Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 741

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

16

змбœб 1. лœбъйюбуфйгщ

дМС УМХЮБС M = m ОБКДЙФЕ ЛБОПОЙЮЕУЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ, РТЙŒПДСЭЕЕ ЗБНЙМШФПОЙБО Л ДЙБЗПОБМШОПНХ ŒЙДХ. пРТЕДЕМЙФЕ УРЕЛФТ ЖПОПОПŒ Й ŒЩЮЙУМЙФЕ ЬОЕТЗЙА ОХМЕŒЩИ ЛПМЕВБОЙК.

1.3. тЕЫЕОЙС

тЕЫЕОЙЕ 1. зБНЙМШФПОЙБО (1.19) РТЙŒПДЙФ Л ХТБŒОЕОЙСН ДŒЙЦЕОЙС:

mx­i = K (yi + yi−1 − 2xi); M y­i = K (xi + xi+1 − 2yi)

(1.23)

(xi | УНЕЭЕОЙЕ БФПНБ НБУУЩ m Œ i{К ЬМЕНЕОФБТОПК СЮЕКЛЕ, yi | УНЕЭЕОЙЕ БФПНБ НБУУЩ M ). вХДЕН ЙУЛБФШ ТЕЫЕОЙЕ Œ ŒЙДЕ РМПУЛЙИ ŒПМО:

xn = ei(qn−!t) xq ;

yn = ei[q(n+1=2)−!t] yq :

(1.24)

пФУАДБ

 

 

m!2xq = 2Kxq − 2Kcos(q=2)yq ;

M !2yq = 2Kyq − 2Kcos(q=2)xq :

(1.25)

(ъДЕУШ q | ŒПМОПŒПК ŒЕЛФПТ Œ РЕТŒПК ЪПОЕ вТЙММАЬОБ: −ı < q < ı.) оПТНБМШОЩЕ НПДЩ ЙНЕАФ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ, ПРТЕДЕМСЕНЩК ЙЪ ХУМПŒЙС

det

2K − m!2

−2Kcos(q=2)

= 0 ;

(1.26)

 

2Kcos(q=2)

2K

−

M !2

 

 

 

−

 

 

 

 

ÞÔÏ ÄÁÅÔ !4 −(2K=—)!2 + (4K2=mM )sin2(q=2) = 0, ЗДЕ — = M m=(M + m). рПМХЮБЕН

!±2 (q) =

K

2

 

 

—

1 ± 1 − mM4— sin2(q=2)

(1.27)

ъДЕУШ Ă+Ą УППФŒЕФУФŒХЕФ ПРФЙЮЕУЛПК, Б Ă−Ą | БЛХУФЙЮЕУЛПК НПДЕ. дЙУРЕТУЙС ОПТНБМШОЩИ НПД (1.27) РПЛБЪБОБ ОБ ТЙУ. 1.1.

1.3. теыеойс

17

òÉÓ. 1.1

рТЙ НБМЩИ q ТБЪМБЗБЕН ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ БЛХУФЙЮЕУЛПК НПДЩ:

!2

(q) =

2K—

(q=2)2

;

 

(1.28)

−

 

mM

 

 

 

 

Й РПМХЮБЕН УЛПТПУФШ ЪŒХЛБ:

 

 

2K=(M + m)

 

 

c = (!−=q)|q→0 = 2

:

(1.29)

 

 

1

 

 

 

1=2

 

рТЙ ŒЩŒПДЕ РТЕДРПМБЗБМПУШ, ЮФП РЕТЙПД ТЕЫЕФЛЙ 2a ТБŒЕО ЕДЙОЙГЕ. юФПВЩ РПМХЮЙФШ ŒЩТБЦЕОЙЕ, ЙНЕАЭЕЕ ТБЪНЕТОПУФШ УЛПТПУФЙ, ОБДП ХНОПЦЙФШ ТЕЪХМШФБФ ОБ

2a, ЗДЕ a | ТБУУФПСОЙЕ НЕЦДХ БФПНБНЙ M Й m. рТЙ ЬФПН РПМХЮБЕФУС УЛПТПУФШ

c = a 2K=(M + m).

