Файл: В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №9, 10 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса.2003.pdf

Скачать файл (0,36Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 128

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Продолжение табл. 3 Расчёт числовых характеристик

0,22	14	3,08	0	0	0
0,26	7	1,82	0,04	0,0016	0,0112
0,30	6	1,80	0,08	0,0064	0,0384
0,34	3	1,02	0,12	0,0144	0,0432
∑	50	11,16			0,1440

Замечания к табл. 3 1. В первом столбце записаны середины интервалов, например, для

первого интервала x1 = 0,12 + 0,16 = 0,14 .

2. В третьем столбце результаты перемножения соответствующих значений первого и второго столбца. Вычисляем выборочную среднюю

x =	∑xi mi	=	11,16	= 0,2238 ≈ 0,22 .
			50
	n

3. В четвёртом столбце разности между значениями xi и выборочным средним x .

4.В пятом столбце записываются квадраты значений четвёртого столбца.

5.В шестом столбце записаны результаты перемножения соответствующих значений второго и пятого столбцов. Вычислим выборочную

дисперсию	Db =	∑(xi	− x)2		mi	=	0,1440	≈ 0,0029	и среднее квадратиче-
			n				50

ское отклонение σx =			Db	=	0,0029 ≈ 0,053.

Пример 2. Построить теоретическую кривую нормального распределения по данным примера 1. Проверить по критерию Пирсона правильность выбранной гипотезы при уровне значимости α = 0,05.

Решение. Для построения нормальной кривой рассчитываем теоретические частоты mi по формуле

mi = nh ϕ(ti ),

σx

где ti =	xi − x	, ϕ(t)=	1	e−	t 2	n - объём выборки, h - шаг интервала.
					2 ,
			2π
	σx

Составим расчётную таблицу

		Расчёт теоретических частот					Таблица 4
		Расчёт теоретических частот

xi	mi	ti =	xi − 0,22		ϕ(ti )	mi =	50 0,04ϕ(ti )
				0,053
							0,053
							0,053
0,14	4	-1,51			0,1276	5
0,18	16	-0,75			0,3011	11
0,22	14	0			0.3989	15
0,26	7	0,75			0,3011	11
0,30	6	1,51			0,1276	5
0,34	3	2,26			0,0310	1
∑	50					48

Замечания к табл. 4

1. Значения ϕ(ti ) находят по прил. 1 [1, с. 461; 2, с. 324] «Таблица зна-

чений функции ϕ(x)=	1	e−	x 2
				». При этом учитывают, что
			2
	2π

ϕ(− x)= ϕ(x). Для x > 3,99 ϕ(x)= 0 .

2.Теоретические частоты округляют до целых значений.

Построим полигоны эмпирических и теоретических частот производительности труда рабочих

m i mi

0,14		0,18		0,22		0,26		0,3		0,34

Пунктирной линией построен полигон теоретических частот, а сплошной линией - полигон эмпирических частот.

Проверим согласованность теоретического и эмпирического распределения по критерию Пирсона

χ2 = ∑r (mi − mi )2 . p i =1 mi

		Расчёт величины χp2				Таблица 5
		Расчёт величины χp2

xi	mi	mi		mi − mi	(mi − mi )2	(mi − mi )2
						mi
0,14	4	5		4	16	1
0,18	20	16
0,18	16	11
0,22	14	15		-1	1	0,07
0,26	7	11		-4	16	1,45
0,30	6	5		1	1	0,166
0.34	9	6
0.34	3	1
∑	50	48				2,686
Замечание к табл. 5
Если число наблюдений			(частота mi ) в интервале меньше 5, то ин-

тервал объединяется с соседним и их частоты складываются. В этом случае и соответствующие им теоретические частоты mi также надо

сложить.

По прил. 5 « Критические точки распределения χ2 » [1, с. 465; 2, с.

329] находим χтабл2 (k,α), где α = 0,05 - уровень значимости, k - число степеней свободы, k = r − 3 = 4 − 3 = 1 (r - число интервалов после объе-

динения), χтабл2 (1;0,05)= 3,8. Так как χp2 = 2,686 меньше χтабл2 (1;0,05)= 3,8,

то различия между теоретическими и эмпирическими частотами незначимы.

Вывод. Производительность труда рабочих при проходке штрека распределяется по нормальному закону и имеет функцию плотности

	1		−(x−0,22)2
f (x)=	1	2π	e 2(0,053)2 .
	0,053	2π

Пример 3. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с надёжностью γ = 0,95 по

значениям x = 0,22; σx = 0,053; n = 50 , полученным в первом примере.

Решение. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии генеральной совокупности определяется по формуле

x −	s	tn, γ < a < x +	s	tn, γ .
	n		n
Для γ = 0,95, n = 50 по прил. «Таблица значений tγ = t(γ,n)» [1, с. 464;

2, с. 328] определяем tγ = t(0,95;50)= 2,009.

Определяем исправленную дисперсию s2 :

s2 = Db n		n − 1	= 0,0029	50	= 0,00295;
				50 − 1
s =	s2 =	0,00295 = 0,054;
s	tn, γ =	0,054 2,009 ≈		0,015;
n
		50
0,22 − 0,015 < a < 0,22 + 0,015;					0,205 < a < 0,235 .

Пример 4. При уровне значимости α = 0,08 проверить нулевую гипотезу H0: M(X)= M(Z) при конкурирующей гипотезе H1: M(X)≠ M(Z),

если z = 0,24;	D(Z)= 0,01;	m = 60 взяты из генеральной совокупности
Z , а x = 0,22;	D(X)= 0,029;	n = 50 берём из первого примера.