Файл: Лекция 2 по дисциплине " электротехника и электроника " тема 2 линейные электрические цепи постоянного тока.ppt
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.11.2023
Просмотров: 60
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
Вопрос 2. Идеальные источники напряжения (источники ЭДС)
Идеальный и реальный источники тока
Вопрос 3. Эквивалентность различных представлений источника электрической энергии
3.1. Метод эквивалентных преобразований
3.2 Метод применения законов Кирхгофа
3.4. Метод узлового напряжения (узловых потенциалов)
Вопрос 4. Основные сведения о нелинейных электрических цепях постоянного тока
В большинстве случаев параметры источников ЭДС или напряжения, источников тока, сопротивлений участков электрической цепи известны, при этом число неизвестных равно разности между числом ветвей NB и числом источников токаNТ (N = (NB - NТ) ). Для упрощения расчетов сначала записывают более простые уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, а недостающие - по второму закону Кирхгофа.
Число уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, берется на единицу меньше числа узлов Nу в цепи: N1 = Ny - 1. При этом токи, направленные к узлу, условно принимаются положительными, а направленные от узла - отрицательными.
Остальное число уравнений N2 = N - N1 составляется по второму закону Кирхгофа.
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа ЭДС источников принимаются положительными, если направления их действия совпадают с выбранным направлением обхода контура, независимо от направления тока в них. При несовпадении их записывают со знаком « - ». Падения напряжений в ветвях, в которых положительное направление тока совпадает с направлением обхода, независимо от направления ЭДС в этих ветвях - со знаком «+». При несовпадении с направлением обхода падения напряжений записываются со знаком «-».
В результате решения полученной системы из N уравнений находят действительные направления определяемых величин с учетом их знака. При этом величины, имеющие отрицательный знак, в действительности имеют направление, противоположное условно принятому. Направления величин, имеющих положительный знак, совпадают с условно принятым направлением.
Во многих случаях электрические цепи содержат только источники ЭДС и источники напряжения и не имеют источников тока. При этом расчет электрических цепей значительно проще, так как запись уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, упрощается.
Для схемы, изображенной на рис. 12, которая содержит два узла (Ny = 2), при числе неизвестных N = 3, подлежащих определению, число уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа,
N1 = Ny - 1 = 2 - 1 = 1.
Число недостающих уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, N2 = N – N1 = 3 - 1 = 2. При заданных условных положительных направлениях токов уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа для узла 1 электрической цепи с учетом того, что токам, направленным к узлу, приписывается знак «+», а токам, направленным от узла, - знак « - », имеет вид:
I1 + I2 - I3 = 0.
В соответствии с выбранным условным положительным направлением обхода контура, показанным на рис. 12 пунктирными стрелками, уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для левого и правого замкнутого контура с учетом положительных направлений токов и ЭДС, записывают в следующем виде:
Е1 - Е2 = R1 I1 - R2 I2 и E2 = R2 I2 + R3 I3 + U.
1
2
Решение полученной системы трех уравнений позволяет определить неизвестные величины.
При этом величины со знаком « + » в действительности имеют направление, совпадающее с соответствующим первоначально заданным на схеме условным направлением.
Величины со знаком «-» в действительности имеют направление, противоположное первоначально заданному условному направлению, показанному на схеме рис. 12.
Пример
Для электрической цепи постоянного тока (рис. 13) определить токи I1 … I3 в ветвях. ЭДС Е1 = 10 В; Е2= 20 В; сопротивления резисторов: R1 = 10 Ом; R2 = 20 Ом; R3 = 15 Ом.
Решение.
Для узла разветвления в соответствии спринятым на схеме условным положительным направлением составляют уравнение для токов по первому закону Кирхгофа:
I1 + I2 = I3.
Для внешнего и нижнего замкнутых контуров составляют уравнения по второму закону Кирхгофа:
R1 I1 + R3 I3 = E1.
R2·I2 + R3·I3 = E2.
1
2
Запишем полученные уравнения в матричном виде:
Запишем расширенную матрицу применительно к условиям решаемой задачи :
Для решения систем линейных уравнений сначала определим общий определитель Δ: (нечётные столбцы с «+» , чётные с «-»)
Другим способом- достроим матрицу до пяти столбцов, взятых из первых столбцов:
Находим частные определители Δ1, Δ2, Δ3:
Для нахождения значений тока необходимо разделить частные определители на общий:
Для проверки правильности решений подставим полученные численные значения в уравнение составленное по первому закону Кирхгофа:
I1 + I2 = I3. 0,077+0,538=0,615 А
Для расчета сложных электрических цепей широко используют метод контурных токов, в основу которого положены расчетные (условные) контурные токи, замыкающиеся по смежным контурам разветвленных электрических цепей.
