Файл: В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №7, 8 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 94
Скачиваний: 0
|
16 |
|
|
|
u′x + u = eu + u, |
du |
x = eu , |
du |
= eu . |
|
dx |
|
dx |
x |
Получили уравнение с разделяющимися переменными
du |
= |
dx |
, |
∫ |
du |
= ∫ |
dx |
, − e−u = ln |
|
x |
|
+ lnc . |
|
|
|
||||||||||||
eu |
x |
eu |
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь мы обозначили произвольную постоянную не c , а lnc для удобства записи
− e−u = ln |
|
|
|
, u = y |
− e− |
y |
= ln |
|
cx |
|
. |
|
cx |
|
x |
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Можно оставить решение в таком виде, а можно y выразить явно |
|||||||||||
e− |
y |
= −ln |
|
cx |
|
, e− |
y |
= ln |
1 |
, − y = lnln |
1 |
|
, y = −xlnln |
1 |
|
. |
|||||
x |
x |
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cx |
x |
|
|
cx |
|
|
cx |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Пример. Найти общее решение уравнения y′ + 2y = x . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Это линейное уравнение |
P(x)= 2, |
Q(x)= x (табл.1). Делаем |
|||||||||||||||||||
подстановку y = u(x) v(x), y′ = u′v + uv′. Подставив эти соотношения в
исходное уравнение, |
получаем |
u′v + uv′ + 2uv = x . Одну из |
функций |
||||||
находим из уравнения |
|
dv + 2v = 0 , |
|
||||||
|
|
uv′ + 2uv = 0, |
|
||||||
|
|
|
|
dx |
|
||||
тогда вторая функция u определяется из уравнения u′v = x . |
|
||||||||
Решая первое уравнение, находим функцию v , то есть |
|
||||||||
dv = −2v, |
dv |
= −2dx, ∫ dv |
= −∫ 2dx, ln |
|
v |
|
= −2x, v = e−2x |
, |
|
|
|
||||||||
dx |
v |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
произвольную постоянную для v полагаем равной нулю. Получаем уравнение для нахождения функции u
du |
e |
−2x |
= x, |
du = |
x |
|
dx, du = x e |
2x |
dx, ∫du = ∫x e |
2x |
dx, |
|||
dx |
|
e−2x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
u = |
1 x e2x − |
1 |
∫e2xdx = |
1 x e2x − |
1 e2x |
+ c . |
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
Решение исходного уравнения имеет вид
y = uv = 12 xe2x − 41 e2x + c e−2x .
17
В задачах № 31-60 для решения дифференциальных уравнений второго порядка следует изучить литературу [1, с. 126-131; 2, с. 58-63; 3, с. 210-212; 4, с. 582-585; 5, с. 397-400].
Уравнения второго порядка допускают понижение порядка ( то есть сводятся к уравнениям первого порядка) в двух случаях (табл.2).
Таблица 2 Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие
понижение порядка
Вид уравнения |
Подстановка, |
применяемая |
|
для понижения порядка |
|
1. y′′ = f (x, y′) - уравнение в явном виде не |
y′ = u(x), y′′ = |
du . |
содержит функцию y . |
|
dx |
2. y′′ = f (y, y′) - уравнение в явном виде не |
y′ = u(y), y′′ = u du . |
|
содержит переменную x . |
|
dy |
Пример. Найти общее решение уравнения 1 + y′ = y′′ x.
Это уравнение не содержит в явном виде функциюy , делаем
подстановку y′ = u(x), |
y′′ |
= du |
. Уравнение примет вид |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
du |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 + u = dx |
x |
|
dx |
= (1 + u)x . |
||||||||||||||||
Разделим переменные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
du |
= dx , |
∫ |
du |
= ∫ dx, ln |
|
1 + u |
|
= ln |
|
x |
|
+ lnc1 , ln |
|
1 + u |
|
= ln |
|
c1x |
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 + u |
x |
|
1 + u |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + u = c1x, u = c1x − 1. |
|||||||||||||||||||
Так как u = dy , получаем |
dy = c1x − 1, |
|
dy = (c1x − 1)dx . |
|||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя это равенство, получим общее решение исходного уравнения
y = c1 x2 2 − x + c2 .