рТПŒЕТЙН, ЮФП ОБКДЕООБС УЛПТПУФШ ЪŒХЛБ УПЗМБУХЕФУС У ЖПТНХМПК мБРМБУБ c2 = @P=@j, УŒСЪЩŒБАЭЕК УЛПТПУФШ ЪŒХЛБ Й УЦЙНБЕНПУФШ УЙУФЕНЩ. дМС ГЕРПЮЛЙ ДМЙОЩ x, УПДЕТЦБЭЕК N БФПНПŒ ЛБЦДПЗП ФЙРБ, УЙМБ РТПРПТГЙПОБМШОБ ХДМЙОЕОЙА, dP = −(K=2N )dx (Œ ПДОПН ЙЪНЕТЕОЙЙ УЙМБ Й ДБŒМЕОЙЕ | ЬФП ПДОП Й ФП ЦЕ), Б ЙЪНЕОЕОЙЕ

РМПФОПУФЙ ЕУФШ

d

(

M + m)N

dx = −

(M + m)N

 

 

dj =

dx ;

(1.30)

dx

x

x02

ÇÄÅ x0 = 2N a. пФУАДБ РПМХЮБЕН c2 = 2Ka2=(M + m), ЛБЛ Й УМЕДПŒБМП. œЕТИОЙК ЛТБК БЛХУФЙЮЕУЛПК ŒЕФŒЙ УРЕЛФТБ:

max[!2

(q)] = !2

(ı) =

K 1

1

4—2

=

K

1

M − m

=

2K

:

−

−

 

—

−

− mM

 

—

 

− M + m

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бОБМПЗЙЮОП, ОЙЦОЙК ЛТБК ПРФЙЮЕУЛПК ŒЕФŒЙ ЕУФШ

min[!+2 (q)] = !+2 (ı) = 2mK ;

É

 

M

m

 

2

K=m

− 2

K=M :

 

РПЬФПНХ ЫЙТЙОБ ЭЕМЙ ´! =

 

 

 

 

ðÒÉ

 

 

ЮБУФПФБ ПРФЙЮЕУЛПК ŒЕФŒЙ

 

 

 

 

 

 

!+(q) =

2K

1 +

m

cos2(q=2) + O

 

 

 

 

 

m

 

2M

 

 

m2

M 2

(1.31)

(1.32)

(1.33)

РТБЛФЙЮЕУЛЙ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ q, ЮФП УППФŒЕФУФŒХЕФ ЛПМЕВБОЙСН МЕЗЛЙИ БФПНПŒ НЕЦДХ РПЮФЙ ОЕРПДŒЙЦОЩНЙ ФСЦЕМЩНЙ. жЙЪЙЮЕУЛБС РТЙЮЙОБ ПФУХФУФŒЙС ДЙУРЕТУЙЙ | ŒЪБЙНОБС ОЕЪБŒЙУЙНПУФШ ЛПМЕВБОЙК УПУЕДОЙИ БФПНПŒ НБУУЩ m. рТЙ M m ОЕŒБЦОП, ЛПМЕВМАФУС МЙ УПУЕДОЙЕ МЕЗЛЙЕ БФПНЩ Œ ЖБЪЕ ЙМЙ ЦЕ Œ РТПФЙŒПЖБЪЕ, РПУЛПМШЛХ ЮЕТЕЪ ФСЦЕМЩЕ УФЕОЛЙ (Ф. Е. БФПНЩ НБУУЩ M ) ŒМЙСОЙЕ ОЕ РЕТЕДБЕФУС.

18

змбœб 1. лœбъйюбуфйгщ

ı

рЕТŒПЕ ТЕЫЕОЙЕ 2. уДЕМБЕН РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ жХТШЕ am = eikmak 2dkı . ðÒÉ ÜÔÏÍ

−ı

ЮМЕОЩ ЗБНЙМШФПОЙБОБ РТЕПВТБЪХАФУС Л ФБЛПНХ ŒЙДХ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am+ am+1 = ak+ak eik

;

amam+1 = ak a−k e−ik ;

 

 

m

 

 

 

k

 

 

m

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am+ am+1 + am+

+1am =

2 cos k ak+ak ;

(1.34)

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗДЕ УХННБ РП k

ЕУФШ УПЛТБЭЕООПЕ ПВПЪОБЮЕОЙЕ ДМС

ı

dk . рПМШЪХСУШ БОФЙЛПННХ-

: : :