Метод контурных токов позволяет при составлении системы уравнений для расчета электрических цепей не записывать уравнения по первому закону Кирхгофа и тем самым уменьшить общее количество уравнений, необходимых для расчета. Истинные значения токов в ветвях электрической цепи определяются по значениям контурных токов.
В процессе расчета по этому методу определяют независимые замкнутые контуры и задаются условными положительными направлениями контурных токов. При этом во всех замкнутых контурах для упрощения процесса расчета целесообразно задавать контурным токам одинаковые положительные направления.
Число уравнений при расчете по методу контурных токов равно числу контурных токов.
При составлении контурных уравнений по второму закону Кирхгофа для замкнутых контуров ЭДС источников питания принимаются положительными, если их направления совпадают с направлениями контурных токов, при несовпадении с контурным током их записывают со знаком «-». Со знаком «-» записывают напряжения, а также падения напряжений, направленные против контурного тока, а со знаком «+», если они совпадают с ним.
Величины контурных токов во внешних (не смежных) ветвях оказываются равными по значению токам в ветвях, которые нанесены на электрическую схему. Токи смежных ветвей равны разности контурных токов соседних контуров. При этом со знаком «+» записывается контурный ток, совпадающий с направлением тока в смежной ветви.
Применительно к электрической цепи (рис. 14) в соответствии с заданным направлением ЭДС, напряжения, токов в ветвях и контурных токов уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа для замкнутых контуров, записывают в следующем виде:
(3.20)
В результате решения полученной системы уравнений и определяют контурные токи I11 и I22.
При этом токи во внешних (несмежных) ветвях электрической цепи оказываются численно равными соответствующим контурным токам:
I1 = I11; I3 = I22.
Ток в смежной ветви определяют из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для точки разветвления электрической цепи:
I1 - I2 - I3 = 0, откуда I2 = I1 - I3 = I11 - I22.
E1 + E2 = (R1 + R2) I11 – R2 I22;
-E2 = (R2 + R3) I22 – R2 I11 + U.
Пример
Для электрической цепи постоянного тока (рис. 13) определить токи I1 … I3 в ветвях. Для удобства расчетов изменим положение ветвей так, как это изображено на рис. 15.
Решение.
Запишем уравнения контурных токов I11 и I22:
(R1 + R3) I11 + R3 I22 = E1;
R3 I11 + (R2 + R3) I22 = E2.
В матричной форме эти уравнения имеют следующий вид:
Применим алгоритм Гаусса для решения системы уравнений:
Из последнего уравнения I22 = 0,538 А.
Подставим это значение в первое уравнения, тогда
I11 = 0,077 А.
Ток I3 определим как сумму токов I11 и I22:
I3 = I11 + I22 = 0,615 А.
Метод узлового напряжения целесообразно использовать для расчета электрических цепей, содержащих несколько параллельных ветвей, присоединенных к паре узлов.
Преимущество этого метода перед другими возрастает с увеличением числа параллельных ветвей электрических цепей. При этом определяется узловое напряжение, что позволяет достаточно просто определять токи в параллельных ветвях и другие величины, характеризующие подобные электрические цепи.
Узловое напряжение между двумя точками разветвлений (узлами) определяют в соответствии с выражением
(3.21)
где –
-алгебраическая сумма произведений ЭДС и проводимостей соответствующих ветвей;
- алгебраическая сумма произведений напряжений и проводимостей соответствующих ветвей;
- алгебраическая сумма токов источников тока в ветвях;
Gk = 1/Rk - проводимость k-той ветви цепи, равная величине, обратной ее сопротивлению;
- сумма проводимостей всех ветвей.
При расчете электрических цепей по методу узлового напряжения:
Задаются условным положительным направлением указанного напряжения, рассчитывая его по соответствующей формуле.
Определяют проводимости всех ветвей.
При определении токов в параллельных ветвях для соответствующих замкнутых контуров выбирают направления обхода контура и
Составляют уравнения по второму закону Кирхгофа. (ЭДС, напряжения и токи источников тока принимаются положительными, если они направлены по направлению обхода контура, и отрицательными, если они направлены против направления его обхода).
При отсутствии в электрической цепи источников тока процесс расчета существенно упрощается. При этом выражение для определения напряжения, действующего между двумя узлами, приводится к виду:
(3.22)
Рассмотрим применение метода узлового напряжения на примере схемы, изображенной на рис. 16, а. При заданном условном положительном направлении напряжения U12, действующего между узлами 1 и 2, ЭДС в замкнутом контуре, образованном из соответствующей ветви и замыкающего напряжения Un, при обходе контура по заданному положительному направлению принимается со знаком «+», если совпадает с направлением обхода, а если не совпадает - со знаком
«-».
