Файл: Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов специальности 230500 - Социальный сервис и туризм.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 223
Скачиваний: 0
Министерство образования российской Федерации
Кузбасский государственный технический университет
Кафедра прикладной математики
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Методические указания для студентов специальности 230500 - «Социальный сервис и туризм»
Составитель Е. Н. Грибанов
Электронная копия хранится в библиотеке главного корпуса КузГТУ
Кемерово 2001
-1-
СОДЕРЖАНИЕ
|
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ |
|
|
Случайные события |
|
1. |
Элементы комбинаторики |
4 |
2. |
Алгебра событий |
5 |
3. |
Классическое определение вероятности |
6 |
4. |
Геометрическая вероятность |
7 |
5. Теоремы сложения |
8 |
|
6. |
Теоремы умножения |
9 |
7. |
Формула полной вероятности |
10 |
8. |
Формула Байеса |
12 |
9. |
Схема независимых испытаний. |
13 |
|
Формула Бернулли |
|
|
|
|
10. |
Наивероятнейшее число появления событий |
14 |
11. |
Локальная теорема Муавра-Лапласа |
15 |
12. |
Интегральная теорема Муавра-Лапласа |
16 |
13. |
Формула Пуассона |
16 |
|
Случайные величины |
|
14. |
Закон распределения случайной величины |
17 |
15. |
Функция распределения |
18 |
16. |
Плотность распределения |
20 |
17. |
Математическое ожидание |
22 |
18. |
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение |
24 |
19. |
Начальные и центральные моменты |
26 |
20. |
Равномерное распределение |
29 |
21. |
Нормальное распределение |
30 |
22. |
Биномиальное распределение |
33 |
23. |
Распределение Пуассона |
34 |
|
Закон распределения редких явлений |
|
|
|
|
24. |
Показательное распределение |
35 |
|
Закон больших чисел |
|
25. |
Лемма Маркова |
36 |
26. |
Неравенство Чебышева |
37 |
27. |
Теорема Чебышева |
38 |
|
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА |
|
28. |
Основные понятия математической статистики |
41 |
29. |
Вариационные ряды |
42 |
30. |
Графическое изображение вариационного ряда |
44 |
-2-
31.Эмпирическая функция распределения
32.Средние величины
33.Медиана и мода
34.Показатели вариации
35.Эмпирические центральные и начальные моменты
36.Эмпирические асимметрия и эксцесс
37.Метод условных вариантов для расчёта основных числовых характеристик вариационного ряда
38.Статистическое оценивание параметров распределения
39.Основные свойства оценок
40.Оценка математического ожидания и дисперсии
41.Метод максимального правдоподобия
42.Метод наименьших квадратов
43.Распределение средней арифметической для выборок из нормальной генеральной совокупности. Распределение Стьюдента
44.Распределение дисперсии в выборках из нормальной генеральной совокупности. Распределение 2 Пирсона
45.Понятие доверительного интервала. Доверительная вероятность
46.Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии генеральной совокупности
47.Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии генеральной совокупности
48.Доверительный интервал для дисперсии
49.Понятие статистической гипотезы. Общая постановка за дачи проверки гипотез
50.Ошибки, допускаемые при проверке статистических гипотез Уровень значимости статистического критерия
51.Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей при известной дисперсии.
52.Сравнение выборочных средних при неизвестной дисперсии генеральной совокупности
53.Сравнение выборочных дисперсий
54.Проверка гипотез о законе распределения. Критерий согласия 2 (Пирсона)
55.Выборочный коэффициент корреляции и его свойства
46
47
49
51
52
53
54
56
57
58
61
62
64
66
68
69
70
71
73
74
75
77
78
80
85
-3-
56.Метод вычисления выборочного коэффициента корреляции для вариационных рядов
57.Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции
58.Эмпирическая и теоретическая линии регрессии
59.Значимость коэффициентов регрессии
59.Корреляционное отношение
Приложение
87
89
91
92
94
96
-4-
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Случайные события
1. Элементы комбинаторики
Факториал. Функция f (n), определенная на множестве целых, неотрицательных чисел, для которой f (0) = 1, f (n +1) = (n +1) f (n),
называется n-факториалом и обозначается n!. Для любого натурального n имеем n! =1 2 K n.
Пример 1. 6! =1 2 3 4 5 6 = 720.
