Вариант 3

1. Преобразуйте выражение в многочлен: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

2. Разложите на множители выражение: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

3. При каких значениях переменной разность квадратов выражений и 3 равна квадрату их разности?

4. Найдите значение выражения при и .

5. Решите уравнение: а) ; б) .

6. Разложите на множители выражение: а) ; б) .

7. Докажите, что многочлен при любых значениях входящих в него переменных принимает положительные значения.

Контрольная работа № 7

Глава 7. Функции

Подготовительный вариант

1. Найдите значение функции: а) при ; б) при .

2. Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции .

3. В одной системе координат постройте графики функций , и .

4. Задайте формулой прямую пропорциональность, если ее график проходит через точку .

5. Найдите координаты точки пересечения графиков функций и .

6. Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен графику функции и пересекается с графиком функции в точке, лежащей на оси ординат.

7. Найдите координаты точки, через которую проходят графики функции при любых значениях параметра .

Вариант 1

1. Найдите значение функции: а) при ; б) при .

2. Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции .

3. В одной системе координат постройте графики функций , и .

4. Задайте формулой прямую пропорциональность, если ее график проходит через точку .

5. Найдите координаты точки пересечения графиков функций и .

6. Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен графику функции и пересекается с графиком функции в точке, лежащей на оси ординат.

7. Найдите координаты точки, через которую проходят графики функции при любых значениях параметра .

Вариант 2

1. Найдите значение функции: а) при ; б) при .

2. Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции .

3. В одной системе координат постройте графики функций , и .

4. Задайте формулой прямую пропорциональность, если ее график проходит через точку .

5. Найдите координаты точки пересечения графиков функций и .

6. Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен графику функции и пересекается с графиком функции в точке, лежащей на оси ординат.

7. Найдите координаты точки, через которую проходят графики функции при любых значениях параметра .

Вариант 3

1. Найдите значение функции: а) при ; б) при .

2. Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции .

3. В одной системе координат постройте графики функций , и .

4. Задайте формулой прямую пропорциональность, если ее график проходит через точку .

5. Найдите координаты точки пересечения графиков функций и .

6. Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен графику функции и пересекается с графиком функции в точке, лежащей на оси ординат.

7. Найдите координаты точки, через которую проходят графики функции при любых значениях параметра .

Контрольная работа № 8

Глава 8. Системы линейных уравнений

Подготовительный вариант

1. Решите систему уравнений и выполните проверку .

2. Найдите значение выражения , если известно, что – решение системы уравнений .

3. Не выполняя построений, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений и .

4. Из порта одновременно в противоположных направлениях вышли два катера. Через 3 ч расстояние между ними составило 96 км. Найдите скорость первого катера, если она на 10 км/ч больше скорости второго катера.

5. Запишите уравнение прямой , где – целые числа, проходящей через точки и .

6. Найдите все значения , при которых система не имеет решений.

7. Четыре одинаковых насоса, работая вместе, наполнили нефтью первый танкер и треть второго танкера (другого объема) за 11 ч. Если бы 3 насоса наполнили первый танкер, а затем один из них наполнил бы четверть второго танкера, то работа заняла бы 18 ч. За сколько часов 3 насоса могут наполнить второй танкер?

Вариант 1

1. Решите систему уравнений и выполните проверку .

2. Найдите значение выражения , если известно, что – решение системы уравнений .

3. Не выполняя построений, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений и .

4. Моторная лодка прошла по течению реки 8 км, а против течения 3 км, затратив на весь путь 45 мин. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

5. Запишите уравнение прямой , где – целые числа, проходящей через точки и .

6. Найдите все значения , при которых система не имеет решений.

7. Три каменщика (разной квалификации) выложили кирпичную стену, причем первый каменщик работа 6 ч, второй – 4 ч, а третий – 7 ч. Если бы первый каменщик работал 4 ч, второй – 2 ч, а третий – 5 ч, то они выполнили бы всей работы. За сколько часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали все вместе одно и то же время?

Вариант 2

1. Решите систему уравнений и выполните проверку .

2. Найдите значение выражения , если известно, что – решение системы уравнений .

3. Не выполняя построений, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений и .

4. Моторная лодка прошла по течению реки 20 км, а против течения 30 км. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а на весь путь затрачено 6 ч 40 мин.

5. Запишите уравнение прямой , где – целые числа, проходящей через точки и .

6. Найдите все значения , при которых система не имеет решений.