ФБФЙŒОПУФША a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−ı

2ı

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÔÁË:

 

 

 

k É −k , РЕТЕРЙЫЕН ŒФПТХА УХННХ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin k ak a−k ;

 

 

 

 

 

 

 

 

amam+1 = −i

 

 

(1.35)

 

 

 

 

 

m

 

k

 

 

 

 

 

РПУМЕ ЮЕЗП ЗБНЙМШФПОЙБО РТЙОЙНБЕФ ŒЙД

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(J1 cos k − B) ak+ak − iJ2 sin k ak a−k + iJ2 sin k a−+k ak+ :

 

H =

k

(1.36)

рПУМЕ ĂРПŒПТПФБĄ ak

 

= eiı=4bk , a+ = e−iı=4b+

ЗБНЙМШФПОЙБО УФБОПŒЙФУС ŒЕЭЕУФŒЕО-

ÎÙÍ:

 

 

 

 

 

k

 

k

 

 

 

 

 

 

H =

k

(J1 cos k − B) bk+bk + J2 sin k bk b−k + h:c:

(1.37)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вХДЕН ЙУЛБФШ ЖЕТНЙПООПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ вПЗПМАВПŒБ Œ ŒЙДЕ

 

 

 

bk = uk ck + vk c−+k ;

 

 

bk+ = uk ck+ + vk c−k ;

 

 

 

b−+k = −vk ck + uk c−+k ;

 

 

b−k = −vk ck+ + uk c−k

(1.38)

У ŒЕЭЕУФŒЕООЩНЙ uk

É vk , РТЙЮЕН u2

+ v2

= 1. рПМХЮБЕН

 

 

 

 

 

 

 

 

k

k

 

 

 

 

 

 

 

H =

k

(J1 cos k − B) uk2ck+ck + uk vk (ck+c−+k + c−k ck ) + vk2c−k

 

 

+J2 sin k uk ck c−k + uk vk(c−k c−k − ck ck ) − vk c−k ck

2

+

+

2 + +

рТЙТБŒОСЕН ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ РТЙ c−k ck ОХМА, РПФТЕВПŒБŒ ЮФПВЩ

 

 

2uk vk (J1 cos k − B)

+ (−uk2 + vk2)J2 sin k = 0 :

фПЗДБ ВХДЕН ЙНЕФШ УМЛДХАЭЕЕ

 

 

 

c−+k +

 

+ h:c:

(1.39)

(1.40)

vk = B − J1 cos k

± (J1 cos k − B)2 + J22 sin2 k

:

(1.41)

uk

J2 sin k

 

 

тЕЫЙŒ ЬФП ХТБŒОЕОЙЕ РТЙ ХУМПŒЙЙ u2k + vk2 = 1, ЙИ Œ ЗБНЙМШФПОЙБО:

= const + 2( cos ) ( 2

H J1 k − B uk

k

ОБКДЕН ЪОБЮЕОЙС uk , vk Й РПДУФБŒЙН

− vk2) + 4J2 sin k uk vk c+k ck =

1.3. теыеойс

19

 

 

= const + "k ck+ck :

(1.42)

k

 

уРЕЛФТ ŒПЪВХЦДЕОЙК, ФБЛЙН ПВТБЪПН, ЕУФШ

 

"k = 2 (J1 cos k − B)2 + J22 sin2 k :

(1.43)

пФУХФУФŒЙЕ ДЙУРЕТУЙЙ РТЙ J1 = J2 Й B = 0 ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ŒПЪВХЦДЕОЙС МПЛБМЙЪПŒБОЩ ОБ ПДОПН ЙМЙ ОЕУЛПМШЛЙИ УПУЕДОЙИ ХЪМБИ. ьФП НПЦОП РПОСФШ У ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС РТЕПВТБЪПŒБОЙС кПТДБОБ{œЙЗОЕТБ (УН. ТБЪДЕМ 1.4), ЛПФПТПЕ Œ ДБООПН УМХЮБЕ РТЙŒПДЙФ Л ЙЪЙОЗПŒУЛПК УРЙОПŒПК ГЕРПЮЛЕ:

 

∞

 

 

 

 

:

(1.44)

