Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 782

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

1.3. теыеойс

21

йЪ РПМХЮЕООЩИ УППФОПЫЕОЙК УМЕДХЕФ, ЮФП

 

|u| + |v| = 1 :

(1.60)

фБЛЙН ПВТБЪПН, ОБЙВПМЕЕ ПВЭЕЕ ЛБОПОЙЮЕУЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ ЪБДБЕФУС ДŒХНС

ЛПНРМЕЛУОЩНЙ РБТБНЕФТБНЙ u Й v, ХДПŒМЕФŒПТСАЭЙНЙ ХУМПŒЙА (1.60). лПЬЖЖЙГЙЕО-

√

ФЩ q Й w ПРТЕДЕМСАФУС ФБЛЙН ПВТБЪПН: q = ±i uv, w = −2q.

оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП Œ ПВЭЕН УМХЮБЕ ЛБОПОЙЮЕУЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ ОЕМЙОЕКОПЕ, РПУЛПМШЛХ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ w ОЕ ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ. вПМЕЕ ФПЗП, МЙОЕКОЩНЙ ПЛБЪЩŒБАФУС МЙЫШ ФТЙŒЙБМШОЩЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС (У u ЙМЙ v ТБŒОЩН ОХМА).

тЕЫЙН ФЕРЕТШ ЪБДБЮХ ДТХЗЙН УРПУПВПН, ŒПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ РТЕДУФБŒМЕОЙЕН (1.21) ЖЕТНЙЕŒУЛЙИ ПРЕТБФПТПŒ ЮЕТЕЪ НБФТЙГЩ рБХМЙ. пВТБФЙН УППФОПЫЕОЙС (1.21):

a = ( x − i y )=2 ; a+ = ( x + i y )=2 :

(1.61)

оЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП ХУМПŒЙС a2 = (a+)2 = 0, a+a + aa+ = 1 ЬЛŒЙŒБМЕОФОЩ УППФОПЫЕОЙСН БОФЙЛПННХФБФЙŒОПУФЙ ДМС i:

[ i; j ]+ = 2‹ij :

(1.62)

рТЕПВТБЪПŒБОЙС, УПИТБОСАЭЙЕ УППФОПЫЕОЙС (1.62), НПЦОП ЪБРЙУБФШ Œ ŒЙДЕ

 

= Rij j ;

(1.63)

i

 

ÇÄÅ Rij | ŒЕЭЕУФŒЕООБС ПТФПЗПОБМШОБС НБФТЙГБ 3 × 3. рПЬФПНХ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС Œ ДБООПН УМХЮБЕ ПВТБЪХАФ ЗТХРРХ SO(3).

рЕТŒПЕ ТЕЫЕОЙЕ 4. œЩТБЪЙН H ЮЕТЕЪ ai É ai+ РП ЖПТНХМБН (1.22), ОЕ ПРТЕДЕМСС

РПЛБ ЮБУФПФХ !0:

 

2m +

 

= −

 

4

 

(ai − ai )

 

 

H =

 

2 (xi − xi+1)2

 

 

+

 

 

 

pi2

 

K

 

 

 

h!—

0

 

 

+ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 4m!0 (ai + ai+ − ai+1 − ai++1)

=

 

4

 

(ai+ai − ai2) +

 

 

Kh—

 

 

 

2

 

 

h!—

0

 

 

 

 

 

+ 4m!

0

(ai − ai+1)(ai+

− ai++1) + (ai − ai+1)2 + h:c:

(1.64)

 

 

hK—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(У ФПЮОПУФША ДП ЛПОУФБОФЩ, ŒПЪОЙЛБАЭЕК ЙЪ-ЪБ ЛПННХФБГЙПООЩИ УППФОПЫЕОЙК ВПЪЕПРЕТБФПТПŒ). œЩРПМОЙН РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ жХТШЕ:

ı

 

dk

 

 

 

 

 

 

−ı

 

 

 

 

 

am =

ak eikm

2ı

=

k

ak eikm ; ak =

m

am e−ikm :

(1.65)

ðÒÉ ÜÔÏÍ

 

 

 

 

ai+ − ai++1 → (1 − e−ik )ak+ :