Напряжения, не совпадающие при обходе соответствующего контура с направлением напряжения между узлами U12, принимаются со знаком «-», а совпадающие - со знаком «+». Знаки в расчетной формуле не зависят от направления токов в ветвях электрической цепи. С учетом этого выражение для напряжений между узлами 1 и 2 цепи записываем в следующем виде:
(3.23)
Для расчета токов в ветвях электрической цепи составляют замкнутый контур, состоящий из рассматриваемой ветви цепи, замыкаемой напряжением U12 между узлами, с учетом действительного его направления. Расчетная схема ветви с резистором R1 и ЭДС Е1 приведена на рис. 16, б. Задавшись условным положительным направлением обхода полученного таким образом контура, например, по часовой стрелке (направление обхода показано пунктирной стрелкой), записывают с учетом знаков уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа; Е1 = R1·I1 + U12, отсюда определяется величина тока I1 в данной ветви цепи. Аналогичным образом определяются токи в других ветвях электрической цепи.
Пример
Для электрической цепи постоянного тока (рис. 15) определить величину токов в ветвях цепи, воспользовавшись методом узловых потенциалов. Напомним, что Е1 = 10 В; Е2= 20 В; сопротивления резисторов: R1 = 10 Ом; R2 = 20 Ом; R3 = 15 Ом.
Решение. Запишем формулу для вычисления напряжения между узлами 1 и 2 цепи:
Тогда токи в ветвях оказываются равными:
I1 = (E1 – U12)/R1 = 0,77/10 = 0,077 A.
I2 = (E2 – U12)/R2 = 10,77/20 = 0,538 A.
I3 = U12 /R3 = 9,23/15 = 0,615 A.
Нетрудно убедиться в том, что результат идентичен полученному ранее (методом уравнений Кирхгофа или методом контурных токов).
К нелинейным электрическим цепям постоянного тока относятся электрические цепи, содержащие нелинейные сопротивления, обладающие нелинейными вольтамперными характеристиками I(U), т. е. нелинейной зависимостью тока от приложенного к нелинейному сопротивлению напряжения.
Различают неуправляемые нелинейные сопротивления (лампы накаливания, газотроны, бареттеры, полупроводниковые диоды и т. д.), которые характеризуются одной вольтамперной характеристикой, и управляемые (многоэлектродные лампы, транзисторы, тиристоры и др.), которые характеризуются семейством вольтамперных характеристик.
Число уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, берется на единицу меньше числа узлов Nу в цепи: N1 = Ny - 1. При этом токи, направленные к узлу, условно принимаются положительными, а направленные от узла - отрицательными.
Остальное число уравнений N2 = N - N1 составляется по второму закону Кирхгофа.
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа ЭДС источников принимаются положительными, если направления их действия совпадают с выбранным направлением обхода контура, независимо от направления тока в них. При несовпадении их записывают со знаком « - ». Падения напряжений в ветвях, в которых положительное направление тока совпадает с направлением обхода, независимо от направления ЭДС в этих ветвях - со знаком «+». При несовпадении с направлением обхода падения напряжений записываются со знаком «-».
В результате решения полученной системы из N уравнений находят действительные направления определяемых величин с учетом их знака. При этом величины, имеющие отрицательный знак, в действительности имеют направление, противоположное условно принятому. Направления величин, имеющих положительный знак, совпадают с условно принятым направлением.
Во многих случаях электрические цепи содержат только источники ЭДС и источники напряжения и не имеют источников тока. При этом расчет электрических цепей значительно проще, так как запись уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, упрощается.
Для схемы, изображенной на рис. 12, которая содержит два узла (Ny = 2), при числе неизвестных N = 3, подлежащих определению, число уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа,
N1 = Ny - 1 = 2 - 1 = 1.
Число недостающих уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, N2 = N – N1 = 3 - 1 = 2. При заданных условных положительных направлениях токов уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа для узла 1 электрической цепи с учетом того, что токам, направленным к узлу, приписывается знак «+», а токам, направленным от узла, - знак « - », имеет вид:
I1 + I2 - I3 = 0.
В соответствии с выбранным условным положительным направлением обхода контура, показанным на рис. 12 пунктирными стрелками, уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для левого и правого замкнутого контура с учетом положительных направлений токов и ЭДС, записывают в следующем виде:
Е1 - Е2 = R1 I1 - R2 I2 и E2 = R2 I2 + R3 I3 + U.
