Файл: В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №7, 8 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 84
Скачиваний: 0
16.a)
17.a)
18.a)
19.a)
20.a)
21.a)
22.a)
23.a)
24.a)
25.a)
26.a)
27.a)
28.a)
29.a)
30.a)
∫x ex 2 −3dx, |
|
|
|
|
||||
∫ |
2dx |
|
|
, |
|
|
|
|
4x − xlnx |
|
|
|
|
||||
∫ |
dx |
|
, |
|
|
|
|
|
1 + cos6x |
|
|
|
|
||||
|
sin 2x dx |
|
|
|
|
|||
∫ |
1 − cos2x , |
|
|
|
|
|||
∫ |
x2dx |
, |
|
|
|
|
|
|
x3 − 5 |
|
|
|
|
||||
|
4dx |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
2 − 6x2 , |
|
|
|
|
|||
∫ |
cosx dx, |
|
|
|
|
|||
3 sin2 x |
|
|
|
|
||||
∫x e−x 2 dx, |
|
|
|
|
||||
∫ |
sin x dx, |
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
x2dx |
, |
|
|
|
|
|
|
x6 − 1 |
|
|
|
|
||||
∫ |
cosx dx |
, |
|
|
|
|||
3 3 + 5sinx |
|
|
|
|||||
∫ |
dx |
, |
|
|
|
|
|
|
x ln3 x |
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
|
dx |
|
|
, |
|||
(arccosx)5 1 − x2 |
||||||||
∫ |
dx |
|
|
, |
|
|||
arctg3x (1 +x2 ) |
|
|||||||
∫ |
arcsin3 x |
dx |
, |
|
|
|||
1 − x2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
25
б)∫arctg x dx . б)∫x2 e3x dx.
б)∫ |
x |
|
|
|
dx . |
|||
2 |
x |
|||||||
|
sin |
|
|
|||||
б)∫x sin2 |
x |
dx . |
||||||
|
cos |
|
|
x |
|
|||
б)∫ |
|
4 + x |
dx . |
|||||
|
x +1 + 7 |
|||||||
б)∫ |
x + 2 dx . |
|||||||
|
x +11 |
|
||||||
б)∫ |
|
1 |
|
|
|
dx . |
||
|
3 + ex |
|
||||||
б)∫ |
ln2 x |
dx . |
||||||
x |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
б)∫ |
e3x |
|
|
dx . |
||||
1 − ex |
||||||||
|
|
|||||||
б)∫x2 e−2x dx .
б)∫ln(x + 1 + x2 ) dx .
б)∫x2 cosx dx .
б)∫ x ln2 x dx .
б)∫ |
x2 |
dx . |
|
|
x −1 |
б)∫x2 sin 2x dx .
26
31-60. Задачи на геометрические приложения определённого интеграла
31.Найти площади частей, на которые круг x2 + y2 ≤ 8 делится параболой y = 12 x2 .
32.Найти площадь фигуры, ограниченной линией y = x(x − 1)2 и осью
абсцисс Ox .
33.Найти длину дуги параболы y = x2 от точки x = 0 до точки x = 1.
34.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигу-
ры, ограниченной линиями y = 1 x2 и 2x + 2y − 3 = 0 . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35. |
Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигу- |
|||||||||||||
ры, ограниченной линиями y = 0 и y = sin2 x, |
(0 ≤ x ≤ π). |
|
|
|
|
|||||||||
36. |
Найти площадь фигуры, ограниченной параболами |
x2 + 8y = 8 |
и |
|||||||||||
x2 − 24y = 40 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
37. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линией y = lnx |
и прямыми |
||||||||||||
x = e, x = e2 , y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
38. |
Найти длину |
дуги кривой y = |
1 (3 − x) |
x |
между |
точками |
её |
|||||||
пересечения с осью Ox . |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
39. |
Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox |
|||||||||||||
фигуры, ограниченной линиями y = |
4x, |
y = 0, |
x = 1. |
|
|
|
|
|||||||
40. |
Найти длину дуги кривой y = lnx от точки x = |
3 до точки x = |
8 . |
|
|
|||||||||
41. |
Вычислить площадь |
криволинейной |
трапеции, ограниченной |
|||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
линией y = x − x |
2 |
|
и осью абсцисс Ox . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
42. |
Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигу- |
|||||||||||||
ры, ограниченной линиями y = x ex , |
x = 1, |
y = 0. |
|
|
|
|
||||||||
43. |
Найти площади фигур, |
на которые парабола y2 = 6x |
делит круг |
|||||||||||
x2 + y2 ≤ 16 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
44. |
Вычислить площадь фигуры, заключённой между линией y = |
1 |
|
|
||||||||||
1 + x2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и параболой y = 0,5x2 .