 

ai − ai+1 → (1 − eik )ak ;

(1.66)

22

 

 

 

 

 

 

змбœб 1. лœбъйюбуфйгщ

рПДУФБŒМСС ЬФЙ ŒЩТБЦЕОЙС Œ (1.64), РПМХЮБЕН

 

 

 

 

 

(1.67)

 

 

 

H =

k

p(k) ak+ak

+ q(k) ak a−k + h:c: ;

 

 

 

 

ÇÄÅ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h!— 0

 

hK—

 

− cos k);

 

hK—

−

h!—

0

 

 

p(k) =

4

+

2m!0 (1

q(k) =

2m!0 (1 − cos k)

4

 

:

(1.68)

тБУУНПФТЙН ЛБОПОЙЮЕУЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ak = uk bk + vk b−+k ;

a−+k = vk bk + uk b−+k ;

 

 

 

 

(1.69)

ÇÄÅ uk = ch –k , vk = sh –k . оЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП РТЙ РТЕПВТБЪПŒБОЙЙ (1.69) ЗБНЙМШФПОЙБО УПИТБОСЕФ УŒПК ŒЙД, РТЙЮЕН p(k) Й q(k) НЕОСАФУС ФБЛ:

p (k) = ch 2–k p(k) + sh 2–k q(k) ;

 

q (k) = sh 2–k p(k) + ch 2–k q(k) :

(1.70)

рПДВЕТЕН –k ФБЛ, ЮФПВЩ q (k) ПВТБФЙМПУШ Œ ОХМШ:

 

th 2–k = −q(k)=p(k) :

(1.71)

ðÒÉ ÜÔÏÍ p (k) = p2(k) − q2(k) = h— K=m sin |k=2|. пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ЮБУФПФБ !0, ЪОБЮЕОЙЕ ЛПФПТПК НПЦЕФ ВЩФШ РТПЙЪŒПМШОЩН, ŒЩРБДБЕФ ЙЪ ŒЩТБЦЕОЙС ДМС p (k) (ОП ОЕ ЙЪ ŒЩТБЦЕОЙС ДМС –k !).

дЙБЗПОБМЙЪПŒБООЩК ЗБНЙМШФПОЙБО ЙНЕЕФ ŒЙД

!(k) bk+bk +

2

;

(1.72)

H =

k

p (k) bk+bk + h:c:

=

k

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÇÄÅ !(k) = 2p (k) = 2h— K=m sin |k=2|.

œЩТБЦЕОЙЕ (1.72) РПЪŒПМСЕФ ОБКФЙ ЬОЕТЗЙА ОХМЕŒЩИ ЛПМЕВБОЙК, РТЙИПДСЭХАУС

ОБ ПДОХ ЮБУФЙГХ:

ı h!(k) dk

 

 

 

E0 =

2

 

 

ı

 

 

 

—

2 2ı

= ı h— K=m :

(1.73)

−

дТХЗПЕ ТЕЫЕОЙЕ 4. л ПФŒЕФХ НПЦОП РТЙКФЙ ЪБНЕФОП ВЩУФТЕЕ, ЕУМЙ ОЕ ЖЙЛУЙТПŒБФШ ŒОЙНБОЙЕ ОБ ПРЕТБФПТБИ ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС. юФПВЩ РПМХЮЙФШ ЛБОПОЙЮЕУЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ, ДПУФБФПЮОП РТПŒЕТЙФШ УПИТБОЕОЙЕ ЛПННХФБГЙПООЩИ УППФОПЫЕОЙК ДМС МАВПК РПМОПК УЙУФЕНЩ ПРЕТБФПТПŒ. œ ЬФПК ЪБДБЮЕ ОБЙВПМЕЕ ЕУФЕУФŒЕООЩК ŒЩВПТ | ЛППТДЙОБФЩ Й ЙНРХМШУЩ ЮБУФЙГ.