7. Три бригады вспахали два поля общей площадью 96 га. Первое поле было вспахано за 3 дня, причем все три бригады работали вместе. Второе поле было вспахано за 6 дней второй и третьей бригадами. Если бы все три бригады проработали на втором поле 1 день, то оставшуюся часть второго поля первая бригада могла вспахать за 8 дней. Сколько гектаров в день вспахивает первая бригада?

Вариант 3

1. Решите систему уравнений и выполните проверку .

2. Найдите значение выражения , если известно, что – решение системы уравнений .

3. Не выполняя построений, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений и .

4. Моторная лодка плыла по течению реки 3 ч, а на тот же путь против течения реки моторная лодка затратила 5 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 10 км/ч.

5. Запишите уравнение прямой , где – целые числа, проходящей через точки и .

6. Найдите все значения , при которых система не имеет решений.

7. Три одинаковых комбайна, работая вместе, убрали первое поле, а затем 2 из них убрали второе поле (другой площади). Вся работа заняла 12 ч. Если бы 3 комбайна выполнили половину всей работы, а затем оставшуюся часть сделал бы один из них, то работа заняла бы 20 ч. За какое время 2 комбайна могут убрать первое поле?

Итоговая контрольная работа

Подготовительный вариант

1. Решите уравнение: а) ; б) ; в) .

2. Запишите множество значений переменной , при которых выражение не имеет смысла.

3. Упростите выражение и найдите его значение при , .

4. Поезд был задержан в пути на 1 ч. Увеличив скорость на 30 км/ч, он через 3 часа прибыл на конечную станцию точно по расписанию. Какова была скорость поезда до остановки?

5. Постройте график функции . По графику определите: а) наибольшее и наименьшее значения функции; б) сумму целых значений аргумента, при которых значения функции положительны.

6. Разложите на множители выражение .

7. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и , параллельной графику уравнения .

8. Решите систему уравнений .

Вариант 1

1. Решите уравнение: а) ; б) ; в) .

2. Запишите множество значений переменной , при которых выражение не имеет смысла.

3. Упростите выражение и найдите его значение при , .

4. Пешеход рассчитал, что, двигаясь с определенной скоростью, он пройдет намеченный путь за 2,5 ч. Но, увеличив скорость на 1 км/ч, он прошел этот путь за 2 ч. Найдите длину пути.

5. Постройте график функции . По графику определите: а) наибольшее и наименьшее значения функции; б) сумму целых значений аргумента, при которых значения функции положительны.

6. Разложите на множители выражение .

7. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и , параллельной графику уравнения .

8. Решите систему уравнений .

Вариант 2

1. Решите уравнение: а) ; б) ; в) .

2. Запишите множество значений переменной , при которых выражение не имеет смысла.

3. Упростите выражение и найдите его значение при , .

4. Расстояние между двумя пунктами поезд проходит по расписанию за 7 ч. Через 6 ч после отправления он снизил скорость на 10 км/ч, поэтому в конечный пункт пришел с опозданием на 10 минут. Найдите первоначальную скорость поезда.

5. Постройте график функции . По графику определите: а) наибольшее и наименьшее значения функции; б) сумму целых значений аргумента, при которых значения функции отрицательны.

6. Разложите на множители выражение .

7. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и , параллельной графику уравнения .

8. Решите систему уравнений .

Вариант 3

1. Решите уравнение: а) ; б) ; в) .

2. Запишите множество значений переменной , при которых выражение не имеет смысла.

3. Упростите выражение и найдите его значение при , .

4. Пассажирский поезд за 4 часа проходит такое же расстояние, какое проходит товарный за 6 ч. Найдите скорость пассажирского поезда, если она на 20 км/ч больше скорости товарного.

5. Постройте график функции . По графику определите: а) наибольшее и наименьшее значения функции; б) сумму целых значений аргумента, при которых значения функции отрицательны.

6. Разложите на множители выражение .

7. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и , параллельной графику уравнения .

8. Решите систему уравнений .

Дополнительные упражнения с параметрами

В этом разделе приводятся дополнительные упражнения, содержащие параметры, как имеющиеся в учебнике «Алгебра 7» Ю.Н. Макарычева и др., так некоторые другие. Их решение целесообразно при итоговом повторении, хотя возможно их использование и в процессе изучения и закрепления нового материала¹.