−∞

H =

Jy iy iy+1

i=

œ ФБЛПК ГЕРПЮЛЕ ЛБЦДЩК УРЙО ИБТБЛФЕТЙЪХЕФУС ПРТЕДЕМЕООПК РТПЕЛГЙЕК ОБ ПУШ y. рПЬФПНХ ЬМЕНЕОФБТОПЕ ŒПЪВХЦДЕОЙЕ Œ ЬФПК УЙУФЕНЕ | РТПУФП РЕТЕŒПТПФ УРЙОБ ОБ МАВПН ЙЪ ХЪМПŒ, ОЙЛБЛ ОЕ ЪБФТБЗЙŒБАЭЙК ПУФБМШОЩЕ ХЪМЩ.

фБЛЙН ПВТБЪПН, РПМОБС МПЛБМЙЪБГЙС ŒПЪВХЦДЕОЙС ОБ ПДОПН ХЪМЕ ЬЛŒЙŒБМЕОФОБ ПФУХФУФŒЙА ДЙУРЕТУЙЙ. пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ БОБМПЗЙА У ЪБДБЮЕК 1 Œ УМХЮБЕ M m, ЛПЗДБ ПРФЙЮЕУЛБС НПДБ ЛПМЕВБОЙК УФБОПŒЙФУС РПЮФЙ ВЕЪДЙУРЕТУЙПООПК ЙЪ-ЪБ ФПЗП, ЮФП ЛПМЕВБОЙС УПУЕДОЙИ МЕЗЛЙИ БФПНПŒ РПЮФЙ РПМОПУФША ТБЪŒСЪБОЩ.

дТХЗПЕ ТЕЫЕОЙЕ 2. рТЙŒЕДЕООПЕ ŒЩЫЕ ТЕЫЕОЙЕ ЙММАУФТЙТХЕФ УФБОДБТФОЩК РПДИПД Л РТЕПВТБЪПŒБОЙА вПЗПМАВПŒБ. дБДЙН ДТХЗПЕ ТЕЫЕОЙЕ, Œ ЛПФПТПН ЖЙЪЙЮЕУЛЙК УНЩУМ ŒЩЮЙУМЕОЙК СУОЕЕ, Й УБНЙ ПОЙ | ЬМЕЗБОФОЕЕ. œЕТОЕНУС Л ЗБНЙМШФПОЙБОХ

(1.36) Й ТБУУНПФТЙН ЕЗП ЛПННХФБФПТ У ЖЕТНЙЕŒУЛЙНЙ ПРЕТБФПТБНЙ: [ ]. рПМШЪХ-

H; ak

СУШ УППФОПЫЕОЙСНЙ

[a+a; a] = a+aa − aa+a = −a ; [aa+; a+] = −a+ ;

(1.45)

ŒЩЮЙУМЙН ЛПННХФБФПТ

 

 

 

:

(1.46)

[H; ak ] = −2(J1 cos k − B) ak + 2J2i sin k a−+k

(оБРПНОЙН, ЮФП ЖЙЪЙЮЕУЛЙК УНЩУМ ЛПННХФБФПТБ ОЕЛПФПТПК ŒЕМЙЮЙОЩ У ЗБНЙМШФП-

 

_

 

ОЙБОПН | УЛПТПУФШ ЙЪНЕОЕОЙС ЬФПК ŒЕМЙЮЙОЩ: ih—A = [A; H].) фЕРЕТШ ТБУУНПФТЙН

ЛБОПОЙЮЕУЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ:

 

 

ak = uk bk + vk b−+k ;

a−+k = uk b−+k − vk bk ;

(1.47)

Й РТЕДРПМПЦЙН, ЮФП РБТБНЕФТЩ uk É vk ŒЩВТБОЩ ФБЛ, ЮФП ЗБНЙМШФПОЙБО РТЙОСМ

ДЙБЗПОБМШОХА ЖПТНХ

 

 

 

 

 

+

 

(1.48)

H = E0

"kbk+bk :

 

 

 

k

 

 

œПЪШНЕН ЛПННХФБФПТЩ

 

 

 

 

 

 

"k bk+ ;

(1.49)

[H; bk ] = −"k bk ; [H; bk+] =

20

змбœб 1. лœбъйюбуфйгщ

Й У ЙИ РПНПЭША РЕТЕРЙЫЕН ЛПННХФБФПТ (1.46):