1
2
Решение полученной системы трех уравнений позволяет определить неизвестные величины.
При этом величины со знаком « + » в действительности имеют направление, совпадающее с соответствующим первоначально заданным на схеме условным направлением.
Величины со знаком «-» в действительности имеют направление, противоположное первоначально заданному условному направлению, показанному на схеме рис. 12.
Пример
Для электрической цепи постоянного тока (рис. 13) определить токи I1 … I3 в ветвях. ЭДС Е1 = 10 В; Е2= 20 В; сопротивления резисторов: R1 = 10 Ом; R2 = 20 Ом; R3 = 15 Ом.
Решение.
Для узла разветвления в соответствии спринятым на схеме условным положительным направлением составляют уравнение для токов по первому закону Кирхгофа:
I1 + I2 = I3.
Для внешнего и нижнего замкнутых контуров составляют уравнения по второму закону Кирхгофа:
R1 I1 + R3 I3 = E1.
R2·I2 + R3·I3 = E2.
1
2
Запишем полученные уравнения в матричном виде:
Запишем расширенную матрицу применительно к условиям решаемой задачи :
Для решения систем линейных уравнений сначала определим общий определитель Δ: (нечётные столбцы с «+» , чётные с «-»)
Другим способом- достроим матрицу до пяти столбцов, взятых из первых столбцов:
Находим частные определители Δ1, Δ2, Δ3:
Для нахождения значений тока необходимо разделить частные определители на общий:
Для проверки правильности решений подставим полученные численные значения в уравнение составленное по первому закону Кирхгофа:
I1 + I2 = I3. 0,077+0,538=0,615 А
3.3. Метод контурных токов
Для расчета сложных электрических цепей широко используют метод контурных токов, в основу которого положены расчетные (условные) контурные токи, замыкающиеся по смежным контурам разветвленных электрических цепей.
Метод контурных токов позволяет при составлении системы уравнений для расчета электрических цепей не записывать уравнения по первому закону Кирхгофа и тем самым уменьшить общее количество уравнений, необходимых для расчета. Истинные значения токов в ветвях электрической цепи определяются по значениям контурных токов.
В процессе расчета по этому методу определяют независимые замкнутые контуры и задаются условными положительными направлениями контурных токов. При этом во всех замкнутых контурах для упрощения процесса расчета целесообразно задавать контурным токам одинаковые положительные направления.
Число уравнений при расчете по методу контурных токов равно числу контурных токов.
При составлении контурных уравнений по второму закону Кирхгофа для замкнутых контуров ЭДС источников питания принимаются положительными, если их направления совпадают с направлениями контурных токов, при несовпадении с контурным током их записывают со знаком «-». Со знаком «-» записывают напряжения, а также падения напряжений, направленные против контурного тока, а со знаком «+», если они совпадают с ним.
Величины контурных токов во внешних (не смежных) ветвях оказываются равными по значению токам в ветвях, которые нанесены на электрическую схему. Токи смежных ветвей равны разности контурных токов соседних контуров. При этом со знаком «+» записывается контурный ток, совпадающий с направлением тока в смежной ветви.
Применительно к электрической цепи (рис. 14) в соответствии с заданным направлением ЭДС, напряжения, токов в ветвях и контурных токов уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа для замкнутых контуров, записывают в следующем виде:
(3.20)
В результате решения полученной системы уравнений и определяют контурные токи I11 и I22.
При этом токи во внешних (несмежных) ветвях электрической цепи оказываются численно равными соответствующим контурным токам:
I1 = I11; I3 = I22.
Ток в смежной ветви определяют из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для точки разветвления электрической цепи:
I1 - I2 - I3 = 0, откуда I2 = I1 - I3 = I11 - I22.
E1 + E2 = (R1 + R2) I11 – R2 I22;
-E2 = (R2 + R3) I22 – R2 I11 + U.
Пример
Для электрической цепи постоянного тока (рис. 13) определить токи I1 … I3 в ветвях. Для удобства расчетов изменим положение ветвей так, как это изображено на рис. 15.
Решение.
Запишем уравнения контурных токов I11 и I22:
(R1 + R3) I11 + R3 I22 = E1;
R3 I11 + (R2 + R3) I22 = E2.
В матричной форме эти уравнения имеют следующий вид:
Применим алгоритм Гаусса для решения системы уравнений:
Из последнего уравнения I22 = 0,538 А.
Подставим это значение в первое уравнения, тогда
I11 = 0,077 А.
