Файл: Быстрай Г.П. Термодинамика открытых систем Часть 2 (2006).pdf

Термодинамика открытых систем

В приводимой модели ρx - в общем случае сложная нелинейная функция расстояния х. В линеаризованном представлении эту функцию можно принять линейной функцией расстояния x. Отметим, что при ρx=ρ0, что имеет место в середине межфазного слоя (x= l ), задача существенно упрощается. Параметр порядка

η= ρ* − ρ*0 в этом случае характеризует в феноменологической модели отклонение приведенной плотности ρ* от среднего зна-

чения приведенной плотностиρ*0 . Такой подход приводит к ото-

бражению (5.14), которое при определенных условиях дает хаотические решения (см. рис.5.10).

В динамике как объема, так и давления также выделяются турбулентные (область частых пульсаций) и ламинарные (область медленных пульсаций) временные фазы описываемого нелинейного процесса.

3

2

Рис.5.10. “Гигантские”флуктуации в межфазном слое. Результат компьютерного моделирования возникновения флуктуаций давления большой длительности вблизи критической точки. (кривая 1, T*=0.9942994), эта кривая сравнивается качест-

венно с кривой 2 (T*=0.9346414) и кривой 3 (T*=0.7291529); T0=1 [29].

Такой анализ становится возможным вплоть до критической точки фазового перехода второго рода, которая определяет предельное двухфазное состояние как трижды вырожденную критическую точку (η=a*=b*=0). При приближении к критической точке (T*→1) длительность ламинарных фаз возрастает. Численные расчеты показали, что в очень малой окрестности

103

Термодинамика открытых систем

критической точки время жизни ламинарных фаз на порядки больше (рис.5.10, кривая 1), чем вдали от нее (рис.5.10, кривые 2,3), что соответствует гигантским (по времени) флуктуациям, наблюдаемым в экспериментах. Это явление вблизи критической точки получило название критического замедления.

Хаотическая проводимость ионных каналов. Сегодня ос-

новными поставщиками новых концепций и базовых моделей наряду с физикой, химией становятся биология, нейронаука, экономика и др. Следует обратить особое внимание на биологию и ее некоторые задачи, в частности задачи о проводимости ионных каналов, сокращении саркомеров и т.д. Для этого можно использовать при описании электрической проводимости ионных каналов для параметра порядка (отклонение канального тока от равновесного значения) нелинейное ДУ второго порядка (5.7) с запаздыванием и релаксацией при периодическом воздействии на ток в канале [40].

Параметр порядка η связан при таком подходе с отклонением канального тока (термодинамического потока) Ji=i от среднего значения i0 в приведенном виде

здесь xс=iс – некоторый масштаб потока.

Численные расчеты модельного уравнения (5.7) показывают при наличии релаксации и последействия на хаотическую динамику параметра порядка и конформационного потенциала канального белка с положительными коэффициентами Ляпунова.

Путем масштабирования времени расчетные данные для параметра порядка можно привести к соответствующим эксперименту временным интервалам. При этом время масштабирования t0 2.5 10−4с соответствует времени конформационных переходов канального белка. В целом данная модель при выбранном значении t0 удовлетворительно описывает экспериментально наблюдаемую динамику тока (рис. 5.11б). При этом могут быть построены бифуркационные диаграммы, показывающие зависимость проводимости от управляющих параметров, определены спектры пульсаций тока, показатели Ляпунова и другие характе-

104

Термодинамика открытых систем

ристики полученных хаотических решений.

Рис.5.11. а) Динамика тока одиночного ионного канала i*(t)

– решения уравнения (5.7); б) Экспериментальная запись активности Са2+-активируемого канала при [Cа2+]=10 мкмоль/л и потенциале V=20 мВ; данные [6].

При этом, в отличие от классических методов возможности описания проводимости каналов существенно возрастают.

Задачи к главе 5

Задача 5.1. Составьте алгоритм решения уравнения (5.7), которое следует представить в виде системы трех нелинейных дифференциальных уравнений – автономной системы уравнений (5.8). Получите результаты, приведенные на рис. 5.1, или близкие к ним. Проведите анализ статистический анализ гомофазных и гетерофазных флуктуаций внутренней термодинамической силы (а)(параметра порядка), фазовый портрет (б).