Пример. Найти общее решение уравнения y′′ y2 = (y′)3 .
18
Это уравнение не содержит в явном виде переменную x , применяем
подстановку y′ = u(y), |
y′′ = u |
du . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнение примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= u3 , |
|
|
|
|
= u2 . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
u du |
y2 |
= u |
3 , u du |
du |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
y2 |
dy |
y2 |
|
|
|
||||||||
Это уравнение с разделяющимися переменными |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
du |
= |
dy |
, |
|
∫ |
du |
= |
∫ |
dy |
, − |
1 |
|
= − |
1 |
|
|
+ c1 . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
y |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
u2 |
|
y2 |
|
|
u2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Отсюда находим, что u = |
|
|
y |
|
, так как u = dy |
, то dy |
= |
y |
. |
|||||||||||||||||||||
1 |
− c1y |
1 − c1y |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
||||||||
Разделяя переменные, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 − c |
y |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− c1y = x + c2 . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
dy = dx, |
|
|
∫ |
|
− c1 |
dy = ∫dx, |
ln |
y |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Это общий интеграл уравнения, y выразить в явном виде отсюда невозможно.
В задачах № 61-90 используются приёмы решения дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами,
изложенные в литературе [1, с. 135-144; 2, с. 77-82, 84-94; 3, с. 224-233; 4, с. 597-607; 5, с. 400-410].
Для нахождения общего решения однородного дифференциального уравнения используется табл. 3, а для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения используется табл. 4.
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
|
Общее решение однородного уравнения |
|||
|
|
|
|||
Вид общего решения однородного |
Корни |
характеристического |
|||
уравнения |
уравнения |
|
|||
1. |
y0 |
= c1ek1x + c2ek 2x . |
k1 ,k2 |
-вещественные, k1 ≠ k2 . |
|
2. |
y0 |
= (c1 + c2x)ekx . |
k1 ,k2 |
-вещественные, k1 = k2 . |
|
3. |
y0 |
= (c1 cosβx + c2 sinβx)eαx . |
k1 ,k2 |
-комплексные, |
|
|
|
|
k1 = α + βi, k2 = α − βi . |
||
19
Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения
y′′ + 8y′ + 16y = 2xe−4x ,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)= 1, y′(0)= 2.
Решение. Общее решение неоднородного уравнения можно
записать в виде y = y0 + Y , где |
y0 - |
общее решение однородного |
|
уравнения |
|
|
|
y′′ + 8y′ + 16y = 0 , |
|||
|
|
|
Таблица 4 |
Частное решение неоднородного уравнения |
|||
|
|
|
|
Вид правой части неоднородного |
|
Вид частного решения |
|
дифференциального уравнения |
|
|
|
f (x)= eax Pn (x), Pn (x)- многочлен |
|
y = xr eax Qn (x), где |
|
степени n . |
|
0, еслиa неявляетсякорнем |
|
|
|
|
характерист. уравнения |
|
|
|
|
|
|
1,еслиa равноодномукорню |
|
|
|
r = |
характерист. уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
2,еслиоба корняхарактерист. |
|
|
|
уравненияравныa |
|
|
|
|
|
|
Qn (x)- многочлен степени n с не- |
|
|
|
определёнными коэффициентами |
|
f (x)= eax (Pn (x)cosbx + Qm (x)sinbx), |
|
y = xr eax (SN (x)cosbx + ZN (x)sinbx) |
|
Pn (x)- многочлен степени n , |
|
0, еслиa + bi неявляетсякорнем |
|
Qm (x)- многочлен степени m . |
|
|
характерист. уравнения |
|
|
||
|
r = |
|
|
|
|
1,еслиa + bi равноодномукорню |
|
|
|
|
характерист. уравнения |
|
|
|
|
|
|
N равно наибольшей из степеней |
|
|
|
n и m . |
|