 157).

Площадь большей части S2 = πr2 −S1 = π 12 − 3 − 2π = 10π − 3 .

Пример. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x sinx, 0 ≤ x ≤ π .

Сделаем схематический чертёж ( рис.6) и найдём точки пересечения

этих линий y = x	x − x sinx =
y = x	sinx
	π

0, x1 = 0, 1 − sinx = 0, sinx = 1, x2 = π2 .

			b	b
V = V1 − V2 = π∫y12dx − π∫y22dx = π∫2 x2dx − π∫2 x2 sin xdx =
			a	a		0			0
		3			π			3
	x	3			2		π	3
= π	x		− 2xsin x + (x2	− 2)cosx		= π	π		− π + 2	,
= π			− 2xsin x + (x2	− 2)cosx		= π			− π + 2	,
	3						24
	3				0		24
					0
∫x2 sin xdx = 2xsin x −(x2 − 2)cosx.

При нахождении длины дуги в задачах № 61-90 следует помнить, что дифференциал длины дуги выражается различными формулами [1,

гл.8, с. 347-352; 4, гл.12, с. 432-436; 7, гл.10, с.270].

1. ds = 1 + (y′x )2 dx , если линия задана в декартовых координатах;

2. ds = (x′t )2 + (y′t )2 dt , если линия задана параметрически

x = x(t), y = y(t);

3. ds = r2 + (r′(θ))2 dθ, если линия задана в полярных координатах

r = r(θ).


Пример. Найти длину дуги кривой r = cos2 θ												,	0 ≤ θ ≤					π .
										θ	2				θ		1	2
Вычисляем ds = r2			+ (r′(θ))			2	dθ, rθ′		= 2cos	θ					θ		1	.
Вычисляем ds = r2			+ (r′(θ))				dθ, rθ′		= 2cos	2	− sin				2		2	.
										2					2		2
r2 + (r′(θ))	2	= cos4	θ	+ cos2	θ		sin2	θ	= cos2	θ				θ		+ sin2			θ	= cos2	θ	,
r2 + (r′(θ))		= cos4	2	+ cos2	2		sin2	2	= cos2	2	cos2			2		+ sin2				= cos2	2	,
			2		2			2		2				2					2		2

ds = cos2 θ2dθ = cos θ2 dθ,

ππ

2	θ	dθ = 2sin	θ	2		π		= 2	2	= 2 .

S = ∫cos					= 2 sin		− sin0
0	2		2	0		4			2

При решении задач № 91-120 необходимо изучить криволинейные интегралы второго рода (по координатам) и научиться их вычислять в зависимости от задания пути интегрирования [2, с. 82-89; 3, с. 472-479; 5, с.217-226].

r	Пример.		r	Вычислить		работу,	совершаемую	силой
				r	при перемещении некоторой массы по дуге
F = (x2		− 2xy)i + (y2 − 2xy)j
параболы y = x2				от точки A(1,1) до точки B(-1,1).
	Составляем криволинейный интегралA =						∫ (x2 − 2xy)dx + (y2 − 2xy)dy .
Так как y = x2 , то y′ = 2x,							AB
					dy = 2xdx , и при движении массы из точки A

в точку B x принимает значения от 1 до -1, которые и будут пределами интегрирования по одной переменной x . Следовательно, имеем

A =		∫ (x	2	− 2xy)dx + (y	2	− 2xy)dy			=		1					2	− 2x			3				2	)	2	− 2x			x	2
A =		∫ (x		− 2xy)dx + (y		− 2xy)dy			=		∫		(x				− 2x				)+ (x				)		− 2x			x		2x dx =
		AB									−1
	1						x	3				2x		4				2x	6			4x	5	1				14
	1							3						4					6				5	1
=	∫	(x2 − 2x3 + 2x5 − 4x			4 )dx =					−					+					−						=			.
=	∫	(x2 − 2x3 + 2x5 − 4x			4 )dx =		3			−					+		6			−		5				=		15	.
	−1						3						4				6					5		−1				15
																								−1

r	Пример.	Вычислить работу,	совершаемую		переменной	силой
r	r	r
F = −y2x i + x2y j при перемещении некоторой массы по дуге кривой,
заданной параметрически x = cost,			y =	sin t , от точки A до точки B с
соответствующими значениями параметра t1 = 0, t2					= π .
					2
	Составляем криволинейный интеграл			A = ∫ (− xy2 )dx + x2ydy		и сво-
				AB

дим его к определённому интегралу по t . Для этого находим дифференциалы

dx = d(	cost)=	− sin t	sin t)=	cost
		2 cost dt, dy = d(		2 sin t dt .

После подстановки вместо x, y,dx,dy их выражений через t криволи-

нейный интеграл превращается в определённый интеграл по переменной t , то есть

(− sin t)

cost

+ cost

sin t

cost

A = ∫

− sin t

2 cost

dt =

2 sin t

dt =

∫(sin2 t + cos2 t)dt =

∫

Пример.

Вычислить

работу,

совершаемую силой

− 3xy j

F = x2

при перемещении некоторой массы из точки A(1,2) в точку B(4,0) по прямой линии.

Напишем уравнение прямой AB, используя уравнение прямой, про-

ходящей через две данные точки															y − y1				=	x − x1						. Получим
ходящей через две данные точки																			=							. Получим
														y2 − y1						x2 − x1
y − 2	= x − 1,			y − 2 = x − 1, y = −										2		(x − 1)+ 2, y = −											2 x + 8				, dy = −			2 dx .
0 − 2 4 − 1				− 2					3					3													3			3				3
Искомая работа равна												4								2				8				2
						2						4			2					2				8				2
			A = ∫x				dx	−	3xydy = ∫ x							− 3x −					x +				−				dx			=
			A = ∫x				dx	−	3xydy = ∫ x							− 3x −				3	x +				−				dx			=
				AB								1								3				3				3
4		x3		16x						1	x3		16				x2	4				1	(64 −				1)+		8	(16			− 1)= 33 .
4		x3		16x						1	x3		16				x2	4				1							8
= ∫	−		+		dx =				−			+							= −
= ∫	−	3	+	3	dx =				−	3	3	+	3				2		= −			9							3
1		3		3						3	3		3				2	1				9							3
																		1

Смотрите также файлы

В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные задания и методические указания.pdf

В.М. Волков Математика и математика в экономике. Контрольные задания №3, 4 и методические указания для студентов заочной формы обучения экономических специальностей 1 курса (2 семестр).pdf

В.А. Гоголин Финансовая математика.pdf

А.В. Бирюков Энтропия, информация, кодирование.pdf

А.В. Бирюков Статистический анализ и факторный эксперимаент.pdf

Файл: В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные работы №4, 5, 6 и методические указания для студентов 2 курса заочной формы обучения.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно