Файл: KlubVer311.doc

3. Парадокс- что это?

Учитель: Мы с Вами уже знаем, что теория вероятности интересная, строгая наука со своими законами и правилами. А сейчас мы услышали, что в теории вероятности есть свои парадоксы. Давайте вспомним, а что же означает слово парадокс?

4 ученик: Покопавших в различных словарях можно сделать следующую подборку для понятия «парадокс» (Всем участникам раздается листовка «Парадокс, парадокс, парадокс…»)

• Парадокс Даль

Парадокс м. греч. мнение странное, на первый взгляд дикое, озадачливое, противное общему…

• Парадокс   Словарь синонимов

Парадокс см. изречение, мысль…

• Парадокс   Брокгауз и Ефрон

Парадокс, греч., умозаключение, утверждение, не соответствующее общепринятому мнению…

• Парадокс   Общественные науки

Парадокс - в логике - высказывание, противоречащее логическим законам при сохранении логической правильности хода рассуждений. греч.Paradoxos - странный…

• Парадокс   Литературная энциклопедия

Парадокс [греч. paradoxos - "противоречащий обычному мнению"] - выражение, в котором вывод не совпадает с посылкой и не вытекает из нее, а, наоборот, ей противоречит, давая неожиданное и необычное ее…

• Парадокс   БСЭ

Парадокс (от греч. paradoxes - неожиданный, странный), неожиданное, непривычное (хотя бы по форме) суждение (высказывание, предложение), резко расходящееся с общепринятым, традиционным мнением по данному…

• Парадокс   Википедия

Парадо́кс (от др.-греч. παράδοξος —неожиданный, странный от др.-греч. παρα-δοκέω — кажусь) — высказывание, утверждение, суждение или вывод, характеризующиеся парадоксальностью

Парадоксальность — неожиданность, непривычность, оригинальность, противоречивость себе, исходным посылкам, общепринятому, традиционному взгляду или здравому смыслу по содержанию и/или по форме

5 ученик: Парадоксальность — чрезвычайно распространённое качество, присущее произведениям самых разных жанров искусства. В силу своей необычности парадоксальные высказывания, названия, содержания произведений неизменно привлекают к себе внимание людей. Это широко используется в разговорном жанре, в театральном и цирковом искусствах, в живописи и фольклоре. Хороший оратор обязательно использует этот приём в своих выступлениях для поддержания живого интереса слушателей. Комизм большинства анекдотов заключается в описании необычной, оригинальной ситуации. Популярная детская «поэзия нелепостей» Льюиса Кэрролла и Корнея Чуковского также построена на этом художественном приёме.

Парадоксальны многие афоризмы известных мыслителей. Напр., высказывания Вольтера: «Ваше мнение мне глубоко враждебно, но за ваше право его высказать я готов пожертвовать своей жизнью» или Ницше: «Нищих надобно удалять – неприятно давать им и неприятно не давать им», Фрумкера: «Мужчина от женщины отличается тем, что перед совершением ошибки он всё тщательно продумывает». Парадоксальностью отличаются и афоризмы Козьмы Пруткова, Бернарда Шоу, Оскара Уайльда

---

В классической музыке парадоксом принято называть изысканные, странные произведения или фрагменты, отличающиеся от традиционного звучания. Также парадоксами в древней Греции называли победителей в олимпийских состязаниях певцов и исполнителей инструментальной музыки.

Современные науки, использующие логику в качестве инструмента познания, нередко наталкиваются на теоретические противоречия либо на противоречия теории опыту. Это бывает обусловлено неверной аксиоматизацией теорий, логическими ошибками в построении суждений, несовершенством существующих в настоящее время научных методов или недостаточной точностью используемых в опытах инструментов

Наличие парадокса стимулирует к новым исследованиям, более глубокому осмыслению теории, её «очевидных» постулатов и нередко приводит к полному её пересмотру.

Парадокс в логике — это противоречие, имеющее статус логически корректного вывода и, вместе с тем, представляющее собой рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям. Логическая ошибка парадокса в отличие от паралогизма и софизма не обнаружена пока из-за несовершенства существующих методов логики.

Различаются такие разновидности логических парадоксов, как апория и антиномия.

Апория характеризуется наличием аргумента, противоречащего очевидному, общепринятому мнению, здравому смыслу.

Антиномия — наличием двух противоречащих друг другу, одинаково доказуемых суждений

Учитель: А мы с Вами сейчас попытаемся разобраться с некоторыми интересными парадоксами теории вероятности.

4. Парадоксы теории вероятности

5 ученик Парадокс 1

Парадокс независимости

Математическое определение независимости обычно согласуется с нашим представлением о независимости. Например, мы бросаем две симметричные монеты (т.е. выпадение решки и выпадение герба равновероятны). Тогда события А - "на первой монете выпал герб" и В - "на второй монете выпал герб" очевидно, независимы как в общепринятом смысле, так и в математическом. Это согласование, однако, наблюдается не всегда.

Суть парадокса

Пусть событие С - "на одной (и только на одной) монете выпал герб". Тогда события А, В, и С попарно независимы, но любые два из них однозначно определяют третье.

Объяснение парадокса

События А и В независимы, как уже говорилось выше.

События А и С, а также В и С тоже независимы, т.к.

и .

Справедливо также, что любые два события определяют третье, т.к. каждое событие А, В и С происходит тогда и только тогда, когда происходит ровно одно из двух других событий. Этот парадокс, таким образом, показывает, что попарная независимость вовсе не означает независимость в совокупности. Таким образом, события называются независимыми в совокупности, если для любого конечного набора из этой совокупности выполняется следующее свойство:

---

Можно рассмотреть простой пример, разрешить который можно, однако, только с помощью понятия независимости.

Вовочка собирается сыграть три партии в "дурака" со своими родителями, и для победы ему нужно не остаться "в дураках" два раза подряд. Порядок игр может быть таким: "отец - мать - отец"(1) или "мать - отец - мать"(2). Вовочке нужно решить, какой порядок для него удобнее, если отец играет лучше матери. Сначала может показаться, что порядок (2) для Вовочки лучше, т.к. он дважды играет с матерью. Но в этом случае ему придется за одну попытку победить отца, иначе он не победит два раза подряд. Что же будет, если Вовочка выберет вариант (1)? Если он выигрывает с вероятностью p у отца и с вероятностью q у матери, то p < q , т. к. отец играет лучше матери. Если Вовочка выберет вариант (1), он должен выиграть либо 1-ую и 2-ую партии (с вероятностью pq), либо 2-ую и 3-ю (с вероятностью qp). Тогда вероятность того, что произойдет одно из этих событий, равна

pq + qp - pqp (pqp вычитаем, т.к. иначе мы бы учли дважды вероятность того, что Вовочка выиграет во всех трех партиях).

Аналогично, если Вовочка выберет порядок (2), то вероятность того, что он выиграет дважды подряд, равна

qp + pq - qpq.

Так как p < q, то

pq + qp - pqp > qp + pq - qpq,

следовательно, Вовочке лучше играть два раза с отцом и лишь один раз - с матерью

6 ученик Парадокс 2

Одной из задач, давших начало теории вероятностей, является знаменитый парадокс игры в кости, разрешенный еще в "Книге об игре в кости" Д. Кардано (1501-1576), которая вышла лишь в 1663г.

Суть парадокса

Правильная игральная кость при бросании с равными шансами падает на любую из граней 1, 2, 3, 4, 5, 6. В случае бросания двух костей сумма выпавших чисел заключена между 2 и 12. Как 9, так и 10 из чисел 1, 2, ..., 6 можно получить двумя разными способами: 9=3+6= или 9=4+5 и 10=4+6 или 10=5+5. В задаче стремя костями и 9, и 10 получаются шестью способами. Почему тогда 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10 - когда бросают три?

Объяснение парадокса

В свое время эту задачу считали очень трудной. Часто и сейчас забывают о необходимости учета порядка выпадения костей. В случае двух костей 9 и 10 могут получиться следующим образом: =3+6, или 9=6+3, или 9=4+5, или =5+4 и 10=4+6, или 10=6+4, или 10=5+5. Это значит, что при двух костях 9 можно "выбросить" четырьмя способами, а 10 - лишь тремя. Следовательно, здесь шансы получить 9 предпочтительней. В случае трех костей ситуация меняется на противоположную: 9 можно "выбросить" 25 способами, а 10 - уже 26 способами. Потому 10 получается чаще, чем 9.

7 ученик Парадокс 3

Парадокс Бертрана

В некоторых задачах по теории вероятности требуется геометрический подход (например, попадание пуль в мишень). В задачах такого типа предполагается, что случайные точки равномерно распределены в некоторой области. Вероятность попадания в произвольную часть этой области пропорциональна ее площади (длине или объему). Такие вероятности приводят к возникновению ряда парадоксов. Например, шанс попасть в центр мишени ( или в любую другую заданную точку) равен нулю. С другой стороны, попасть в эту точку можно. Таким образом, необходимо различать невозможные события и события, происходящие с вероятностью 0 (вероятность невозможного события равна 0, но обратное неверно). Может показаться странным следующий факт: вероятность попадания по крайней мере в одну точку из конечного множества точек и вероятность попадания лишь в одну точку совпадают (обе вероятности равны 0. см. парадокс о нулевой вероятности). Другая странность: взаимно однозначное преобразование может совершенно изменить шансы. Например, если мы случайно выбираем точку из интервала (0, 1), то шансы выбрать число меньшее 1/2, равны 50%. Но если все числа из (0,1) возвести в квадрат и равномерно выбирать из квадратов, то шансы увеличатся до 65,6%. Конечно, ответ 50% более естественен, но в других задачах выбор между естественностью и неестественностью может оказаться невозможным только на основе логических рассуждений.

---

Суть парадокса

Для некоторой окружности случайным образом выбирается хорда. Найти вероятность того, что эта хорда длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в окружность. Парадокс утверждает, что такая вероятность определяется неоднозначно, т.е. различные методы приводят к разным результатам.

1-ый метод С лучайным образом (равномерно) в круге выбирается точка. Эта случайная точка определяет единственную хорду, серединой которой она является. Эта хорда длиннее стороны вписанного правильного треугольника тогда и только тогда, когда ее середина лежит внутри круга, вписанного в треугольник. Радиус этого круга равен половине радиуса исходного круга, следовательно площадь вписанного круга составляет 1/4 площади исходного. Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка лежит внутри вписанного круга, равна 1/4.

2-й метод И з соображений симметрии можно считать, что одним концом хорды является произвольная фиксированная точка на окружности. Пусть этой точкой является вершина вписанного треугольника. Выберем другой конец случайно с равномерным распределением. Вершины треугольника делят окружность на три равные дуги, и случайная хорда длиннее стороны правильного треугольника, если она пресекает этот треугольник. Так что искомая вероятность теперь равна 1/3.

3-й метод В ыберем случайным образом и равномерно точку на радиусе окружности и возьмем хорду, которая перпендикулярна этому радиусу и проходит через выбранную точку. Тогда случайная хорда длиннее стороны вписанного правильного треугольника, если случайная точка лежит на той половине радиуса, которая ближе к центру. Из соображений симметрии не важно, какой радиус был выбран для построения, поэтому искомая вероятность равна 1/2.

Объяснение парадокса

Казалось бы, во всех трех случаях рассуждения верны, но все-таки вероятность одного и того же события оказалась разной. Однако на самом деле мы решали три различные задачи (т.е. за меру выбирались различные множества).

В первом случае за меру множества точек избрали площадь, в которой эти точки расположены, и вычисляли отношение двух площадей.

Во втором случае за меру множества точек, попадающих в определенный угол, приняли величину соответствующего угла и вычисляли отношение двух углов(т. е. угла π/3 и развернутого угла π).

Ну а в третьем случае мы "катили" хорду по диаметру и, принимая длину отрезка за меру множества точек на нем, вычисляли отношение длины отрезков.

8 ученик Парадокс 4

Парадокс дня рождения

Суть парадокса

Если собираются вместе не более, чем 365 человек, то возможно, что все они имеют различные дни рождения. Однако среди 366 человек наверняка найдутся по крайней мере два таких, у которых дни рождения приходятся на один и тот же день в году. (Предположим, что мы не рассматриваем високосные года.) Однако, если мы зададимся целью найти, сколько должно быть людей, чтобы с надежностью 99% два из них имели один и тот же день рождения, то обнаружим, что достаточно 55 человек. В то же время среди 68 человек с вероятностью 99.9% по крайней мере два имеют одинаковый день рождения. Почти не правдоподобно, что такая малая разница между вероятностями 99% и 100% может привести к столь большим различиям в числе людей. Этот парадоксальный случай иллюстрирует одну из главных причин, почему теория вероятностей применяется так широко.

