Файл: Арнольд В.И. Математические методы классической механики (1988).pdf

математике, а также преподавателей и научных работников.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к третьему изданию

6

Из предисловия к первому изданию

9

ЧАСТЬ I. НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА

Глава 1. Экспериментальные факты

11

§ 1. Принципы относительности и детерминированности

11

§ 2. Галилеева группа и уравнения Ньютона

12

§ 3. Примеры механических систем

18

Глава 2. Исследование уравнений движения

21

§ 4. Системы с одной степенью свободы

21

§ 5. Системы с двумя степенями свободы

26

§ 6. Потенциальное силовое поле

30

§ 7. Кинетический момент

32

§ 8. Исследование движения в центральном поле

34

§ 9. Движение точки в трехмерном пространстве

42

§ 10. Движение системы га точек

44

§ 11. Соображения подобия

50

ЧАСТЬ II. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА

Глава 3. Вариационный принцип

52

§ 12. Вариационное исчисление

53

§ 13. Уравнения Лагранжа

56

§ 14. Преобразование Лежандра

59

§ 15. Уравнения Гамильтона

61

§ 16. Теорема Лиувилля

64

Глава 4. Лагранжева механика на многообразиях

70

§ 17. Голономные связи

70

§ 18. Дифференцируемые многообразия

72

§ 19. Лагранжева динамическая система

77

§ 20. Теорема Нётер

81

§ 21. Принцип Даламбера

84

Глава 5. Колебания

90

§ 22. Линеаризация

90

§ 23. Малые колебания

94

§ 24. О поведении собственных частот

99

§ 25. Параметрический резонанс

102

Глава 6. Твердое тело

111

§ 26. Движение в подвижной системе координат

111

§ 27. Силы инерции. Сила Кориолиса

115

§ 28. Твердое тело

119

§ 29. Уравнения Эйлера. Описание движения по Пуансо

127

§ 30. Волчок Лагранжа

131

§ 31. Спящий волчок и быстрый волчок

136

ЧАСТЬ III. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА

Глава 7. Дифференциальные формы

142

§ 32. Внешние формы

143

§ 33. Внешнее умножение

148.

