Файл: В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные работы №4, 5, 6 и методические указания для студентов 2 курса заочной формы обучения.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 105

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

16

Контрольная работа №6

Данная контрольная работа включает в себя задачи по теме «Дифференциальные уравнения».

В задачах № 1-30 при отыскании общего решения дифференциального уравнения первого порядка следует использовать литературу [1,

с.105-107, 110-111, 118-120; 2, с. 22-27, 30-34; 3, с. 198-203; 4, с. 568575; 5, с. 389-394].

Перед решением задач нужно определить тип уравнения и метод решения, при этом можно руководствоваться табл.1.

Таблица 1 Классификация дифференциальных уравнений первого порядка

Тип

дифферен-

Вид уравнения

Метод решения

циального

урав-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нения

первого

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. С

разделяю-

dy

= f1(x) f2 (y)

 

∫

dy

= ∫f1(x)dx

 

dx

f2 (y)

 

щимися

пере-

 

 

 

 

 

 

менными

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Однородное

dy

= f

Подстановка

y

= u, y = ux ,

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

y′ = u′x + u

приводит к

 

 

 

 

 

уравнению первого типа

3. Линейное

 

dy

+ P(x)y = Q(x)

Подстановка y = u(x) v(x)

 

 

 

dx

приводит к уравнениям

 

 

 

 

 

первого типа

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

+ P(x) v = 0,

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

v = Q(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Найти общее решение уравнения siny′x = y .

Так как y′ = dydx , то получаем уравнение dydx = y sinx - уравнение пер-

вого типа. Разделяем переменные :

dyy = sinx dx, ∫ dyy = ∫sinxdx, ln y = −cosx + c,

17

где c - произвольная постоянная. Можно оставить решение в таком виде или выразить y в явном виде

y = e− cos x+c .

y

Пример. Найти общее решение уравнения y′ = ex + xy .

Это уравнение второго типа, однородное, следовательно, делаем

подстановку

y

= u, y = ux, y′ = u′x + u . Уравнение примет вид

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du x = eu ,

du

 

= eu .

 

 

 

u′x + u = eu + u,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

dx

 

x

Получили уравнение с разделяющимися переменными:

 

 

 

du

=

dx

,

∫

du

=

∫

dx

, − e−u

= ln

 

x

 

+ lnc .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eu

 

x

 

eu

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь мы обозначили произвольную постоянную не c , а lnc для удобства записи:

− e−u = ln

 

 

 

, u = y

− e−

y

= ln

 

cx

 

.

 

cx

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Можно оставить решение в таком виде, а можно y выразить явно:

e−

y

= −ln

 

cx

 

, e−

y

= ln

1

, − y

= lnln

1

 

, y = −xlnln

1

 

.

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cx

x

 

 

cx

 

 

cx

 

 

 

 

 

 

Пример. Найти общее решение уравнения y′ + 2y = x .

 

 

 

 

Это линейное уравнение P(x)= 2,

Q(x)= x (табл.1). Делаем подста-

новку y = u(x) v(x), y′ = u′v + uv′. Подставив эти соотношения в исход-

ное уравнение, получаем u′v + uv′ + 2uv = x . Одну из функций находим из уравнения

 

 

uv′ + 2uv = 0,

dv + 2v = 0 ,

 

 

 

 

 

dx

 

 

тогда вторая функция u определяется из уравнения u′v = x .

 

Решая первое уравнение, находим функцию v , то есть

 

 

dv = −2v,

dv

= −2dx, ∫ dv = −∫ 2dx, ln

 

v

 

= −2x,

v = e−2x

,

 

 

dx

v

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

произвольную постоянную для v полагаем равной нулю. Получаем уравнение для нахождения функции u:

18

du

e

−2x

= x,

du =

x

 

dx, du = x e

2x

dx, ∫du = ∫x e

2x

dx,

dx

 

e−2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u =

1 x e2x −

1

∫e2xdx =

1 x e2x −

1 e2x

+ c .

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

4

 

 

 

Решение исходного уравнения имеет вид

y = uv = 12 xe2x − 41 e2x + c e−2x .

В задачах № 31-60 для решения дифференциальных уравнений второго порядка следует изучить литературу [1, с. 126-131; 2, с. 58-63; 3,

с. 210-212; 4, с. 582-585; 5, с. 397-400].

Уравнения второго порядка допускают понижение порядка ( то есть сводятся к уравнениям первого порядка) в двух случаях (табл.2).

Таблица 2 Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие пони-

жение порядка

Вид уравнения

Подстановка,

применяемая

 

для понижения порядка

1. y′′ = f (x, y′) - уравнение в явном виде не

y′ = u(x), y′′ =

du .

содержит функцию y .

 

dx

2. y′′ = f (y, y′) - уравнение в явном виде не

y′ = u(y), y′′ = u du .

содержит переменную x .

 

dy

Пример. Найти общее решение уравнения 1 + y′ = y′′ x.

Это уравнение не содержит в явном виде функциюy , делаем под-

становку y′ = u(x),

 

y′′ =

du . Уравнение примет вид

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

du

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + u = dx x

 

 

 

dx

= (1 + u)x .

Разделим переменные:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

= dx ,

∫

du

= ∫ dx, ln

 

1 + u

 

= ln

 

x

 

+ lnc1 , ln

 

1 + u

 

= ln

 

c1x

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + u

x

 

1 + u

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + u = c1x, u = c1x − 1.

Так как u = dy , получаем dy = c1x − 1,

 

dy = (c1x − 1)dx .

 

 

dx

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

Интегрируя это равенство, получим общее решение исходного уравнения

y = c1 x2 2 − x + c2 .

Пример. Найти общее решение уравнения y′′ y2 = (y′)3 .

Это уравнение не содержит в явном виде переменную x , применяем

подстановку y′ = u(y),

y′′ = u

du .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение примет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= u3 ,

 

 

 

= u2 .

 

 

 

 

 

 

u du

y2

= u

3 , u du

du

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

y2

dy

y2

 

 

 

Это уравнение с разделяющимися переменными:

 

 

 

 

 

 

 

du

=

dy

,

 

∫

du

=

∫

dy

, −

1

 

= −

1

 

+ c1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

y

 

 

 

 

 

 

 

u2

 

y2

 

 

u2

 

y2

 

 

 

 

 

 

Отсюда находим, что u =

 

 

y

 

, так как u = dy

, то dy

=

y

.

1

− c1y

1 − c1y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

dx

 

 

Разделяя переменные, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − c

y

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− c1y = x + c2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

dy = dx,

 

 

∫

 

− c1

dy = ∫dx,

ln

y

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это общий интеграл уравнения, y выразить в явном виде отсюда невозможно.

В задачах № 61-90 использую приёмы решения дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, изложен-

ные в литературе [1, с. 135-144; 2, с. 77-82, 84-94; 3, с. 224-233; 4, с. 597-607; 5, с. 400-410].

Для нахождения общего решения однородного дифференциального уравнения используют табл. 3, а для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения - табл. 4.

Смотрите также файлы