уДЕМБЕН РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ жХТШЕ

xm =

 

xq eimq

2ı ;

pm =

 

pq eimq

2ı ;

(1.74)

 

ı

 

dq

 

ı

 

dq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−ı

−ı

1.4. пф урйопœщи претбфптпœ | л жетнйеœулйн

Й РТПŒЕТЙН, ЮФП ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС ОЕ ОБТХЫБАФУС:

[xq ; pq ] = 2ıih— ‹(q + q ) :

рЕТЕРЙУЩŒБС ЗБНЙМШФПОЙБО, ЙНЕЕН

H =

 

 

2m pq p−q +

2 (2 − 2 cos q) xq x−q

2ı ;

 

ı

 

1

K

dq

 

−ı

 

 

 

 

Ф. Е. ЛБЦДПК ЖХТШЕ-ЗБТНПОЙЛЕ УППФŒЕФУФŒХЕФ ПУГЙММСФПТ У ЮБУФПФПК

!(q) = (K=m) (2 − 2 cos q) = 2 K=m sin |q=2| :

рПМПЦЙŒ

m! q

 

 

 

 

 

−√ −q ;

xq =

)

√ −q ;

pq =

hm!— (q)

 

(

2

 

 

bq

i 2

 

h—

 

bq + b+

 

 

b+

УОПŒБ РТЙИПДЙН Л ЗБНЙМШФПОЙБОХ (1.72):

 

 

2ı :

 

 

H =

h!— (q) bq+bq + 2

 

 

 

 

ı

 

1

dq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−ı

 

 

 

 

23

(1.75)

(1.76)

(1.77)

(1.78)

(1.79)

Й Л ŒЩТБЦЕОЙА (1.73) ДМС ЬОЕТЗЙЙ ОХМЕŒЩИ ЛПМЕВБОЙК.

йЪ ИПДБ ТЕЫЕОЙС ПЮЕŒЙДОП, ЮФП Й ДМС ОЕТБŒОЩИ НБУУ m = M УРЕЛФТ ЛŒБОФПŒПК ГЕРПЮЛЙ ВХДЕФ УŒСЪБО У ЮБУФПФБНЙ ЛПМЕВБОЙК ЛМБУУЙЮЕУЛПК ГЕРПЮЛЙ ФПЮОП ФБЛ ЦЕ: ЛБЦДПК ЛМБУУЙЮЕУЛПК ОПТНБМШОПК НПДЕ УППФŒЕФУФŒХЕФ ЛŒБОФПŒЩК ПУГЙММСФПТ.

1.4. пФ УРЙОПŒЩИ ПРЕТБФПТПŒ | Л ЖЕТНЙЕŒУЛЙН

ъДЕУШ НЩ ТБУУНПФТЙН ПДОП ЙОФЕТЕУОПЕ РТЙНЕОЕОЙЕ ЛБОПОЙЮЕУЛЙИ РТЕПВТБЪПŒБОЙК ЙЪ ФЕПТЙЙ ПДОПНЕТОЩИ НБЗОЙФОЩИ УЙУФЕН. пДОПНЕТОЩК НБЗОЕФЙЛ Œ РТПУФЕКЫЕН УМХЮБЕ РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ГЕРПЮЛХ УРЙОПŒ 1=2, Œ ЛПФПТПК ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАФ ФПМШЛП УПУЕДОЙЕ УРЙОЩ. лБЛ НЩ ХŒЙДЙН, У РПНПЭША УРЕГЙБМШОПЗП ПВПВЭЕОЙС РПМХЮЕООЩИ Œ ЪБДБЮЕ 3 УППФОПЫЕОЙК НЕЦДХ ЖЕТНЙПООЩНЙ ПРЕТБФПТБНЙ Й НБФТЙГБНЙ рБХМЙ

ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒПЪНПЦОЩН РЕТЕКФЙ ПФ ПДОПНЕТОПК УРЙОПŒПК ГЕРПЮЛЙ Л ЬЛŒЙŒБМЕОФОПК ЖЕТНЙПООПК ГЕРПЮЛЕ. уППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ РТБŒЙМБ РЕТЕИПДБ ОБЪЩŒБАФУС РТЕПВТБЪПŒБОЙСНЙ кПТДБОБ{œЙЗОЕТБ. зБНЙМШФПОЙБО ПДОПНЕТОПЗП НБЗОЕФЙЛБ УП УРЙОПН 1=2 ЙНЕЕФ

ŒÉÄ

 