Задача 5.2. Используя решения уравнения (5.7) определите хаотическую динамику скорости изменения энтропии G*, т.е. то, что представлено на рис. 5.2 (а,б)). Как ведет при этом

105

Термодинамика открытых систем

параметр порядка η (в)?

Задача 5.3. Найдите хаотические решения, приведенные на рис. 5.3. и эволюцию “расстояния” между двумя расчетными траекториями уравнения (5.7) при заданных отличающихся начальных условиях. Расстояние между двумя соседними траекто-

риями η(t)/ и η(t)// задайте величиной δη(t)= η(t)/ − η(t)// , оп-

ределите tr – характерное время, за которое система забывает начальные условия.

Задача 5.4. Научитесь строить псевдофазовые портреты решений уравнения (5.7) для для любых произвольно заданных ∆; получите частные решения, приведеные на рис.5.4.

Задача 5.5. Постройте алгоритм получения хаотической динамики параметра порядка и показателя Ляпунова λ для термодинамической системы, описываемой отображением (5.14), который приводит к результату, приведенному на рис. 5.5.

Задача 5.6. Постройте бифуркационную диаграмму η= η( a* ) для отображения сборки (5.14) в интервале

−1.6 < a* < 0.1.

ЛИТЕРАТУРА

1.Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых про-

цессов. М.: ИЛ, 1960. С.127

2.Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1973. С.511.

3.Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. М.: Мир, 1990. С.342.

4.Гиббс Дж. Термодинамика. Статистическая механика. М.:

Наука.1982. С.488.

5.Denbigh K.G. Note on Entropy, Disorder and Disorganization. Brit. J. Sci. T. 40 ,1989, p. 323.

6.Климонтович Ю.Л. Введение в физику открытых систем. Соровский образовательный журнал.N 8,1996. С. 109-116.

7.Леонтович М.Л. Введение в термодинамику. Статистическая физика. М.: Наука, 1983. C.416.

8.Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. 2

106

Термодинамика открытых систем

издание Л.-М., 1935. С.

9.Базаров И.П. Термодинамика. М.: Высшая школа, 1976.С.447

10.Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения.

М.: Наука,1987.

11.Быстрай Г.П. Метод функций Ляпунова в анализе открытых термодинамических систем// Вестник кибернетики. N 4.

ИПС СО РАН 2005. С.122-137.

12.Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М.: Мир, 1973.

С.279.

13.Семенченко В.К. Вступительная статья к книге Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1974. С.301.

14.Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях. М.: Наука, 1979. С. 136.

15.Рубин А.Б. Биофизика. T.1. С.448. T.2. С. 467. М.: Книжный дом «Университет», 1999.

16.Gyarmati I. Оn the basic principles of the scattering processes and Its generalisation on the nonlinear promlems. Ann. D. Phys.1969, V.7. P.353.

17.Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М.: Мир.. 1984. T.1. С. 350. T.2. С. 285.

18.Быстрай Г.П., Пивоваров Д.В. Неравновесные системы. Свердловск: Изд-во Урал. госуни−та.1989. С.187.

19.Хакен Г. Информация и самоорганизация: макроскопический подход к сложным системам. М.: Мир, 1991. С.

20.Чернавский Д.С. Синергетика и информация. М.: Наука, 2001. С.245.

21.Кеплен С.Р., Эссиг Э. Биоэнергетика и линейная термодинамика необратимых процессов. М.: Мир, 1986. С. 382.

22.Быстрай Г.П. Методика оценки эффективности энергетических превращений в физических процессах, происходящих при воздействии на горные породы// Изв. вузов. Гор-

ный журнал.1988. N9. C.1.

23.Летников Ф.А. Синергетика геологических систем. Новоси-

бирск: Наука,1992. С.228.

24.Murray J.D. Mathematical Biology. Springer-Verlag. Berlin.

107

Термодинамика открытых систем

Heidelberg. New York. London. Paris. Tokyo. 1984.

25.Соболев С.Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса // УФН. Т.167, N 10. C.1095

26.Лыков А.В. Тепломассообмен: (Справочник). М.: Энергия, 1978. С.480.

27.Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир. 1988. C.240.

28.Быстрай Г.П., Студенок С.И., Иванова С.И. Детерминированная модель гомофазных и гетерофазных флуктуаций в системе “жидкость−пар”// ТВТ. 2002. T.40. N 5. C. 779.

