Файл: Быстрай Г.П. Термодинамика открытых систем Часть 2 (2006).pdf

Термодинамика открытых систем

где ΛF=F−F0 – термодинамический потенциал неравновесной системы, а Λe − термодинамический потенциал внешней среды. Последнее и является ответом на вопрос в данной задаче. Если перейти к дифференциалам, то из (1.24) получаем результат, приведенный А.Б. Рубиным [15]. Аналогичные соотношения могут быть получены для других потенциалов.

1.3. После совершения одного оборота цикла через τ система вновь вернется в первоначальное состояние, следовательно скорость продуцирования энтропии, или диссипации энергии согласно (1.24), в единицу времени равна определиться уравнением (1.25). В этом случае изменение значения термодинамического потенциала неравновесной системы через время τ0 будет равно нулю ∆Λ*F τ=0. В (1.25) τ0 − время совершения одного оборота цикла (считается достаточно малым). Для внешней среды ∆Λe τ≠0, так как именно за счет взаимодействия с внешней средой и совершается оборот цикла с производимой им за это время работой. Это и доказывает что протекание неравновесных процессов в цикле сопровождается остаточными изменениями в окружающей среде.

1.4. Уравнение (1.25) позволяет сравнивать между собой различные циклы в отношении их энергетической эффективности. Действительно, если имеются две системы, для которых

∆Λ*1 = ∆Λ*2 , то при τ1< τ2 следует что β1 f β2 . Иными словами,

скорость диссипации энергии в первом цикле больше, чем во втором, при том же значении совершенной работы. Этим самым доказывается результат, полученный впервые Т. Мицунойей.

1.5. Для открытой системы энтропия может как увеличиваться так и уменьшаться со временем, так как при стремлении F→F0 функция ΛF(t) в (1.12) уменьшается во времени dΛF(t)/dt<0, а при удалении/отклонении от состояния равновесия dΛF(t)/dt>0. Таким образом, уменьшение энтропии является неустойчивым по Ляпунову процессом, т.е. оно не выполняется на бесконечном интервале времени.

111

Термодинамика открытых систем

1.6. Для доказательства выделим в структуре обратимых потоков через границу, составляющую с теплом d0S/dt:

приde/ S / dt = 0 . Из этого неравенства следует неравенство

(1.26). Неравенства типа (1.26) обычно изучаются в учебных курсах по равновесной термодинамике и приводятся без строгого доказательства.

Решения задач главы 2

2.1. Представим коэффициент Lii в виде:

Lii ( X i ) = k1 − k2 X i + k3 X i2 .

Тогда из (2.11) следует (2.12), в котором

Здесь мы учли, что принцип симметрии коэффициентов для нелинейных процессов не выполняется: Lie ≠ Lei , для уп-

рощения предполагалось выполнение равенства X c ≈ X e . Здесь

также процесс с индексом “e” “приводит в движение” процесс “i” и 0 ≤ φ ≤1 при условии, что знаки у величин сy и b1 и b2 различ-

ны. Расчеты по (2.12) показали, что кривая энергетических превращений для нелинейных процессов может лежать как выше так и ниже кривой для линейных превращений (рис. 2.4б). Числен112

В случае линейного источника имеем α=0. После интегрирования последнего уравнения получаем, что в данной задаче функ-

ция источников σe содержит слагаемые разных знаков, характеризующие стоки и источники тепла (рис.3.1):

В результате скорость изменения энтропии (кинетический потенциал) в такой задаче является сложной функцией температуры:

Можно доказать, что теорема Пригожина для описываемого уравнения выполняется, т.к. в такой нелинейной системе

имеется одно стационарное состояние при σe = const .

− σe

(αСV ρ/ T02 )

0

Термодинамика открытых систем

Рис.3.1. Зависимость нелинейного источника тепла для нелинейного уравнения теплопроводности (3.14) при

β/α = 1.2 .

Решения задач главы 4 4.2. В этом уравнении функция внешних источников равна

После интегрирования последнего уравнения получаем, что в

данной задаче функция источников σe содержит слагаемые разных знаков, характеризующие источники и стоки тепла соответственно:

В результате в такой задаче скорость изменения энтропии (кинетический потенциал) является сложной функцией температуры и содержит слагаемые разных знаков:

Характерно, что данный тип нелинейности не приводит к нарушению теоремы Пригожина при постоянных граничных услови-

ях (σe=const).

Решения задач главы 5

114