Ток I3 определим как сумму токов I11 и I22:
I3 = I11 + I22 = 0,615 А.
3.4. Метод узлового напряжения (узловых потенциалов)
Метод узлового напряжения целесообразно использовать для расчета электрических цепей, содержащих несколько параллельных ветвей, присоединенных к паре узлов.
Преимущество этого метода перед другими возрастает с увеличением числа параллельных ветвей электрических цепей. При этом определяется узловое напряжение, что позволяет достаточно просто определять токи в параллельных ветвях и другие величины, характеризующие подобные электрические цепи.
Узловое напряжение между двумя точками разветвлений (узлами) определяют в соответствии с выражением
(3.21)
где –
-алгебраическая сумма произведений ЭДС и проводимостей соответствующих ветвей;
- алгебраическая сумма произведений напряжений и проводимостей соответствующих ветвей;
- алгебраическая сумма токов источников тока в ветвях;
Gk = 1/Rk - проводимость k-той ветви цепи, равная величине, обратной ее сопротивлению;
- сумма проводимостей всех ветвей.
При расчете электрических цепей по методу узлового напряжения:
Задаются условным положительным направлением указанного напряжения, рассчитывая его по соответствующей формуле.
Определяют проводимости всех ветвей.
При определении токов в параллельных ветвях для соответствующих замкнутых контуров выбирают направления обхода контура и
Составляют уравнения по второму закону Кирхгофа. (ЭДС, напряжения и токи источников тока принимаются положительными, если они направлены по направлению обхода контура, и отрицательными, если они направлены против направления его обхода).
При отсутствии в электрической цепи источников тока процесс расчета существенно упрощается. При этом выражение для определения напряжения, действующего между двумя узлами, приводится к виду:
(3.22)
Рассмотрим применение метода узлового напряжения на примере схемы, изображенной на рис. 16, а. При заданном условном положительном направлении напряжения U12, действующего между узлами 1 и 2, ЭДС в замкнутом контуре, образованном из соответствующей ветви и замыкающего напряжения Un, при обходе контура по заданному положительному направлению принимается со знаком «+», если совпадает с направлением обхода, а если не совпадает - со знаком
«-».
Напряжения, не совпадающие при обходе соответствующего контура с направлением напряжения между узлами U12, принимаются со знаком «-», а совпадающие - со знаком «+». Знаки в расчетной формуле не зависят от направления токов в ветвях электрической цепи. С учетом этого выражение для напряжений между узлами 1 и 2 цепи записываем в следующем виде:
(3.23)
Для расчета токов в ветвях электрической цепи составляют замкнутый контур, состоящий из рассматриваемой ветви цепи, замыкаемой напряжением U12 между узлами, с учетом действительного его направления. Расчетная схема ветви с резистором R1 и ЭДС Е1 приведена на рис. 16, б. Задавшись условным положительным направлением обхода полученного таким образом контура, например, по часовой стрелке (направление обхода показано пунктирной стрелкой), записывают с учетом знаков уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа; Е1 = R1·I1 + U12, отсюда определяется величина тока I1 в данной ветви цепи. Аналогичным образом определяются токи в других ветвях электрической цепи.
Пример
Для электрической цепи постоянного тока (рис. 15) определить величину токов в ветвях цепи, воспользовавшись методом узловых потенциалов. Напомним, что Е1 = 10 В; Е2= 20 В; сопротивления резисторов: R1 = 10 Ом; R2 = 20 Ом; R3 = 15 Ом.
Решение. Запишем формулу для вычисления напряжения между узлами 1 и 2 цепи:
Тогда токи в ветвях оказываются равными:
I1 = (E1 – U12)/R1 = 0,77/10 = 0,077 A.
I2 = (E2 – U12)/R2 = 10,77/20 = 0,538 A.
I3 = U12 /R3 = 9,23/15 = 0,615 A.
Нетрудно убедиться в том, что результат идентичен полученному ранее (методом уравнений Кирхгофа или методом контурных токов).
Вопрос 4. Основные сведения о нелинейных электрических цепях постоянного тока
К нелинейным электрическим цепям постоянного тока относятся электрические цепи, содержащие нелинейные сопротивления, обладающие нелинейными вольтамперными характеристиками I(U), т. е. нелинейной зависимостью тока от приложенного к нелинейному сопротивлению напряжения.
Различают неуправляемые нелинейные сопротивления (лампы накаливания, газотроны, бареттеры, полупроводниковые диоды и т. д.), которые характеризуются одной вольтамперной характеристикой, и управляемые (многоэлектродные лампы, транзисторы, тиристоры и др.), которые характеризуются семейством вольтамперных характеристик.