Файл: В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №9, 10 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса.2003.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 100
Скачиваний: 0
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P(X = 1)= |
C13 C17 |
|
|
= |
7 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C102 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Событие X = 2 означает, что среди двух взятых билетов оба невыиг- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
рышных. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
P(X = 2)= |
|
= |
|
7 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C102 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Составляем закон распределения случайной величины X |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
P |
|
1/15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7/15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7/15 |
||||||||
3 |
1 |
|
|
7 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контроль: ∑pi = |
|
+ |
|
+ |
= 1. Закон составлен правильно. |
||||||||||||||||||||||||||||||
15 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
i=1 |
|
15 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вычисляем числовые характеристики. Математическое ожидание |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
M(X) |
= ∑xi pi = 0 1 + 1 7 |
+ 2 7 = 21 = 1,4 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
15 |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
15 |
|
|
15 |
|
|
||||||||||||||
Дисперсию определяем по формуле D(X)= M(X2 )− M2 (X). Здесь |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
M(X2 )= ∑xi pi = 0 1 + 1 7 |
|
+ 4 7 = 7 ≈ 2,33. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
15 |
|
|
|
|
|
15 |
|
15 |
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
D(X)= 2,33 − (1,4)2 = 0,37. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Среднее квадратическое отклонение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
σ(X)= D(X) = |
0,37 ≈ 0,61. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан функцией распределения F(x) ( интегральная функция) или
функцией плотности вероятностей f (x) (дифференциальная функция).
Для решения задач № 121-150 надо знать определение функции плотности вероятностей, формулы, позволяющие находить числовые характеристики, а также уметь определять вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Соответствующие вопросы из-
ложены в [1, гл.10-11; 2, гл.6, п.1-3].
12
Пример. Функция распределения случайной величины имеет вид
0, x ≤ 0,
F(x)= x , 0 < x ≤ 3,
3
1, x > 3.
Требуется найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию и вероятность попадания случайной величины в интервал (2,4).
Решение. Найдём функцию плотности вероятностей по определению f (x)= F′(x). Для этого продифференцируем функцию F(x), то есть
0, x ≤ 0,
f (x)= 1 , 0 < x ≤ 3,
3
0, x > 3.
Числовые характеристики вычисляем по формулам
M(X)= |
∞ |
D(X)= |
∞ |
(x − M(X))2 f (x)dx . |
∫x f (x)dx; |
∫ |
|||
|
−∞ |
|
−∞ |
|
Иногда для определения дисперсии удобно использовать формулу
D(X)= |
∞ |
2 |
∫ x2 f (x)dx − (M(X)) . |
||
−∞
Так как f (x) задана на разных интервалах различными аналитическими
выражениями, то несобственный интеграл при нахождении математического ожидания и дисперсии будет представлен в виде суммы интегралов
M(X)= |
0 |
3 |
1 |
∞ |
|
1 |
3 |
1 |
|
x |
2 |
|
3 |
|
1 |
|
9 |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∫x 0 |
dx + ∫x |
dx + ∫x 0 |
dx = |
∫x dx = |
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|||||||||
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||
|
−∞ |
0 |
3 |
|
0 |
2 |
|
|
0 |
|
2 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсию вычисляем по второй формуле
D(X) = |
0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
3 |
2 |
1 |
3 |
9 |
= |
|||||
|
|
∫x2 |
0 dx + ∫x2 |
3 |
dx + ∫x2 |
0 dx − |
|
= |
3 |
∫x2 dx − |
4 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
0 |
. |
|||||
|
1 |
|
x3 |
|
3 |
9 |
|
1 |
9 |
|
9 |
= 3 |
− 2 |
1 |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
− |
|
= |
|
− |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
3 |
4 |
3 |
4 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдём вероятность попадания случайной величины в заданный интервал по формуле
P(2 < X < 4)= F(4)− F(2)= 1 − 23 = 13 .
13
Для решения задач № 151-180 следует изучить закон нормального распределения. Соответствующий вопрос изложен в [1, гл.12, п.2,5; 2,
гл.6, п.5].
Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a = 3,2 и средним квадратическим отклонением σ = 0,8 . Записать плотность распределения . Найти вероятность попадания случайной величины в интервал (2,5).
Решение. Так как случайная величина X распределена по нормальному закону, то её функция плотности имеет вид
|
|
|
− |
(x−a)2 |
|
|
|
− |
(x−3,2)2 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||
f (x)= |
|
|
f (x)= |
|
e 2(0,8)2 . |
|||||
σ |
e 2σ2 ; |
2π |
||||||||
|
2π |
|
|
0,8 |
|
|
|
|
||
Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала (2,5), определяется по формуле
|
β − a |
|
α − a |
5 |
− 3,2 |
|
2 |
− 3,2 |
|
||||
P(2 |
< X < 5)= Φ |
|
− Φ |
|
= Φ |
|
|
|
− Φ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||
|
σ |
|
|
σ |
|
0,8 |
|
|
0,8 |
|
|||
= Φ(2,25)− Φ(− 1,5) |
= Φ(2,25)+ Φ(1,5). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
По прил. 2 «Таблица значений функции Φ(x)= |
1 |
x |
− |
x 2 |
|
2 |
|||||
∫e |
|
||||
|
2π 0 |
|
|
||
dx » [1, с. 462;
2, 326] определяем значения функции
Φ(2,25)= 0,4878, Φ(1,5)= 0,4332. P(2 < X < 5)= 0,4878 + 0,4332 = 0,921.
