Файл: Лекция 2 по дисциплине " электротехника и электроника " тема 2 линейные электрические цепи постоянного тока.ppt
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.11.2023
Просмотров: 59
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
Вопрос 2. Идеальные источники напряжения (источники ЭДС)
Идеальный и реальный источники тока
Вопрос 3. Эквивалентность различных представлений источника электрической энергии
3.1. Метод эквивалентных преобразований
3.2 Метод применения законов Кирхгофа
3.4. Метод узлового напряжения (узловых потенциалов)
Вопрос 4. Основные сведения о нелинейных электрических цепях постоянного тока
U. Это случается при нулевом сопротивлении нагрузки или бесконечной проводимости, то есть когда реализован режим короткого замыкания. (Сокращенное обозначение для режима короткого замыкания - кз.) Размыкание источника тока недопустимо, поскольку противоречит положениям теории цепей. Действительно, ток источника обязан течь по ветви, но ветвь разорвана. Отметим, что данный запрет аналогичен недопустимости короткого замыкания выводов источника ЭДС.
Ток, вырабатываемый реальным источником электрической энергии, уменьшается с ростом напряжения (рис. 5). Данное обстоятельство можно учесть, подключив параллельно идеальному источнику тока ig проводимость Gg, которую называют внутренней проводимостью источника тока. Получаем представление источника электрической энергии в виде реального источника тока. Уравнение ВАХ реального источника тока имеет вид:
(3.4)
i = ig - uGg
Напряжение на полюсах такого источника и мощность, отдаваемая во внешнюю цепь, всегда конечны. Для реального источника тока допустим режим холостого хода (сокращенно далее — хх), поскольку ток генератора при этом режиме замыкается через внутреннюю проводимость.
На основании вышеизложенного можно сделать заключение о допустимости представления реального источника электрической энергии двояким образом - последовательной цепью, содержащей источник ЭДС, или параллельной цепью, содержащей генератор тока. В случае постоянных токов для схемы, изображенной на рис. 5, справедливо:
(3.5)
Для схемы, изображенной на рис. 3, имеем: и = e – iR0. При выполнении условий Gg = 1/R0 и ig = e/R0 одну схему можно заменить другой. При этом ток на полюсах схемы реального источника и напряжение между его полюсами не изменятся. Следовательно, обе схемы замещения для источника энергии можно считать эквивалентными по отношению к внешней цепи (эквивалентность понимается именно в этом смысле.)
Поскольку для реального источника энергии допустимы режимы холостого хода и короткого замыкания (по крайней мере мысленно), можно по вычислениям напряжения холостого хода uхх на выводах источника и тока короткого замыкания iкз в проводе, закорачивающем выводы источника, найти значения элементов, входящих в обе схемы замещения реального источника энергии. А именно:
(3.6)
e = uхх ,
ig = iкз ,
R0 = uхх/iкз ,
Gg = 1/R0 .
В случае переменных токов также можно представлять источники электрической энергии эквивалентными схемами, содержащими идеальный источник напряжения или идеальный источник тока.
Вариантностью схемного отображения удобно пользоваться при расчетах, выбирая для источника энергии наиболее подходящее для конкретного случая представление. Например, если сопротивление R0 реального источника мало по сравнению с другими сопротивлениями схемы, целесообразно представлять источник энергии источником напряжения. Если проводимость Gg реального источника мала по сравнению с другими проводимостями схемы, целесообразно представлять источник энергии источником тока.
Соединив последовательно источник напряжения, близкий по свойствам источнику ЭДС, и резистор, имеющий большое сопротивление, можно составить активный двухполюсник, похожий на идеальный источник тока. Действительно, чтобы реальный источник тока приближенно походил на идеальный, его внутренняя проводимость должна быть много меньше проводимости внешней цепи. То есть для схемы, изображенной на рис. 5, должно выполняться соотношение Gg « G1.
Это получится, если последовательно с источником ЭДС (рис. 3) включить сопротивление R0 настолько большое, чтобы выполнялось условие R0 >> R1. Тогда ток в цепи практически не будет зависеть от значения сопротивления нагрузки:
(3.7)
что характерно для идеального источника тока.