§ 34. Дифференциальные формы

152

§ 35. Интегрирование дифференциальных форм

158

§ 36. Внешнее дифференцирование

164

Глава 8. Симплектические многообразия

175

§ 37. Симплектическая структура на многообразии

175

§ 38. Гамильтоновы фазовые потоки и их интегральные инварианты

177

§ 39. Алгебра Ли векторных полей

181

§ 40. Алгебра Ли функций Гамильтона

187

§ 41. Симплектичеекая геометрия

191

§ 42. Параметрический резонанс в системах со многими степенями свободы

197

§ 43. Симплектический атлас

201

Глава 9. Канонический формализм

205

§ 44. Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана

205

§ 45. Следствия из теоремы об интегральном инварианте Пуанкаре —

211

Картана

§ 46. Принцип Гюйгенса

218

§ 47. Метод Якоби — Гамильтона интегрирования канонических уравнений

226

Гамильтона

§ 48. Производящие функции

234

Глава 10. Введение в теорию возмущений

238

§ 49. Интегрируемые системы

238

§ 50. Переменные действие — угол

245

§ 51. Усреднение

250

§ 52. Усреднение возмущений

256

ДОБАВЛЕНИЯ

Добавление 1. Риманова кривизна

266

Добавление 2. Геодезические левоинвариантных метрик на группах Ли и

283

гидродинамика идеальной жидкости

Добавление 3. Симплектическая структура на алгебраических

308

многообразиях

Добавление 4. Контактные структуры

314

Добавление 5. Динамические системы с симметрией

337

Добавление 6. Нормальные формы квадратичных гамильтонианов

347

Добавление 7. Нормальные формы гамильтоновых систем вблизи

351

неподвижных точек и замкнутых траекторий

Добавление 8. Теория возмущений условно-периодических движений и

365

теорема Колмогорова

Добавление 9. Геометрическая теорема Пуанкаре, ее обобщения и

384

приложения

Добавление 10. Кратности собственных частот и эллипсоиды, зависящие от

393

параметров

Добавление 11. Коротковолновые асимптотики

406

Добавление 12. Лагранжевы особенности

415

Добавление 13. Пуассоновы структуры

422

Добавление 14. Об эллиптических координатах

435

Добавление 15. Особенности систем лучей

445

Добавление 16. Уравнение Кортевега—де Фриза

465

Предметный указатель

469

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Алгебра Ли 181, 284, 285

— —, собственные числа 348

— — векторных полей 184

Гиперплоскость контактная 320

— — группы Ли 186

Гомологии 174

— — первых интегралов 190

Граница цепи 162

— — функций Гамильтона 187,

График отображения 15

190

Группа галилеева 13

Апоцентр 36

— диффеоморфизмов

Атлас 72

однопараметрическая 25, 182

— симплектический 201

— Ли 186, 284

Атласы эквивалентные 72

— ортогональная 197

Базис симплектический 192

— параллельных переносов 12

— эрмитово-ортонормировавный

— симплектическая 193

309

— стационарная 241

Биения 97, 98

— унитарная 197

Вариация 53

Движение в RN 14

Вектор касательный к

— в галилеевой системе координат

многообразию 74, 75

15

— кокасательный к многообразию

— в лагранжевой системе 77

176

— в подвижной системе координат

— Лапласа 381

111

— Пуассона 345

— в центральном поле 32, 58

— формы нулевой 206

— поступательное 112

— характеристический 335

— условно-периодическое 251, 381

Векторы косоортогональные 192

Действие 57

Вихрь двумерного поля скоростей

Действие группы Ли пуассововское

300

339

Волчок быстро запущенный 140

Дивергенция 165

— быстрый 137

Диффеоморфизм 25

— Лагранжа 132

—, гомологичный тождественному

— симметричный 132

387

— спящий 136

— контактный 325

Вращение 112

Дифференциал функционала 53

— переносное 113

Длина пути оптическая 220

— равномерное 113

Дополнение косоортогональное 192

— стационарное 129, 293

Жесткость системы 99

Время 13

Задача двух тел 49

Гамильтониан квадратичный 347

— Кеплера 39

— трех тел 20

— фазовая 22

— — — ограниченная 383

Кривизна риманова 266, 269

Закон Кеплера второй 33, 34, 40

— — по двумерному направлению

— — первый 40

272

— — третий 40

Кривые эквивалентные 75

— сохранения импульса 45

Лагранжиан 57

— — кинетического момента 33, 34,

Лемма Пуанкаре 172

42, 46, 47

— Стокса 205

— — циркуляции 298

— — многомерная 207

— — энергии 21, 26, 42, 47—49, 181

Линеаризация 91, 92

Изотропность пространства 17

Линии вихревые 205

Импульс 45

— ротора 205, 207

— обобщенный 57

Линия мировая 15

Инвариант адиабатический 262, 263,

Луч 220

380, 381

Масса 20

— интегральный 179

Маятник Фуко 118

— — относительный 180

Медлительность фронта нормальная

— — — Пуанкаре 209

220, 223

— — Пуанкаре—Картана 208

Метрика келерова 313

Инволютивность 60

— риманова 76

Инволюция Лежандра 332

— — левоинвариантная 287

Индекс Маслова 411—413

— — правоинвариантная 295

— Морса 410, 411, 413

Мир 13

Индикатриса 218

Многообразие вложенное 74

Интеграл формы по цепи 163

— дифференцируемое 72, 73

Интегрирование дифференциальных

— келерово 313

форм 158

— лагранжево 409, 448

Карта 72

— —, порожденное триадой 461

Карты совместные 72

— лежандрово 331

Каустика 407, 408, 417, 449

— параллелизуемое 121

Квадрики конфокальные 436

— пуассоново 422

Класс когомологий алгебры Ли 339

— риманово 76

Клетки жордавовы 348

— связное 73

— — неустранимые 349

— симплектическое 175, 427

Когомологий 173, 339

Многочлен гиперболический 442

Колебания малые 88

— Чебышева 29

— собственные 95

Множество эллипсоидов вращения

— фазовые 364

394

Количество движения 45

Момент 340

Коммутатор 181, 184

— вектора относительно оси 43

— Ли 186

— — — точки 33

Контактизация симплектического

— инерции относительно оси 123

многообразия 335

— кинетический 32, 46, 289

Координаты обобщенные 57

— количества движения 32

— циклические 58, 64

Направление сопряженное 221

— эллиптические 437

Невесомость 116

Коразмерность многообразия 395

Неравенство Юнга 60

Коцикл алгебры Ли двумерный 339

Нутация 135, 139

Кривая 15

Обмотка тора 251

Образ контактной формы 326

— — неинтегрируемое 316

Однородность пространства 17

— осесимметричное 43

Одночлены внешние 146

— правоинвариантное 187

Окрестность точки многообразия 73

— приведенное 345

Оператор дифференциальный 183

— силовое потенциальное 31, 42

— инерции 122, 289

— центральное 32, 42

Орбита 27

Полином возвратный 198

Особенности лагранжевы 415

Полиэдр сингулярный ft-мерный 161

— лежандровы 333, 421

Положение равновесия 22, 87, 90

Ось инерции 123

Поля изозавихренные 298

Отображение дифференцируемое 76

Поток геодезический 278

— за период 103

— — ориентированных контактных

— каноническое 180, 210

элементов 326

— лагранжево 420, 449

— поля через поверхность 164

— лежандрово 452

— фазовый 25, 65

— периодов 432

— — гамильтонов 178

— пуассоново 424

— — локально гамильтонов 191

— Хопфа 28

Представление группы

Перегрузка 116

коприсоединенное 286

Перекачка энергии 97

— — присоединенное 285

Переменные действие — угол 246—

Преобразование галилеево 14

248

— каноническое 210

— действия 245

— — бесконечно малое 236

— Клебша 424

— — свободное 227, 234

Перемещение винтовое 115

— Лежандра 59, 332, 452

— виртуальное 85

— симплектическое линейное 193

Перенесение вектора параллельное

— — сильно устойчивое 199

267, 270

— — устойчивое 199

Перицентр 36

— унитарное 413

Плоскость контактная 322

— эллиптическое 354

— Лобачевского 268

Прецессия 131, 136, 139

— симплектического пространства

Принцип Гюйгенса 219, 326

изотропная 194

— Даламбера—Лагранжа 84, 87

— — — лагранжева 194

— детерминированности Ньютона

— — — нулевая 194

12

— фазовая 22

— наименьшего действия

Плотность гомеоидная 442—444

Гамильтона 52, 56, 57

Подалгебра 190

— — — Мопертюи 216

Подгруппа дискретная 242

— относительности Галилея 12, 16

Подмногообразие лежандрово 331,

— усреднения 253

450

— Ферма 218

Поле векторное вариации

Проекция естественная 75

геодезической 275

Произведение внешнее 145, 148

— — гамильтоново 177, 422

— внутреннее 173

— — контактное 326

— кососкалярное 187, 188, 191, 342

— — локально гамильтоново 191

— прямое 14

— — фазовой скорости 22

— скалярное 13

— гиперплоскостей 315

— — эрмитово 309

— — невырожденное 319

Производная ковариантная 273, 275