Файл: Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов специальности 230500 - Социальный сервис и туризм.pdf

-11-

Эту формулу называют формулой полной вероятности, а собы-

тия H1, H2, …. Hn, причём сумма вероятностей гипотез равна едини-

це, то есть ∑n p(Hk )=1.

k =1

Доказательство. Формулу полной вероятности можно вывести на основании теорем умножения и сложения вероятностей. Согласно условию, событие А можно представить в виде суммы несовместных событий A = H1 A + H2 A +K+ Hn A. По теореме сложения веро-

жения к каждому слагаемому получаем

p(A)= p(H1) pH1 (A)+ p(H2 ) pH1 (A)+K+ p(Hn ) pH n (A)

или p(A)= ∑n p(Hk ) pHk (A).

k =1

Примечание. Формула полной вероятности используется до совершения события.

Пример 11. Три завода производят одинаковые изделия, которые поступают на один склад, причём первый завод производит 30%, второй 20% и третий 50% всех поступивших на склад деталей. Процент брака для первого завода 5%, для второго 8% и для третьего 10%. Найти вероятность того, что наудачу взятая со склада деталь окажется браковочной.

Решение. Обозначим события: А - деталь бракованная, так как вероятность этого события зависит от того, на каком заводе она произведена, то добавим следующие гипотезы: Н1- деталь произведена на первом заводе, Н2- на втором заводе, Н3- а третьем заводе. По ус-

ловию задачи p(H1)= 0,3; p(H2 )= 0,2; p(H3 )= 0,5 и pH1 (A)= 0,05; pH2 (A)= 0,08; pH3 (A)= 0,1. Тогда искомая вероятность по формуле

полной вероятности равна

p(A)= ∑3 p(Hk ) pHk (A)= 0,3 0,05 +0,2 0,08 +0,5 0,1 = 0,081.

k =1

8. Формула Байеса Формула Байеса применяется при решении практических задач,

когда событие А, появляющееся совместно с каким-либо из событий

-12-

H1, H2, …. Hn которые образуют полную группу несовместных событий (гипотез), произошло и требуется произвести количественную переоценку вероятностей событий H1, H2, …. Hn. Априорные (до опыта) вероятности p(H1); p(H2 );Kp(Hn ) известны. Требуется вы-

числить апостериорные (после опыта), вероятности, то есть, нужно найти условные вероятности pA (H1); pA (H2 );KpA (Hn ).

Пусть событие А может наступить при условии появления одной из гипотез H1, H2, …. Hn. Вероятность совместного появления

Полученные формулы носят название формулы Байеса. Пример 12. В первой группе 20, во второй 25, в третьей группе

15 студентов. Вероятность сдать экзамен на отлично для студентов первой группы равна 0,6, для студентов второй – 0,3, для третьей – 0,4. Наудачу взятый студент сдал экзамен на отлично. Найти вероятность того, что он из третьей группы.

Решение. Обозначим события: А- наудачу взятый студент сдал экзамен на отлично, Н1 – студент из первой группы, Н2 – студент из второй группы, Н3 – студент из третьей группы. По условию задачи

-13-

9. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли

На практике приходится сталкиваться с задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появиться событие А. При этом представляет интерес не исход каждого отдельного испытания, а общее число появлений события А в результате определённого количества испытаний. В подобных задачах нужно уметь определять вероятность любого числа m появлений события А в результате n испытаний. Рассмотрим случай независимых испытаний.

О. 1. Испытания называются независимыми, если результат одного испытания не зависит от результатов других испытаний и вероятность появления события А в каждом испытании постоянна.

Пусть происходит n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может либо появиться с вероятностью р, либо не появиться с вероятностью q=1-p. Рассмотрим событие Вm , состоящее в том, что событие А в этих n испытаниях появилось ровно m раз и,

бытия А в k-м испытании. По условию имеем

p(A1)= p(A2 )=K= p(An )= p и p(A1)= p(A2 )=K= p(An )= q .

Событие может появиться m раз в различных последовательностях или комбинациях, чередуясь с противоположным событием A . Число возможных комбинаций такого рода равно числу сочетаний из

n элементов по m, то есть Сnm . Следовательно, событие Вm можно представить в виде суммы различных комбинаций, несовместных между собой, причём число слагаемых равно Сnm .

Вm = A1 A2 K Am Am+1 K An + A1 A2 A3 ×K

× Am+1 Am+2 K An +K+ A1 A2 K An−m An−m+1 K An,

где в каждое слагаемое событие А входит m раз, а событие А входит n −m раз. Вероятность каждой последовательности по теореме ум-

ножения равна pm qn−m . Так как общее число таких последовательностей равно Сnm , то, используя теорему сложения для несовместных событий, получим вероятность события Вm, равную

-15-

2) если np −q- дробное число, то существует единственное целое

число удовлетворяющее полученному неравенству.

Пример 14. Отдел технического контроля проверяет партию из 20 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,88. Найти наивероятнейшее число деталей, которые будут признаны

венное целое число, принадлежащее этому интервалу, 18. Следовательно, наивероятнейшее число стандартных деталей в партии 18.

11. Локальная теорема Муавра-Лапласа При большом числе испытаний пользоваться формулой Бернул-

ли достаточно трудно. Поэтому при большом числе испытаний ( n ≥ 20) пользуются локальной теоремой Муавра-Лапласа.

Т. Если вероятность р наступления события А в п независимых испытаниях постоянна и отлична от нуля и единицы, то при условии, что число испытаний достаточно велико, вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно m раз, приблизительно равна

ние таблица 1).

Пример 15. Вероятность того, что станок-автомат произведёт стандартную деталь, равна р=0,9. Найти вероятность того, что из 900 изготовленных стандартными будут 804 детали.

Решение. По условию задачи имеем п=900; m=804;