Глава 1. Выражение и множество его значений

1. Даны множества и . При каком значении параметра множество : а) является пустым; б) является собственным подмножеством множества ; в) является подмножеством множества ?

2. Даны множества и . При каком значении параметра множество : а) является пустым; б) является собственным подмножеством множества ; в) является подмножеством множества ?

3. При каких значениях параметра выражение : а) определено для любых значений переменной ; б) определено для любых значений переменной , кроме нуля?

4. При каких значениях параметра выражение : а) определено для любых значений переменной ; б) определено для любых значений переменной , кроме нуля?

5. При каких значениях параметра выражение : а) определено для любых значений переменной ; б) определено для любых значений переменной , кроме нуля?

6. При каких значениях параметра выражение : а) определено для любых значений переменной ; б) определено для любых значений переменной , кроме 3?

Глава 2. Одночлены

1. При каких значениях и верно равенство: а) ; б) ?

2. При каких значениях и верно равенство: а) ; б) ; в) ?

3. При каких значениях и степень одночлена равна: а) 4; б) 5; в) 6?

Глава 3. Многочлены

1. При каком значении значение многочлена : а) неотрицательно; б) положительно; в) при целых значениях переменных и является нечетным числом?

2. При каком значении степень многочлена, тождественно равного произведению , равна: а) 3; б) ?

3. При каком значении многочлен, тождественно равный произведению , имеет положительный старший коэффициент?

4. При каком значении многочлен, тождественно равный произведению , имеет: а) свободный член, равный нулю; б) коэффициент перед , равный 1; в) коэффициент перед , равный нулю; г) коэффициенты, сумма которых равна нулю; д) сумму коэффициентов перед переменной в четной степени, равную сумме коэффициентов перед переменной в нечетной степени.

Глава 4. Уравнения

1. При каком значении уравнение : а) имеет ровно один корень; б) имеет бесконечное множество корней; в) имеет хотя бы один корень; г) не имеет корней; д) имеет корень ; е) имеет корень, равный –1?

2. При каком значении уравнение : а) имеет ровно один корень; б) имеет бесконечное множество корней; в) имеет хотя бы один корень; г) не имеет корней; д) имеет корень ; е) имеет корень, равный –2?

3. При каком значении уравнение : а) имеет единственный корень; б) имеет хотя бы один корень; в) не имеет корней; г) имеет корень, равный –2?

4. При каком значении уравнения и равносильны?

5. При каком значении уравнение имеет: а) положительный корень; б) отрицательный корень; в) корень, больший 3?

6. Найдите все , при которых корень уравнения: а) ; б) ; в) ; г) является целым числом.

7. Найдите все , при которых корни уравнений и являются противоположными числами.

Глава 5. Разложение многочленов на множители

1. Найдите все целые значения , при которых квадратный трехчлен можно разложить на множители – двучлены с целыми коэффициентами.

2. Найдите все целые значения , не превосходящие 5, при которых квадратный трехчлен можно разложить на множители – двучлены с целыми коэффициентами.

3. Многочлен можно представить в виде произведения двучлена и квадратного трехчлена с целыми коэффициентами. Найдите: а) ; б) ; в) .

4. При каких , не превосходящих по модулю 5, уравнение имеет: а) только один корень; б) три различных целых корня; в) два целых корня?

Глава 6. Формулы сокращенного умножения

1. При каком значении квадратный трехчлен: а) ; б) ; в) является полным квадратом?

2. При каких значения квадратного трехчлена: а) ; б) положительны при любых значениях переменной ?

3. При каких квадратный трехчлен имеет наименьшее значение, большее 2?

Глава 7. Функции

I. Дана линейная функция . При каком значении параметра график этой функции:

1. параллелен графику прямой пропорциональности ;

2. не пересекает график линейной функции ;

3. не пересекает ось абсцисс;

4. проходит через точку ;

5. пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой ;

6. проходит через точку пересечения графиков функций и ;

7. пересекает ось абсцисс в точке с положительной абсциссой;

8. проходит через точку, абсцисса и ордината которой равны;

9. не содержит точки с противоположными абсциссой и ординатой;

10. проходит только через одну точку отрезка , где , ;

11. проходит хотя бы через одну точку отрезка , где , ;

12. проходит через середины сторон квадрата , где , , , ;

13. не проходит ни через одну точку квадрата , где , , , ;

14. симметричен графику функции относительно оси ординат;

15. симметричен графику функции относительно оси абсцисс;

16. симметричен графику функции относительно начала координат?