∞

Jx ix ix+1 + Jy iy iy+1 + Jz iz iz+1 − B iz :

 

 

 

 

H

= i=

(1.80)

ъДЕУШ i¸ | НБФТЙГЩ рБХМЙ; Jx, Jy , Jz | ПВНЕООЩЕ ЛПОУФБОФЩ; B | ŒОЕЫОЕЕ НБЗОЙФОПЕ РПМЕ, РТЙМПЦЕООПЕ ŒДПМШ ПУЙ z. œ ПВЩЮОПК ЙЪПФТПРОПК НПДЕМЙ зЕКЪЕОВЕТЗБ ЛПОУФБОФЩ Jx, Jy É Jz ПДЙОБЛПŒЩ, ОП ОБН ВХДЕФ РПМЕЪОП ТБУУНПФТЕФШ ВПМЕЕ ПВЭЙК БОЙЪПФТПРОЩК УМХЮБК.

24

 

 

 

 

змбœб 1. лœбъйюбуфйгщ

 

рТЕПВТБЪПŒБОЙЕ

кПТДБОБ{œЙЗОЕТБ ŒЩТБЦБЕФ УРЙОПŒЩЕ ПРЕТБФПТЩ ± = 1

( x

y

 

+

 

 

i 2

i ±

i i

) ЮЕТЕЪ ПРЕТБФПТЩ ЖЕТНЙПОПŒ ai

, ai РП УМЕДХАЭЕНХ РТБŒЙМХ:

 

 

iz = 2ai+ai − 1;

 

 

 

j

 

 

i− = ai

jz ; i+ = ai+

jz ;

(1.81)

 

 

 

 

j<i

 

<i

 

Ф. Е. ЛБЦДЩК УРЙО ЪБНЕОСЕФУС ОБ ЖЕТНЙПО Й ĂУФТХОХĄ, ЙДХЭХА ŒМЕŒП ДП ВЕУЛПОЕЮОПУФЙ (УФТХОПК РТЙОСФП ОБЪЩŒБФШ ЖЙЗХТЙТХАЭЕЕ Œ (1.81) ВЕУЛПОЕЮОПЕ РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ). гЕМШ ŒŒЕДЕОЙС УФТХОЩ УПУФПЙФ Œ ФПН, ЮФПВЩ РЕТЕКФЙ Л ПРЕТБФПТБН У ЖЕТНЙЕŒУЛЙН РТБŒЙМПН ЛПННХФБГЙЙ. дМС ЬФПЗП ОЕПВИПДЙНП ĂРПДРТБŒЙФШĄ ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС УРЙОПŒЩИ ПРЕТБФПТПŒ ОБ ТБЪОЩИ ХЪМБИ. оБ ПДОПН ХЪМЕ, УПЗМБУОП ЪБДБЮЕ 3, ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС Й ФБЛ ЖЕТНЙЕŒУЛЙЕ ( + → a+, − → a). оБ ТБЪОЩИ ЦЕ ХЪМБИ УРЙОПŒЩЕ ПРЕТБФПТЩ ЛПННХФЙТХАФ, ОП РПУМЕ ХНОПЦЕОЙС ОБ ПРЕТБФПТ УФТХОЩ

 

j<i

z ПОЙ УФБОПŒСФУС БОФЙЛПННХФЙТХАЭЙНЙ.

 

 

 

j

 

 

 

 

 

оЕФТХДОП ОБРЙУБФШ ПВТБФОПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ, ŒЩТБЦБАЭЕЕ ЖЕТНЙЕŒУЛЙЕ ПРЕТБ-

ФПТЩ ЮЕТЕЪ УРЙОЩ:

 

a+ = +

j

 

 

 

ai = −

z ;

z :

(1.82)

 

 

i

i

i

i

i

 

 

 

 

j<i

 

 

<i

 

оБКДЕН ЛБЛ УРЙОПŒЩК ЗБНЙМШФПОЙБО (1.80) ŒЩТБЦБЕФУС ЮЕТЕЪ КПТДБО-ŒЙЗОЕТПŒУЛЙЕ ЖЕТНЙПОЩ. у РПНПЭША РТЕПВТБЪПŒБОЙС (1.81) ЗБНЙМШФПОЙБО (1.80) РТЕŒТБЭБЕФУС Œ ЬЛŒЙŒБМЕОФОЩК ЖЕТНЙПООЩК ЗБНЙМШФПОЙБО

