Файл: В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №7, 8 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса.pdf

16

u′x + u = eu + u,

du

x = eu ,

du

= eu .

dx

dx

x

du

=

dx

,

∫

du

= ∫

dx

, − e−u = ln

x

+ lnc .

eu

x

eu

x

− e−u = ln

, u = y

− e−

y

= ln

cx

.

cx

x

x

Можно оставить решение в таком виде, а можно y выразить явно

e−

y

= −ln

cx

, e−

y

= ln

1

, − y = lnln

1

, y = −xlnln

1

.

x

x

cx

x

cx

cx

Пример. Найти общее решение уравнения y′ + 2y = x .

Это линейное уравнение

P(x)= 2,

Q(x)= x (табл.1). Делаем

исходное уравнение,

получаем

u′v + uv′ + 2uv = x . Одну из

функций

находим из уравнения

dv + 2v = 0 ,

uv′ + 2uv = 0,

dx

тогда вторая функция u определяется из уравнения u′v = x .

Решая первое уравнение, находим функцию v , то есть

dv = −2v,

dv

= −2dx, ∫ dv

= −∫ 2dx, ln

v

= −2x, v = e−2x

,

dx

v

v

du

e

−2x

= x,

du =

x

dx, du = x e

2x

dx, ∫du = ∫x e

2x

dx,

dx

e−2x

u =

1 x e2x −

1

∫e2xdx =

1 x e2x −

1 e2x

+ c .

2

2

2

4

Вид уравнения

Подстановка,

применяемая

для понижения порядка

1. y′′ = f (x, y′) - уравнение в явном виде не

y′ = u(x), y′′ =

du .

содержит функцию y .

dx

2. y′′ = f (y, y′) - уравнение в явном виде не

y′ = u(y), y′′ = u du .

содержит переменную x .

dy

подстановку y′ = u(x),

y′′

= du

. Уравнение примет вид

dx

du

du

1

1 + u = dx

x

dx

= (1 + u)x .

Разделим переменные

du

= dx ,

∫

du

= ∫ dx, ln

1 + u

= ln

x

+ lnc1 , ln

1 + u

= ln

c1x

,

1 + u

x

1 + u

x

1 + u = c1x, u = c1x − 1.

Так как u = dy , получаем

dy = c1x − 1,

dy = (c1x − 1)dx .

dx

dx

подстановку y′ = u(y),

y′′ = u

du .

dy

Уравнение примет вид

= u3 ,

= u2 .

u du

y2

= u

3 , u du

du

dy

dy

y2

dy

y2

Это уравнение с разделяющимися переменными

du

=

dy

,

∫

du

=

∫

dy

, −

1

= −

1

+ c1 .

u

y

u2

y2

u2

y2

Отсюда находим, что u =

y

, так как u = dy

, то dy

=

y

.

1

− c1y

1 − c1y

dx

dx

Разделяя переменные, получим

1 − c

y

1

− c1y = x + c2 .

1

dy = dx,

∫

− c1

dy = ∫dx,

ln

y

y

y

Таблица 3

Общее решение однородного уравнения

Вид общего решения однородного

Корни

характеристического

уравнения

уравнения

1.

y0

= c1ek1x + c2ek 2x .

k1 ,k2

-вещественные, k1 ≠ k2 .

2.

y0

= (c1 + c2x)ekx .

k1 ,k2

-вещественные, k1 = k2 .

3.

y0

= (c1 cosβx + c2 sinβx)eαx .

k1 ,k2

-комплексные,

k1 = α + βi, k2 = α − βi .

записать в виде y = y0 + Y , где

y0 -

общее решение однородного

уравнения

y′′ + 8y′ + 16y = 0 ,

Таблица 4

Частное решение неоднородного уравнения

Вид правой части неоднородного

Вид частного решения

дифференциального уравнения

f (x)= eax Pn (x), Pn (x)- многочлен

y = xr eax Qn (x), где

степени n .

0, еслиa неявляетсякорнем

характерист. уравнения

1,еслиa равноодномукорню

r =

характерист. уравнения

2,еслиоба корняхарактерист.

уравненияравныa

Qn (x)- многочлен степени n с не-

определёнными коэффициентами

f (x)= eax (Pn (x)cosbx + Qm (x)sinbx),

y = xr eax (SN (x)cosbx + ZN (x)sinbx)

Pn (x)- многочлен степени n ,

0, еслиa + bi неявляетсякорнем

Qm (x)- многочлен степени m .

характерист. уравнения

r =

1,еслиa + bi равноодномукорню

характерист. уравнения

N равно наибольшей из степеней

n и m .