Для участка цепи, не содержащего источник энергии (например, для схемы рис. 6), связь между током и напряжением U12 определяется законом Ома для участка цепи:
(3.8)
где 1 и 2 — потенциалы точек 1 и 2 цепи (1 > 2);
U12 = 1 - 2 - напряжение (разность потенциалов) между точками 1 и 2 цепи;
∑R - арифметическая сумма сопротивлений на участке цепи;
R1 и R2 — сопротивления участков цепи.
i = e/(R0 + R1) ≈ e/R0,
Для участка цепи, содержащей источник энергии (рис. 7), закон Ома записывают в виде выражения
(3.9)
где Е - ЭДС источника энергии;
∑R = R1 + R2 - арифметическая сумма сопротивлений R1 и R2 участков цепи;
R0 - внутреннее сопротивление источника энергии.
Взаимосвязь между всеми видами мощностей в электрической цепи (баланс мощностей) определяется из уравнения:
(3.10)
где ∑P1 - алгебраическая сумма мощностей источников энергии
(∑P1 = ∑EI);
∑P2 - алгебраическая сумма мощностей потребителей электроэнергии;
∑Pn - суммарная мощность, обусловленная потерями в сопротивлениях источника (∑Pn = ∑I 2R0).
Резисторы, а также сопротивления других электротехнических устройств являются потребителями электрической энергии. Баланс мощностей определяется законом сохранения энергии, при этом в любой замкнутой электрической цепи алгебраическая сумма мощностей источников энергии равна алгебраической сумме мощностей, расходуемых потребителями электрической энергии.
Коэффициент полезного действия установки определяется отношением
(3.11)
∑P1 = ∑P2 + ∑Pn,
Пример
Определить напряжение U на зажимах аккумулятора с ЭДС Е = 2 В и внутренним сопротивлением R0 = 0,01 Ом, мощность, отдаваемую нагрузочному резистору при разрядке, и мощность, потребляемую им при зарядке при токе I = 10 А.
Решение. Схема электрической цепи с аккумулятором при разрядке приведена на рис. 8. При разрядке аккумулятор является источником электрической энергии, при этом направление ЭДС Е совпадает с направлением тока I (сплошная стрелка).
Напряжение на зажимах аккумулятора при разрядке определяется из уравнения, составленного для этой цепи по второму закону Кирхгофа: U = Rн·I = E - R0·I = 2 - 0,01·10 = 1,9 В. Мощность, отдаваемая аккумулятором при разрядке, Рр = Е·I = 2·10 = 20 Вт.
При зарядке аккумулятор переходит в режим потребителя электроэнергии. При этом ток I аккумулятора направлен встречно ЭДС Е (пунктирная стрелка). Напряжение на зажимах аккумулятора при зарядке в соответствии с уравнением, составленным по второму закону Кирхгофа:
U = E + R0·I = 2 + 0,01·10 = 2,1 В.
Мощность, потребляемая аккумулятором при его зарядке,
Р3 = Е·I = 2·10 = 20 Вт.
Неразветвленная электрическая цепь характеризуется тем, что на всех ее участках протекает один и тот же ток, а разветвленная содержит одну или несколько узловых точек, при этом на участках цепи протекают разные токи.
При расчетах сложных электрических цепей во многих случаях целесообразно производить их упрощение путем свертывания, заменяя отдельные участки цепи с последовательным, параллельным и смешанным соединениями сопротивлений одним эквивалентным сопротивлением с помощью метода эквивалентных преобразований (метода трансфигураций) электрических цепей.
Электрическая цепь с последовательным соединением сопротивлений
заменяется при этом цепью с одним эквивалентным сопротивлением Rэк , равным сумме всех сопротивлений цепи:
(3.12)
где R1, R2, R3, ... Rn - сопротивления отдельных участков цепи.
При этом ток I в электрической цепи сохраняет неизменным свое значение, все сопротивления обтекаются одним и тем же током.
Напряжения (падения напряжения) на сопротивлениях при их последовательном соединении распределяются пропорционально сопротивлениям отдельных участков:
U1/R1 = U2/R2 = U3/R3 = ... = Un/Rn.
При параллельном соединении сопротивлений все сопротивления находятся под одним и тем же напряжением U.
Электрическую цепь, состоящую из параллельно соединенных сопротивлений, целесообразно заменить цепью с эквивалентным сопротивлением Rэк, которое определяется из выражения
(3.13)
Здесь
- сумма величин, обратных сопротивлениям участков параллельных ветвей электрической цепи (сумма проводимостей ветвей цепи);
Rk - сопротивление параллельного участка цепи;
Gэк - эквивалентная проводимость параллельного участка цепи.