---

Объяснение парадокса

Обозначим через n число дней в году, и пусть x – число людей в группе ( x < n ). Тогда вероятность того, что никакие два человека в этой группе не имеют одинаковых дней рождения, равна

. Следовательно, если

, то p - вероятность того, что среди x людей найдутся имеющие один и тот же день рождения. Приближенное решение этого уравнения ( при условии, что 0 < p < 1) равно

следовательно, порядок величины x есть для любого значения p из интервала (0; 1). В то же время, если p = 1, то x = n + 1. Обобщение проблемы дня рождения состоит в следующем, вычислить нижнюю границу x так, что с вероятностью p в группе из x человек по крайней мере у k дни рождения приходятся на один и тот же день в году. Ответом здесь является , где с постоянная, зависящая только от p и k (точнее )

9 ученик Парадокс 5

Конверт

Кто-то приготовил два конверта с деньгами. В одном денег в два pаза больше, чем в другом. Вы решили взять один из конвертов, но затем вам в голову пришли следующие мысли: "Предположим, что выбранный мною конверт содержит X долларов, тогда другой содержит или X/2 или 2Х баксов. Оба случая pавновозможны, поэтому сpедне-ожидаемое будет 0.5 * X/2 + 0.5 * 2X = 1.25X долларов, поэтому я должен передумать и взять другой конверт. Hо, тогда я могу применить свои рассуждения еще pаз. Что-то здесь не так! Где я ошибся?"

В разновидности этой задачи, вам pазpешено заглянуть в один из конвертов перед тем как сделать окончательный выбор. Предположим, что заглянув в конверт вы увидели 100 зеленых. Измените ли вы свой выбор?

Объяснение парадокса

Парадокс решается тем, что случаи 100-200 и 100-50 не равновозможны. У вашего визави не бесконечно много денег.

10 ученик Парадокс 6

Паpадокс Аллаиса

  Паpадокс Аллаиса заключается в выбоpе из двух ваpиантов:
    1) 89% от неизвестной суммы.
        10% от $1 миллиона (от одного миллиона зеленых)
        1% от $1 миллиона.
    2) 89% от неизвестной суммы (той же, что и в случае 1)
        10% от $2.5 миллионов.
        1% от ничего.
  Какой выбоp будет более pазумным? Pезультат останется пpежним, если "неизвестная сумма" это $1 миллион? Если это "ничего"?

Объяснение парадокса

Здесь действительно, математически выгоднее вариант 2. Но, чисто психологически люди обычно очень боятся 1% и выбирают первый. А вот если искомая сумма - 0, то барьер устраняется, и все радостно выберают второй вариант.

11 ученик Парадокс 7

Парадокс нулевой вероятности

В ероятность невозможного события - ноль. Обратного мы утверждать не можем: вероятность попадания в центр мишени равна 0, но это событие не является невозможным. Вероятность попадания в любую из тысячи фиксированных точек тоже равна 0, но мы интуитивно думаем, что это событие все же более правдоподобно, чем попадание в центр. Возникает вопрос: можно ли сравнить события, имеющие нулевую вероятность? Другая проблема состоит в том, что, хотя вероятность попадания в центр - нулевая, хороший стрелок наверняка попадет. Получается, что объединение событий с нулевой вероятностью может дать 1! Таким образом, мы что-то получаем из ничего. Возможно ли это на самом деле? Этот парадокс подобен известному парадоксу Зенона о невозможности движения. Зенон утверждал, что что, так как перемещение стрелы за нулевой интервал времени равно нулю, то в каждое мгновение стрела неподвижна. Следовательно, непонятно, как она вообще движется. Таким образом, приведенному парадоксу уже несколько тысяч лет (мы ведь тоже хотим из ничего получить что-то). Но его удовлетворительное объяснение появилось сравнительно недавно благодаря исследованиям Абрахама Робинсона (1918 - 1974 гг.)

---