Файл: Быстрай Г.П. Термодинамика открытых систем Часть 2 (2006).pdf

Термодинамика открытых систем

уравнениям, дающим при сохранении классических свойств фазовых переходов, их новые характеристики. Эти характеристики связаны с появлением в системе детерминированного хаоса, который также можно рассматривать как основу построения моделей флуктуаций в термодинамических системах. Процесc вступления в химическую реакцию, связанный с конечной скоростью диффузии, испарение молекул с малой поверхности и др. рассматриваются как мгновенные «удары», приводящие в такой нелинейной системе к резкому изменению параметра порядка η (плотности, концентрации и др.). При этом реализуются промежуточные стадии, когда процесс повторяется. Следуя [27,33], от модели (5.7) перейдем к каноническому уравнению с δ−функцией Дирака в правой части

Далее рассмотрим класс задач с последействием, для которых переменная η определена для момента времени t, а амплитуда удара f для момента времени (t−τ), т.e. задачи со временем ретардации τ. Раскладывая в ряд Тейлора функцию f(t−τ) по малому параметру τ и ограничиваясь двумя членами разложения, получаем перед производной η по времени

длительность ударов гораздо меньше времени между ними T0/ . 93

Термодинамика открытых систем

Интегрируя полученное уравнение

где ε→0, переходим, следуя [29, 33], к двумерному отображению, когда сплайн для неравновесного коэффициента затухания имеет вид Γk =1 − τ( 3η2k + a* ) .

η

0

а

T0=1τ=0.03

λ

a*

b*

б

Рис.5.5. Хаотическая динамика параметра порядка (а) и показатель Ляпунова λ (б) для термодинамической системы, описываемой отображением (5.14). Хаос имеет место при λ>0 (заштрихованные области (б)), T0=1, τ=0.03.

В результате получаем двумерное отображение

94

Термодинамика открытых систем

Отношение τ/T0 определяет для отображения (5.14) различную степень неравновесия в рассматриваемой системе.

При уменьшении отношения τ/T0 характеристики итерируемого процесса приближаются к равновесным. Время строби-

рования ∆t может быть выбрано в виде ∆t=T0=1 ( t0 = T0/ ). В ре-

зультате двумерное отображение (5.14), (5.15) становится одномерным и предстает в форме (5.14), что существенно облегчает нелинейный анализ рассматриваемой нелинейной задачи, которая ранее сводилась к системе 3−х нелинейных дифференциальных уравнений.

Отображение (5.14) является по сути дискретным представлением уравнения Халатникова−Ландау, широко распространенного в теории фазовых переходов [18], на которое наложено условие последействия. Здесь оно дополнено также условием запаздывания. Отметим, что известные в нелинейной динамике отображение Хенона и логистическое отображение получены аналогичным образом, их вывод приведен в [27].

Уравнение эволюции в дискретной форме (5.14), дает не только периодические, релаксационные, но и хаотические решения (см. Рис.5.5). Хаотические решения также имеют скорости изменения энтропии, свободной энергии и других термодинамических характеристик. Поскольку связи между ними на термодинамическом уровне выявлены и они представлены в виде уравнений, то все эти термодинамические характеристики также могут быть исследованы на хаос. Это означает, что мы имеем удобный способ моделирования флуктуаций в нелинейных системах, обусловленных не случайными значениями, а детерминированными нелинейными особенностями самой локальнонеравновесной системы.

95

Термодинамика открытых систем

5.7. Бифуркационные диаграммы

Исследование хаоса подразумевает получение бифуркационных диаграмм и соответствующих им показателей Ляпунова [27, 33]. Поэтому вернемся к рассмотрению отображения (5.14) и его свойствам. Бифуркационная диаграмма, построение которой является довольно интересным занятием, показывает зависимость решений уравнения (отображения) от тех или иных управляющих параметров. Диаграмма имеет вид вилки, от которого и произошло слово “бифуркация” (от французского слова bifurkftion – раздвоение, ветвление).

Для описания перехода от циклического поведения переменной к хаотическому при изменении управляющих параметров отображения были использованы бифуркационные диаграммы, которые для переменной ηk могут быть построены от параметров a, T0, τ, b (для катастрофы сборки. Для рассматриваемой катастрофы на рис.5.6а представлена бифуркационная диаграмма и, соответствующие ей значения показателя Ляпунова λ (рис. 5.6б). Значения λ определялись по формуле

часть отображения (5.14), которую надо продифференцировать.