 

−uk "k bk + vk "kb−+k = −2(J1 cos k − B)(uk bk + vk b−+k ) + 2J2i sin k(uk b−+k − vk bk );

(1.50)

ПФЛХДБ РПМХЮБЕН ДŒБ ХТБŒОЕОЙС ДМС "k , uk É vk :

 

uk "k = 2(J1 cos k − B) uk + 2J2i sin k vk ;

(1.51)

vk "k = −2(J1 cos k − B) vk + 2J2i sin k uk :

(1.52)

фБЛ ЛБЛ ХТБŒОЕОЙС ПДОПТПДОЩ РП uk É vk , ŒЩТБЦБЕН vk ЮЕТЕЪ uk ÉÚ (1.52):

 

vk =

2J2i sin k uk

 

"k + 2(J1 cos k − B) ;

(1.53)

Й ЪБФЕН ЙУЛМАЮБЕН vk ЙЪ (1.51). рПМХЮБЕН

 

"k2 − 4(J1 cos k)2 = 4J22 sin2 k ;

(1.54)

ПФЛХДБ ОБИПДЙН ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ:

 

 

"k = 2 (J1 cos k − B)2 + J22 sin2 k :

(1.55)

(ъОБЛ РЕТЕД ЛПТОЕН ŒЩВЙТБЕН, ЪБНЕФЙŒ, ЮФП ЬОЕТЗЙС ŒПЪВХЦДЕОЙК ОБД ПУОПŒОЩН УПУФПСОЙЕН ŒУЕЗДБ РПМПЦЙФЕМШОБ.) рБТБНЕФТЩ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ОЕФТХДОП ОБКФЙ ЙЪ (1.53) Й ХУМПŒЙС ОПТНЙТПŒЛЙ |uk |2 + |vk|2 = 1.

тЕЫЕОЙЕ 3. вХДЕН ЙУЛБФШ ЛБОПОЙЮЕУЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ Œ ФБЛПН ŒЙДЕ:

 

a = ua + va+ + wa+a + q

(1.56)

a + = u a+ + v a + w a+a + q :

(1.57)

ьФП ОБЙВПМЕЕ ПВЭБС ЖПТНБ, Л ЛПФПТПК НПЦЕФ ВЩФШ РТЙŒЕДЕОП МАВПЕ РПМЙОПНЙБМШОПЕ РП a Й a+ ŒЩТБЦЕОЙЕ. хВЕДЙФШУС Œ ЬФПН НПЦОП УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН. œП{РЕТŒЩИ, У РПНПЭША ЛПННХФБГЙПООЩИ УППФОПЫЕОЙК МАВПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ НПЦЕФ ВЩФШ РТЙŒЕДЕОП Л ОПТНБМШОПК ЖПТНЕ, Œ ЛПФПТПК Œ ЛБЦДПН УМБЗБЕНПН ПРЕТБФПТ a+ (ЕУМЙ ПО ЕУФШ) УФПЙФ УМЕŒБ ПФ a. œП{ŒФПТЩИ, РПУЛПМШЛХ a2 = (a+)2 = 0, ŒЩТБЦЕОЙЕ (1.56) РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ОПТНБМШОХА ЖПТНХ ОБЙВПМЕЕ ПВЭЕЗП ŒЙДБ.

тБУУНПФТЙН ŒЩТБЦЕОЙЕ a 2. рТЙŒЕДЕН ЛŒБДТБФ РТБŒПК ЮБУФЙ ŒЩТБЦЕОЙС (1.56) ДМС a Л ОПТНБМШОПК ЖПТНЕ Й РПФТЕВХЕН, ЮФПВЩ ŒУЕ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФЩ ПВТБФЙМЙУШ Œ ОХМШ. ьФП ДБЕФ ДŒБ ХУМПŒЙС:

w + 2q = 0 ; uv + q2 = 0 :

(1.58)

бОБМПЗЙЮОП, ХУМПŒЙЕ a a + + a +a = 1

РТЙŒПДЙФ Л УППФОПЫЕОЙА

 

|u|2 +

|v|2 + 2|q|2 = 1 :

(1.59)

Смотрите также файлы