Файл: В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №7, 8 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса.pdf

20

которое определяется по табл. 3, а Y - частное решение неоднородного уравнения, которое определяется по табл. 4.

Для определения y0 составим характеристическое уравнение

k2 + 8k + 16 = 0 .

Его корни k1 = k2 = −4 . Следовательно, y0 = e−4x (c1 + c2x) .

Так как правая часть уравнения f (x) = 2xe−4x , то Y = x2 e−4x (Ax + B).

Здесь a = −4, Pn (x)= 2x, r = 2 .

Y = e−4x (Ax3 + Bx2 ).

Y′ = −4e−4x (Ax3 + Bx2 )+ e−4x (3Ax2 + 2Bx)= = e−4x (− 4Ax3 + x2 (− 4B + 3A)+ 2Bx).

Приравниваем коэффициенты многочленов, стоящих в левой и правой частях равенства, при одинаковых степенях x . Получаем систему уравнений для определения A, B .

Итак, Y = e−4x 13 x3 .

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y = e−4x (c1 + c2x)+ e−4x 13x3 , отсюда

21

Решение. Общее решение неоднородного уравнения можно записать в виде y = y0 + Y , где y0 - общее решение однородного

уравнения

y′′ + 6y′ + 13y = 0 ,

которое определяется по табл. 3, а Y - частное решение неоднородного уравнения, которое определяется по табл. 4.

Для определения y0 составим характеристическое уравнение

Приравнивая коэффициенты при cos5x и sin5x в левой и правой частях этого уравнения, получим систему

A = 52 (− 0,115)= −0,046. Y = −0,115cos5x − 0,046sin5x .

Общее решение нашего уравнения имеет вид

y = e−3x (c1 cos2x + c2 sin 2x)− 0,115cos5x − 0,046sin5x .

Отсюда

y′ = −3e−3x (c1 cos2x + c2 sin 2x)+ e−3x (− 2c1 sin 2x + 2c2 cos2x) + 0,575sin5x − 0,23cos5x.

Итак, искомое решение имеет вид

y = e−3x (0,35cos 2x + 0,64sin 2x)− 0,115cos5x − 0,046sin5x.

При решении задач № 91-120 рекомендуется изучить литературу [1,

с. 107-109, 111-113; 3, с. 191-193, 199; 4, с. 561-563, 585-587; 5, с. 411420]. Наибольшую трудность представляет составление дифференциальных уравнений, описывающих данную линию.

Задачи решаются с использованием геометрического смысла производной y′ = tgα , где α - угол наклона касательной к оси OX.

Пусть M(x,y) - точка касания, принадлежащая искомой кривой

(рис.8,9,10). OA=x, AM=y, CM - касательная к кривой

Пример. Кривая обладает тем свойством, что отрезок нормали, заключённой между осями координат и проведённый в любой точке кривой, делится этой точкой пополам. Записать уравнение кривой, проходящей через точку M0 (0,1).