27
45. |
Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигу- |
||||||
ры, ограниченной линиями y = 0,5(x − 2)2 и y = 2 . |
|
|
|
|
|||
46. |
Найти длину дуги кривой x = 1 t6 , |
y = 4 − 1 t4 |
между точками её |
||||
|
|
6 |
4 |
|
|
|
|
пересечения с осями координат. |
|
|
|
|
|
||
47. |
Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигу- |
||||||
ры, ограниченной линиями y = e2x − 1, |
y = e−x + 1, |
x = 0. |
|
|
|||
48. |
Найти длину |
дуги кривой y = ln(1 − x2 ) от точки |
x = 0 |
до точки |
|||
x = 0,5 . |
|
|
|
|
|
|
|
49. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной |
линиями |
y = lnx |
и |
|||
y = ln2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
50. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линией |
y = arcsinx |
и |
||||
прямыми x = 0, |
y = π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
51. |
Найти длину дуги кривой x = et cost, |
y = et sin t |
от |
t = 0 |
до точки |
||
t= 1.
52.Найти объём тела, образованного вращением параболического сегмента с основанием 2a и высотой h вокруг высоты.
53. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = x + 1 и
y2 = 9 − x . |
|
|
|
|
|
|
|
54. |
Вычислить |
площадь |
фигуры, |
ограниченной |
|
линиями |
|
y = sinx, |
y = cosx, y = 0, |
x = 0, x = π . |
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
π . |
55. |
Найти длину дуги астроиды x = a cos3 t, |
y = a sin3 t, 0 ≤ t ≤ |
|||||
|
Найти длину дуги полукубической параболы y2 = x3 от |
2 |
|||||
56. |
начала |
||||||
координат до точки M(4,8). |
|
|
|
||||
57. |
Фигура ограничена кривой x = a cos t, |
y = a sin t, 0 ≤ t ≤ |
π |
и осями |
|||
координат Ox, Oy Найти объём тела вращения. |
2 |
|
|||||
|
|
||||||
58. |
Вычислить |
площадь |
фигуры, |
ограниченной |
|
линиями |
|
y = 2 x, |
y = |
x + 3 и осью Oy . |
|
|
|
||
59. |
Вычислить |
площадь |
фигуры, |
ограниченной |
|
кривыми |
|
y = ex − 1, y = e2x − 3, x = 0 . |
|
|
|
||||
28
60. найти |
площадь |
фигуры, |
ограниченной |
кривыми |
y = 1, y = 4, y = 2x, y = x . |
|
|
||
Криволинейные интегралы по длине дуги (I рода)
61-90. Найти массу m части линии l , линейная плотность которой меняется по закону γ
61. l - отрезок прямой от точки A(0,0) до точки B(4,3), γ = x − y .
62.l
63.l
64.l
65.l
66.l
67.l
68.l
69.l
70.l
71.l
x = t,
-дуга параболы y = 1 t2 ,
2
|
2 |
x = |
|
|
2 |
- дуга окружности |
2 |
|
|
y = |
2 |
|
0 ≤ t ≤ 1 , γ = 2y .
cost,
0 ≤ t ≤ π2 , γ = x + y .