Перестановки. Каждая последовательность n различных элементов с учётом их порядка называется перестановкой этих элементов. Число перестановок обозначается Pn и находится по формуле
Pn = n!.
Пример 2. Сколькими способами можно расставить шесть книг на полке?
Решение. Число способов равно числу перестановок из шести элементов, то есть Pn = 6! = 720 .
Размещение. Любой упорядочный набор k различных элементов множества М, содержащего n элементов, называется размещени-
ем k элементов из n. Число размещений обозначается символом Ak |
и |
|||
|
|
n! |
n |
|
находится по формуле |
Ak = |
. |
|
|
(n −k)! |
|
|||
|
n |
|
|
|
Пример 3. Сколькими способами можно распределить три первых места для восьми участвующих в соревновании команд?
Решение. Так как нас интересует, какая из команд займёт первое, второе и третье места, то есть порядок среди отобранных трёх команд, используем размещение. Тогда число способов найдём по
формуле |
A83 |
8! |
|
8! |
=8 7 6 = 336 . |
|
= |
|
= |
|
|||
(8 −3)! |
5! |
|||||
Сочетание. Любое подмножество из k различных элементов множества М, содержащего n элементов, называется сочетанием.
Число сочетаний обозначается символом Cnk и находится по формуле
Cnk = |
n! |
. |
|
(n - k)! k! |
|||
|
|
-5-
Пример 4. Найти число способов отобрать три цветка из семи. Решение. Так как порядок среди цветов нам не важен, то ис-
пользуем сочетание. Число способов найдём по формуле
С73 |
7! |
|
7 6 5 |
= 35 . |
||
= |
|
= |
|
|
||
(7 - 3)! 3! |
3 2 1 |
|||||
2. Алгебра событий О. 1. Событие называется случайным, если в результате опыта
оно может либо произойти, либо не произойти.
О. 2. Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит в результате опыта.
О. 3. Событие называется невозможным, если оно не может произойти в данном опыте.
О. 4. События называются несовместными, если они не могут произойти в одном опыте.
О. 5. Событие А благоприятствует событию В, если из появления события А следует, что произошло событие В.
О. 6. События образуют полную группу, если в результате опыта произойдёт хотя бы одно из них.
О. 7. Событие С называется суммой событий А В, если оно состоит в появлении события А или появлении события В. Сумма событий обозначается С = А+ В.
О. 8. Событие С называется произведением событий А В, если оно состоит в появлении события А и появлении события В. Обозначается С = А В.
О. 9. Событие С называется разностью событий А В, если оно состоит в появлении события А и не появлении события В. Обозначается С = А- В.
О. 10. Событие А называется противоположным событию А, если оно состоит в не появлении события А.
О. 11. События называются равновозможными, если нет объективных оснований считать, одно более возможным чем другое.
О. 12. Равновозможные, несовместные образующие полную группу события называются исходами данного опыта.
-6-
3. Классическое определение вероятности О. 1. Вероятностью события называется численная мера степе-
ни объективной возможности появления этого события.
О. 2. (Классическое определение вероятности) Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов данного опыта.
Вероятность события А обозначается p(A). Тогда p(A) = mn , где m -
число благоприятных для появления события А исходов, n - число всевозможных исходов опыта.
Основные свойства вероятности
1.Вероятность достоверного события равна единице.
2.Вероятность невозможного события равна нулю.
3.Для любого события А его вероятность заключена в интервале
0 ≤ p(A)≤1.
4.Вероятность наступления противоположного события А равна
разности между единицей и вероятностью события А, то есть p(A) = 1 - p(A) .
Пример 5. Из урны, содержащей 12 чёрных и 8 белых шаров, наудачу вынуто два шара. Найти вероятность того, что они разного цвета.
Решение. Обозначим событие А – шары разного цвета, тогда по определению p(A) = mn . Но число всевозможных исходов равно чис-
лу способов отобрать два шара из двадцати, то есть n = C202 =1820! !2! = 20219 =190 . Число благоприятных исходов равно
числу способов отобрать один шар из 8 и один шар из 12, так как союз и, то общее число благоприятных исходов равно произведению m = C81 C121 = 7!8!1! 1112! !1! =8 12 = 96 . Поэтому искомая вероятность
m 96 48
равна p = n = 190 = 95 .
Пример 6. Из колоды карт наудачу вынуто две. Найти вероятность того, что они обе бубновой масти. Колода содержит 36 карт.