Непрерывное изменение управляющих параметров приводит к каскаду бифуркаций, которые проявляются в виде ветвлений на бифуркационной диаграмме и сопровождаются удвоением периода, связанным с субгармонической неустойчивостью. Каждое из ветвлений соответствует потере устойчивости одной из неподвижных точек и образованию двух устойчивых. При этом система распадается на две новые фазы, которые соответствуют двум устойчивым точкам: x+ и x−. Теперь каждая последующая итерация переводит систему из одной фазы в другую. Таким образом, аттрактор с периодом 1 сменяется аттрактором с

96

Термодинамика открытых систем

периодом 2 [27].

Выше критических значений τ∞≈0.266 и а∞≈−1.85 в описываемой системе начинается область так называемого детерминированного хаоса, где параметр порядка ведет себя хаотически. Расчет всех точек бифуркаций ренормгрупповым методом, как это выполнялось для логистического отображения [31], затруднен вследствие сложности полученного отображения. Из рис. 5.6 видно, что в области хаоса имеются участки с периодической динамикой параметра порядка − окна детерминированности (светлые полосы), соответствующие отрицательным показателям Ляпунова.

Рис.5.6. Бифуркационная диаграмма (а) для переменной ηk отображения сборки и его показатель Ляпунова (б) при

T=0.35, τ=0.14.

В отличие от логистического отображения, в котором имеется всего один управляющий параметр, исследуемое ото-

97

Термодинамика открытых систем

бражение (5.14) являются многопараметрическим; для таких систем важно знать характер их поведения в зависимости сразу от нескольких управляющих параметров. Этот вопрос является также интересным с точки зрения управления хаосом − темы популярной в последнее время. При наличии, например, плоской или трехмерной области управляющих параметров границы между областями с различным поведением не сводятся к точкам бифуркации, а представляют собой кривые или поверхности (см.

Рис.5.7).

Это область прогнозируемой динамики. В области хаотического движения (λ>0) имеющиеся пики, уходящие в область отрицательного λ, соответствуют окнам детерминированного поведения. Это тоже область прогнозируемой динамики, при λ>0 время прогнозирования ограничено.

T=1

λ

τ

C

A

B C`

a

Рис. 5.7. Двухпараметрическая зависимость показателя Ляпунова λ(τ, а) для отображения сборки при T0=1; в области хаоса λ(τ, а)>0; A−область хаоса; B−область регулярного движения; CC`− граничная кривая перехода к хаосу.

Наглядное представление о таком поведении, а также о сложной структуре областей хаоса и регулярного движения можно получить при помощи трехмерных диаграмм, отражающих

98

Термодинамика открытых систем

зависимость показателя Ляпунова от двух параметров (рис. 5.7). В плоскости управляющих параметров всех трех диаграмм изображены некоторые контурные графики из линий равного уровня для различных значений λ. Аномальные пики в области регулярного движения (λ<0) соответствуют различным режимам периодического движения, характеризуемых периодом, амплитудой и т.д. Для каждого временного интервала коэффициент затухания является кусочно-постоянной функцией, последнее соответствует пошаговым временным значениям статистических данных.

Γk τ=0.02T0=

1

Рис.5.8. Бифуркационная диаграмма для коэффициента затухания Гk отображения сборки.

На рис.5.8. приведена бифуркационная диаграмма для нелинейного коэффициента затухания отображения сборки

(5.14): Γk =1 − τ( 3xk2 + a ) . Приведены также пошаговые его зна-

чения, установленные численными методами, что подтверждает выполнимость двух условий, при которых решалась задача: зависимостью коэффициента затухания от времени и ее кусочнопостоянной характер, связанный с его нелинейной зависимостью от ηk. Анализ бифуркационных явлений для отображения (5.14) был бы неполным без анализа влияния управляющего параметра b как на сами бифуркации, так и на показатель Ляпунова. На рис.

99

Термодинамика открытых систем

5.9а приведена бифуркационная диаграмма для переменной ηk отображения сборки (5.14) и его показатель Ляпунова λ при постоянных остальных параметрах.

