Файл: В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные работы №4, 5, 6 и методические указания для студентов 2 курса заочной формы обучения.pdf

20

Общее решение однородного уравнения

Таблица 3

Вид общего решения однородного

Корни характеристического урав-

уравнения

нения

1.

y0 = c1ek1x + c2ek 2x

k1,k2 -вещественные, k1 ≠ k2

2.

y0 = (c1 + c2x)ekx

k1,k2 -вещественные, k1 = k2

3.

y0 = (c1 cosβx + c2 sinβx)eαx

k1,k2 -комплексные,

k1 = α + βi, k2 = α − βi

Частное решение неоднородного уравнения

Таблица 4

Вид правой части неоднородного

Вид частного решения

дифференциального уравнения

f (x)= eax Pn (x), Pn (x)-

многочлен

y = xr eax Qn (x), где

степени n

0, еслиa неявляетсякорнем

характерист. уравнения

1,еслиa равноодномукорню

r =

характерист. уравнения

2,еслиоба корняхарактерист.

уравненияравныa

Qn (x)- многочлен степени n с не-

определёнными коэффициентами

f (x)= eax (Pn (x)cosbx + Qm (x)sinbx),

y = xr eax (SN (x)cosbx + ZN (x)sinbx)

Pn (x)- многочлен степени n,

0, еслиa + bi неявляетсякорнем

Qm (x)- многочлен степени m

характерист. уравнения

r =

1,еслиa + bi равноодномукорню

характерист. уравнения

N равно наибольшей из степеней

n и m

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′ + 8y′ + 16y = 2xe−4x ,

удовлетворяющее

начальным

условиям

y(0)= 1, y′(0)= 2.

Y′′ = −4e

−4x

(− 4Ax3 + x2 (− 4B + 3A)+ 2Bx)+ e−4x (12Ax2 + 2x(− 4B + 3A)+

+ 2B) = e−4x (16Ax3 + x2 (16B − 24A)+ x(− 16B + 6A)+ 2B).

Подставив эти значения в наше уравнение, получим

e−4x

(16Ax3 + x2 (16B − 24A)+ x(− 16B + 6A)+ 2B)+ 8e−4x (−4Ax3 +

+ x2 (− 4B + 3A)+ 2Bx) + 16e−4x (Ax3 + Bx2 )= 2xe−4x .

Сократим на e−4x и сгруппируем члены с x3 , x2 , x, x0 :

x3 (16A − 32A +16A)+ x2 (16B − 24A − 32B + 24A +16B)+

+ x(−16B + 6A +16B)+ 2B = 2x

или

6Ax + 2B = 2x .

6A = 2,

1

A =

,

3

2B

= 0.

B = 0.

1 = c1 ,

c1 = 1,

2

= −4c1

+ c2 .

= 6.

c2

k2 + 6k + 13 = 0 .

Его корни k1,2

= − 6 ± 36 − 52 = − 6 ±

− 16 =

− 6 ± 4i

= −3

± 2i .

2

2

2

Согласно табл. 3 α = −3, β = 2, то есть

y0 = e−3x (c1 cos2x + c2 sin 2x).

f (x)= 4sin5x , то

Для определения Y используем табл.

4. Так как

a = 0, b = 5, P0 (x)= 0, Q0 (x)= 4, r = 0 . Следовательно:

Y = A cos5x + Bsin5x .

Для определения A, B подставим Y в первоначальное уравнение

Y′ = −5A sin5x + 5B cos5x ,

Y′′ = −25A cos5x − 25B sin5x .

Тогда уравнение примет вид

(

)

−

25A cos5x −

25B sin5x + 6

− 5A sin5x + 5Bcos5x

+

+

(

)

= 4sin5x.

13 A cos5x + B sin5x

− 12A + 30B

= 0,

A =

30

B =

5

B,

− 30

5

B − 12B = 4, B = −0,115,

= 4.

12

2

2

− 30A − 12B

A = 5 (− 0,115)= −0,046. Y = −0,115cos5x − 0,046sin5x .

2

Общее решение нашего уравнения имеет вид

y = e−3x (c1 cos2x + c2 sin 2x)− 0,115cos5x − 0,046sin5x .

Отсюда

y′ = −3e−3x (c1 cos2x + c2 sin 2x)+ e−3x (− 2c1 sin 2x + 2c2 cos2x)+

+ 0,575sin5x − 0,23cos5x.

Найдём из начальных условий y(0)= 0,235;

y′(0)= 0 постоянные c1 , c2 .

0,235 = c1

− 0,115,

c1 = 0,35,

2c2 − 0,23.

0 = −3c1 +

c2 = 0,64.

y

y

M(x,y

y

M(x, y

B

K

K

M(x,y)

K

B

α

α

O

α

C

O

A

x

B

C

A

x

O

A

C

x

Рис.7

Рис.8

AM

Рис.9

= tg(π − α)= −tgα ,

tgα = AM , AC = AM =

y

AC =

y

,

AC

AC

tgα

y′

y′

y

OC = AC − x =

y

− x,

OC = x − AC = x −

y

,

AC = −

,

y′

y′

y′

24

OB = tgα = y′,

OB = tgα = y′,

OC = x + AC = x −

y

,

y′

OC

OC

OB = OC y′ = y − xy′.

OB = xy′ − y .

OB

= −y′, OB = −xy′ + y .

OC

OB - отрезок, отсекаемый касательной на оси oy .

OC - отрезок, отсекаемый касательной на оси ox .

OM - радиус-вектор точки касания M,

OM =

x2 + y2

.

(рис. 10). CM - касательная, tgα = y′,

ED - нормаль, β = π − α.

y

E

M(x, y)

K

β

α

O

C

A

D

x

Рис. 10

По условию EM = MD,

OA = AD,

OK = KE,

OD = 2x,

OE = 2y,

OE = tgβ,

2y = tg(π − α)= ctgα =

1

=

1

.

tgα

OD

2x

y′

Получаем дифференциальное уравнение кривой:

y =

1

, y′ = x ,

dy

= x

,

ydy = xdx,

y2

= x2

+ c.

dx

2

x

y′

y

y

2

Найдём c из условия, что линия проходит через точку M0 (0,1).

1 = 0 + c,

c =

1 .

2

2

Уравнение искомой кривой имеет вид

y2

= x2

+

1 или y2 − x2 = 1.

2

2

2