Контрольная работа № 10
Для выполнения работы следует изучить соответствующий матери-
ал по литературе [1, гл.15-17; 2, гл.9-13].
Одной из задач математической статистики является установление закономерностей массовых случайных явлений, основанное на изучении результатов наблюдений. Покажем на примере системати-зацию опытных данных и вычисление числовых характеристик.
14
Пример 1. На угольных предприятиях определяли производительность труда рабочих при проходке штрека (случайная величина X ) и скорость проходки (случайная величина Y , м/мес). Результаты наблюдений приведены в табл. 1.
Таблица 1
Исходные данные (выборка)
X |
Y |
X |
Y |
X |
Y |
X |
Y |
X |
Y |
0,31 |
136 |
0,19 |
110 |
0,16 |
70 |
0,15 |
118 |
0,15 |
100 |
0,16 |
76 |
0,16 |
87 |
0.33 |
300 |
0,18 |
152 |
0,19 |
64 |
0,27 |
160 |
0,14 |
75 |
0,23 |
185 |
0,21 |
155 |
0,31 |
150 |
0,25 |
170 |
0,21 |
120 |
0,36 |
311 |
0,26 |
151 |
0,22 |
150 |
0,23 |
101 |
0,18 |
97 |
0,20 |
97 |
0,29 |
230 |
0,23 |
126 |
0,17 |
87 |
0,24 |
100 |
0,17 |
120 |
0,22 |
215 |
0,36 |
280 |
0,18 |
72 |
0,12 |
123 |
0,25 |
201 |
0.23 |
202 |
0.31 |
154 |
0,22 |
100 |
0,24 |
103 |
0.20 |
152 |
0,16 |
120 |
0,21 |
120 |
0,29 |
194 |
0,21 |
100 |
0,18 |
118 |
0,18 |
101 |
0,16 |
120 |
0,25 |
190 |
0.23 |
103 |
0,17 |
158 |
0,17 |
100 |
0.28 |
125 |
По данным X - производительности труда рабочего (табл.1) необходимо:
а) составить вариационный ряд;
б) вычислить выборочную среднюю x , выборочную дисперсию Db , выборочное среднее квадратическое отклонение σx .
Решение. А. Систематизация результатов наблюдения.
Для построения интервального вариационного ряда определим оптимальную величину интервала (шаг) по формуле Стерджеса
h = xmax − xmin ,
1 + 3,2lgn
где xmax , xmin - соответственно максимальные и минимальные значения X, n - объём выборки.
h = |
0,36 − 0,12 |
= |
0,24 |
≈ 0,04 . |
|
1 + 3,2lg50 |
6,44 |
||||
|
|
|
Величину интервала определяем с той же точностью, с какой заданы исходные данные.
Составим таблицу распределения случайной величины или признака X , называаемую вариационным рядом.
15
Таблица 2 Вариационный ряд производительности труда рабочих
Интервалы J |
Частота mi |
Частость p*i |
Накопленная |
|
|
|
частость F* (x) |
[0,12;0,16) |
4 |
0,08 |
0,08 |
[0,16;0,20) |
16 |
0,32 |
0,40 |
[0,20;0,24) |
14 |
0,28 |
0,68 |
[0,24;0,28) |
7 |
0,14 |
0,82 |
[0,28;0,32) |
6 |
0,12 |
0,94 |
[0,32;0,36] |
3 |
0,06 |
1,00 |
∑ |
50 |
1 |
|
Замечания к составлению табл. 2
1. Запись интервалов начинается с xmin и продолжается до тех пор, пока не войдёт xmax .
2.Просматривая по табл. 1 исходные данные признака X в порядке записи, проставляют (во втором столбце табл. 2) точки в интервале, которому соответствует данное значение X . Подсчитав количество проставленных точек, определим частоту, соответствующую данному интервалу.
3.В интервал включаются значения большие или равные нижней границе и меньшие верхней границы интервала.
4.Отношение частоты к общему числу наблюдений определяет час-
тость p*i = mni .
5. Накопленная частость интервала определяется как сумма частостей предшествующих и данного интервала [1, гл.15, п.7; 2, гл.9, п.2].
Б. Вычисление числовых характеристик
Таблица 3
Расчёт числовых характеристик
xi |
mi |
xi mi |
xi − x |
(xi − x)2 |
(xi − x)2 mi |
0,14 |
4 |
0,56 |
-0,08 |
0,0064 |
0,0256 |
0,18 |
16 |
2,88 |
-0,04 |
0,0016 |
0,0256 |