Рис. 5.9. Бифуркационная диаграмма (а) для переменной ηk(b) отображения сборки и его показатель (б) Ляпунова λ(b) при

T0=1, τ=0.02; a=−0.6.

Как на бифуркационной диаграмме, так и нижней кривой зафиксированы широкие окна детерминированного поведения. Показатель Ляпунова для решений в окнах меньше нуля. Эти полосы иллюстрируют фрактальную природу описываемых процессов, т.к. в каждом из окон бифуркационная диаграмма повторяется, хотя и в более уменьшенном виде. В точках бифуркаций показатель Ляпунова принимает нулевые значения.

5.8. Хаос и необратимость

Получаемые в рамках нелинейной динамики результаты не противоречат классической теории неравновесных процессов

100

Термодинамика открытых систем

(термодинамике необратимых процессов), дополняя последнюю новыми возможностями, в том числе возможностью описания флуктуаций в виде хаотических пульсаций, которые она не могла учитывать, алгоритмами описания устойчивости по Ляпунову равновесных и стационарных состояний и описать возникновение необратимости по времени. Для таких хаотических термодинамических систем могут быть построены бифуркационные диаграммы, рассчитаны показатели Ляпунова, определено время необратимости Колмогорова.

Что очень важно, то это то что для хаотических состояний термодинамических систем может быть также как и в нелинейных задачах механики определена энтропия Колмогорова, характеризующая скорость забывания системой (локальным объемом) начальных условий. Такой подход устанавливает связь между необратимостью по времени неравновесных термодинамических процессов и энтропией Колмогорова K0:

S(t)=K0t, K0 = dSdt ≥ 0 .

Являясь по существу производством энтропии, K0 ха-

рактеризует меру экспоненциальной скорости разбегания траекторий термодинамической системы. Описываемые необратимые термодинамические процессы определяются временем необратимости tr.

Отметим в заключении, что алгоритмы вычисления энтропии Колмогорова для конкретных задач теплофизики приводятся в статьях [28,29, 33]. Оказывается, что такому анализу поддаются процессы в межфазном слое, в котором имеют место прямой и обратный ему нелинейные процессы – испарение и конденсация [28,29], прямая и обратная реакции для химических реакций [33]; отметим также процессы плавления и кристаллизации [30]. Особенно привлекательным выглядит применение этих идей в сейсмологии.

При этом полученное уравнение (5.7) описывает фазовые переходы I и II рода с хаотической динамикой параметра порядка, в том числе гомофазные и гетерофазные флуктуации параметра порядка, давления, температуры, а также конечное время

101

Термодинамика открытых систем

жизни фазовой траектории, метастабильные состояния, гистерезис. Подход позволяет соотнести такие понятия как взрывной фазовый переход в двухкомпонентных термодинамических системах, хаос и нелинейные процессы, а также ответить на вопрос − реализуется ли в нелинейных термодинамических системах детерминированный хаос и как быстро теряется в них информация о начальных условиях. Рассмотрение же процессов в более общем виде, которое выполнено в данном пособии, когда переменными являются термодинамические силы или потоки, является чрезвычайно важной задачей для теплофизики. При этом причинами нерегулярности и непредсказуемости является собственная нелинейная динамика термодинамической системы, а не влияние шумов и внешних возмущений.

5.9. Примеры термодинамических хаотических систем

Межфазный слой в системе жидкость-пар. Рассмотрим тонкий слой жидкости и пара малого, но конечного объёма, включающий границу раздела фаз. Изменение плотности единичной толщины такого слоя ρх=ρ во времени под действием давления P, температуры T, которые считаются одинаковыми для всего межфазного слоя, может быть представлено в виде однороднего нелинейного уравнения с полиномом третьей степени в правой части [29]:

где ki некоторые параметры задачи (i=1,…,4), определяющие в

общем случае непрерывное изменение плотности межфазного слоя по толщине. Первоначально будем считать эти параметры постоянными. Здесь используется полином третьей степени, так как в качестве равновесных решений уравнения имеет место три значения, что вполне достаточно для описания двух устойчивых состояний (жидкость и пар) и одного неустойчивого. Задача решается при следующих граничных условиях для межфазного слоя: x=0 ρ0=ρL; x=∆=2 l ρ∆=ρG..

102