sin t,
- дуга кривой y = lnx, |
3 ≤ x ≤ |
|
, γ = 4x2 . |
|
|
|
||||||||||||||
15 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
= |
( |
|
|
|
) |
, |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
x |
3 t |
− sin t |
|
|
π ≤ t ≤ 2π , γ = 6 y . |
|
||||||||||||||
- дуга арки циклоиды |
= |
( |
− |
|
|
) |
, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y |
|
3 1 |
|
cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
- отрезок прямой от точки A(0,−2) до точки B(4,0), γ = |
1 |
. |
||||||||||||||||||
x − y |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
- дуга параболы y2 = 2x, |
0 ≤ x ≤ 1 , γ = 2y . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
- дуга окружности x = 4cost, |
π |
≤ t ≤ π , |
γ = x + y . |
|
|
|
||||||||||||||
y = 4sin t, |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||
- часть эллипса x = cost, |
|
0 ≤ t ≤ π |
, |
|
γ = 2y . |
|
|
|
||||||||||||
y = 3sin t, |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 cost, |
|
|
0 ≤ t ≤ |
π |
, γ = 2x + y . |
|
|
|
||||||||||
- часть окружности x = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 sin t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
y = |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x = 2 |
t − sin t |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
- часть арки циклоиды |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
) |
, |
0 |
≤ t ≤ 2π , γ = |
2y . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y = 2 1 − cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x = |
1 cost, |
|
|
72. l - часть эллипса |
2 |
|
0 ≤ t ≤ π , γ = 3xy . |
|
1 |
sin t, |
|
y = |
3 |
|
|
|
|
|
|
73.l
74.l
75.l
76.l
77.l
29
- часть окружности x = 5cost, |
0 ≤ t ≤ π , γ = x . |
|
||||||
y = 5sin t, |
|
|
|
|||||
- часть эллипса x = 2cost, |
|
0 ≤ t ≤ π |
, γ = y . |
|
||||
y = 3sin t, |
|
|
|
|
|
|
||
- часть окружности x = cost, |
|
0 ≤ t |
≤ π , γ = 1 y . |
|
||||
y = sin t, |
|
|
2 |
|
||||
- часть арки циклоиды x = t − sin t, |
0 ≤ t ≤ π , γ = |
1 y . |
||||||
|
y = 1 − cost, |
|
2 |
|||||
x = t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
- часть параболы |
1 |
t |
2 |
, |
0 ≤ t ≤ 2 , γ = x . |
|
||
y = |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78.l - часть окружности x = 3cost, 0 ≤ t ≤ π , γ = 2y − x .
y = 3sin t,
79.l - отрезок прямой от точки O(0,0) до точки A(1,2), γ = x + y2 .
80.l - отрезок прямой от точки O(0,0) до точки A(4,2), γ = xy .
81.l - отрезок прямой от точки A(0,−2) до точки B(2,0), γ = x + y2 .
82. |
l |
- дуга параболы y2 = x, |
0 ≤ x ≤ 2 , γ = 2 |
x . |
|
|
|||||
83. |
l - отрезок прямой от точки A(0,1) |
до точки B(1,0), γ = 2y − x . |
|||||||||
84. |
l |
- часть параболы y = x2 , |
0 ≤ x ≤ 1 , γ = 2y . |
|
|
||||||
|
|
- часть эллипса x = 2cost, |
|
|
|
|
x |
|
|
||
85. |
l |
0 ≤ t ≤ |
π , γ = x . |
|
|
||||||
|
|
y = sin t, |
|
( |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= 4 t |
− sin t |
, |
|
|
|
|||
86. |
l |
- часть арки циклоиды |
|
( |
|
) |
, |
π ≤ t ≤ 2π , γ = |
y . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y |
= 4 1 |
− cost |
|
|
|
|
|||
87. |
l |
- отрезок прямой от точки A(1,3) |
до точки B(2,4), γ = |
2 y . |
|||||||
|
|
- часть параболы y = 1 x2 |
|
|
|
|
|
|
4y . |
|
x |
88. |
l |
, |
0 ≤ x ≤ 2 , γ = |
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
89. |
l - отрезок прямой от точки A(0,−1) до точки B(2,3), γ = xy . |
||||||||||
90. |
l |
- часть эллипса x = cost, |
|
0 ≤ t ≤ |
π , γ = 1 y . |
|
|
||||
|
|
y = 2sin t, |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|