H = i=

 

J1ai+ai+1 + J2aiai+1 + h:c:

 

∞

 

 

 

 

 

−∞

 

+ Jz (2ni − 1)(2ni+1 − 1) − B(2ni − 1) ;

(1.83) ÇÄÅ ni = 2a+i ai − 1, J1 = −Jx − Jy , J2 = Jx − Jy . оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП РТЙ Jz = 0 ЗБНЙМШФПОЙБО (1.83) У ФПЮОПУФША ДП ЛПОУФБОФЩ УПŒРБДБЕФ У ТБУУНПФТЕООЩН Œ ЪБДБЮЕ 2 ЗБНЙМШФПОЙБОПН (1.20). нЕФПД ЪБДБЮЙ 2 РПЪŒПМСЕФ ДЙБЗПОБМЙЪПŒБФШ ЗБНЙМШФПОЙБО (1.80) РТЙ Jz = 0. у РПНПЭША ЛБОПОЙЮЕУЛПЗП РТЕПВТБЪПŒБОЙС ЖЕТНЙ-ПРЕТБФПТПŒ

ЗБНЙМШФПОЙБО (1.83) НПЦОП РТЙŒЕУФЙ Л ŒЙДХ

+ J22 sin2 k :

 

H =

 

"(k) ~ak+a~k 2ı ; "(k) = ±2 (J1 cos k − B)2

(1.84)

 

ı

dk

 

 

 

 

 

 

−ı

 

 

 

нПЦОП УДЕМБФШ ŒЩŒПД, ЮФП Й Œ РТЙУХФУФŒЙЙ НБЗОЙФОПЗП РПМС ЬМЕНЕОФБТОЩЕ ŒПЪВХЦДЕОЙС Œ УРЙОПŒПК ГЕРПЮЛЕ У Jz = 0 РПДЮЙОСАФУС ЖЕТНЙ-УФБФЙУФЙЛЕ. пЛБЪЩŒБЕФУС,

ЬФП ŒЕТОП Й РТЙ РТПЙЪŒПМШОПН Jz , ИПФС ТЕЫЙФШ ЪБДБЮХ Œ ЬФПН УМХЮБЕ ХЦЕ ОЕ ФБЛ РТПУФП.

рПСŒМЕОЙЕ ЖЕТНЙ-УФБФЙУФЙЛЙ НПЦЕФ РПЛБЪБФШУС РБТБДПЛУБМШОЩН, РПУЛПМШЛХ НБЗОПОЩ (УРЙОПŒЩЕ ŒПЪВХЦДЕОЙС Œ НБЗОЕФЙЛБИ) ПВЩЮОП СŒМСАФУС ВПЪПОБНЙ. пДОБЛП ЪДЕУШ УМЕДХЕФ ЙНЕФШ Œ ŒЙДХ, ЮФП ТЕЮШ Œ ДБООПН УМХЮБЕ ЙДЕФ П УЙМШОП ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕК УЙУФЕНЕ. œ НБЗОЕФЙЛЕ УП УРЙОПН ОБ ХЪМЕ 1=2 НЕЦДХ НБЗОПОБНЙ ŒПЪОЙЛБЕФ ВПМШЫПЕ ЬЖЖЕЛФЙŒОПЕ ПФФБМЛЙŒБОЙЕ, РПУЛПМШЛХ ОЙЛБЛЙЕ ДŒБ НБЗОПОБ ОЕ НПЗХФ ПДОПŒТЕНЕООП ПЛБЪБФШУС ОБ ПДОПН Й ФПН ЦЕ ХЪМЕ. йНЕООП ЬФП ПФФБМЛЙŒБОЙЕ Й ĂНПДЕМЙТХЕФĄ ЖЕТНЙ-УФБФЙУФЙЛБ. фБЛЙН ПВТБЪПН, ТБУУНБФТЙŒБЕНБС УЙУФЕНБ РТЕДУФБŒМСЕФ

Смотрите также файлы