29.Быстрай Г.П., Студенок С.И., Иванова С.И. Детерминированный хаос при фазовых переходах первого рода в систе-

ме “жидкость−пар”// ТВТ. 2003. T.41. N 4. C.579.

30.Кольцова Э.М., Третьяков Ю.Д, Гордеев Л.С.и др. Нелинейная динамика и термодинамика необратимых процессов в химии и химической технологии. М.: Химия. 2001. С.407.

31.Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастичесчкая динамика. М.: Мир. 1984. С.528.

32.Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.:

Наука, 1984. C.270

33.Быстрай Г.П. Детерминированный хаос при химических реакциях в межфазном слое при высоких температурах//

ТВТ. 2003. T.41. N 6. C.1.

34.Лифщиц E.M.,Питаевский Л.П. Физическая кинетика. Т. 10.

М.: Наука. 1979.С. 527.

35.Гельфер Я.М. История и методология термодинамики и статистической физики.Т.2. М.: Высшая школа. 1973.

36.Эткин В.А. Термокинетика (термодинамика неравновесных процессов переноса и преобразования энергии): Учебное пособие для вузов.- 2-е изд., - Тольятти, 1999.- 216 с.: илл. 17. Библиогр.: 180 назв.

37.Малинецкий Г.Г./ Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

38.Пригожин И.Р. От существующего к возникающему. М.:

Наука, 1985.

108

Термодинамика открытых систем

39.Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: УРСС, 2002.

40.Быстрай Г.П., Ворох А.С., Андреев С.В. Детерминированный хаос в динамике тока одиночных ионных каналов био-

мембран. Биофизика. 2005. Т.50, вып.5. с. 851-861.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в нерав-

новесных системах. М.: Мир, 1973. С.511.

Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. М.:

Мир, 1990. С.342.

Климонтович Ю.Л. Введение в физику открытых систем. Соровский образовательный журнал.N 8,1996. С. 109116.

Базаров И.П. Термодинамика. М.: Высшая школа, 1976.С.447

Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука,1987.

Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М.: Мир, 1973.

С.279.

Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях. М.: Наука, 1979. С. 136.

Рубин А.Б. Биофизика. T.1. С.448. T.2. С. 467. М.:

Книжный дом «Университет», 1999.

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М.: Мир.. 1984. T.1. С. 350. T.2. С. 285.

Кеплен С.Р., Эссиг Э. Биоэнергетика и линейная термодинамика необратимых процессов. М.: Мир, 1986. С. 382.

Гельфер Я.М. История и методология термодинамики и статистической физики.Т.2. М.: Высшая школа. 1973.

Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.:

Мир. 1988. C.240.

Кольцова Э.М., Третьяков Ю.Д, Гордеев Л.С.и др. Нелинейная динамика и термодинамика необратимых процессов в химии и химической технологии. М.: Химия. 2001.

С.407.

109

Термодинамика открытых систем

Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

Решения задач главы 1 1.1. Оба выражения в правой части (1.11) являются непол-

ными дифференциалами, так как производство энтропии представляет только часть прироста энтропии [12,15]. Однако производство энтропии при σe=0 можно преобразовать в полный дифференциал, следуя (1.12), так как выполняется:

Это и означает, что в реальных процессах свободная энергия уменьшается, т.к. ΛF = F − F0 > 0 .Этот результат является след-

ствием используемого принципа минимальности потенциала в состоянии равновесия.

Из (1.23) получаем для полного дифференциала Пригожина−Гленсдорфа соотношение di S = −(1 / T )dF T ,V [12]. Этот

дифференциал непосредственно связан с изменением свободной энергии Гельмогольца dF. Пригожин и Гленсдорф, не доказывая этого соотношения, объясняли последнее тем, что все процессы протекают в направлении уменьшения F до тех пор, пока свободная энергия не достигнет минимума в устойчивом равновесном состоянии. Наличие такой взаимосвязи между изменениями термодинамических потенциалов для неравновесных состояний и производством энтропии в литературе как правило не обсуждается, кроме единственного упоминания в [12] о взаимосвязи свободной энергии и производства энтропии в виде указанного выше дифференциала Пригожина−Гленсдорфа.

1.2. Производство энтропии в системе как это следует из

(1.11) равно:

110