Эквивалентное сопротивление участка цепи, состоящего из одинаковых параллельно соединенных сопротивлений, Rэк = Rk/n, где n - число параллельных ветвей цепи. При параллельном соединении двух сопротивлений R1 и R2 эквивалентное сопротивление
(3.14)
а токи распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям, при этом
U = I1R1 = I2R2 = I3R3 = ... = InRn.
При смешанном соединении сопротивлений, т. е. при наличии участков электрической цепи с последовательным и параллельным соединением сопротивлений, эквивалентное сопротивление цепи определяется в соответствии с выражением
(3.15)
Во многих случаях оказывается целесообразным также преобразование сопротивлений, соединенных треугольником (рис. 9), эквивалентной звездой (рис. 10).
При этом сопротивления лучей эквивалентной звезды определяют по формулам:
где R1, R2, R3 - сопротивления лучей эквивалентной звезды сопротивлений;
R12, R23, R31 - сопротивления сторон эквивалентного треугольника сопротивлений.
При замене звезды сопротивлений эквивалентным треугольником сопротивлений сопротивления его сторон рассчитывают по формулам:
R31 = R3 + R1 + R3R1/R2; R12 = R1 + R2 + R1R2/R3;
R23 = R2 + R3 + R2R3/R1.
Пример
Для цепи постоянного тока, приведенной на рис. 11, определить общий ток I и токи I1, I2, I3, I4 в ветвях резисторов R1 ... R4. К цепи подведено напряжение U = 240 В, сопротивления резисторов R1 = 20 Ом; R2 = 15 Ом;
R3 = 10 Ом; R4 = 5 Ом.
Решение.
Эквивалентная проводимость участка электрической цепи с резисторами R1 и R2:
1/R'эк= 1/R1 + 1/R2 = 1/20 + 1/15 = 7/60, откуда R'эк = 60/7=8,6 Ом.
Эквивалентная проводимость участка цепи с резисторами R3 и R4:
1/R"эк = 1/R3 + 1/R4 = 1/10 + 1/5 = 3/10, откуда R"эк = 10/3=3,3 Ом.
Общее сопротивление : R = R'эк + R"эк = 8,6 + 3,3 = 11,9 Ом.
Общий ток в цепи: I = U/R = 240/11,9 = 20,2 А.
Падения напряжений на параллельных участках цепи:
U1 = I R'эк = 20,260/7 = 173 В;
U2 = I R''эк = 20,210/3 = 67,3 В;
Токи в ветвях соответствующих резисторов:
В любой электрической цепи в соответствии с первым законом Кирхгофа алгебраическая сумма токов, направленных к узлу разветвления, равна нулю:
, (3.18)
где Ik - ток в k-тойветви.
В соответствии со вторым законом Кирхгофа алгебраическая сумма ЭДС в любом замкнутом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме напряжений и алгебраической сумме падений напряжений в этом контуре:
, (3.19)
где Ri - сопротивление участка цепи рассматриваемого контура;
Ii - ток в цепи сопротивления Ri;
Uj – напряжение на участке цепи.
При расчете электрических цепей методом применения законов Кирхгофа выбирают:
1) условные положительные направления токов, ЭДС и напряжений на участках цепи, которые обозначают стрелками на схеме;
2) выбирают замкнутые контуры;
3) задаются положительным направлением обхода контуров. При этом для удобства расчетов направление обхода для всех контуров рекомендуется выбирать одинаковым (например, по часовой стрелке).
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа для электрических цепей, содержащих источники тока, выбирают замкнутые контуры без источников тока.
Для получения независимых уравнений необходимо, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа.
Число уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, необходимое для выполнения расчета данной электрической цепи, равно числу неизвестных N.
Ток, вырабатываемый реальным источником электрической энергии, уменьшается с ростом напряжения (рис. 5). Данное обстоятельство можно учесть, подключив параллельно идеальному источнику тока ig проводимость Gg, которую называют внутренней проводимостью источника тока. Получаем представление источника электрической энергии в виде реального источника тока. Уравнение ВАХ реального источника тока имеет вид:
(3.4)
i = ig - uGg
Напряжение на полюсах такого источника и мощность, отдаваемая во внешнюю цепь, всегда конечны. Для реального источника тока допустим режим холостого хода (сокращенно далее — хх), поскольку ток генератора при этом режиме замыкается через внутреннюю проводимость.
Вопрос 3. Эквивалентность различных представлений источника электрической энергии
На основании вышеизложенного можно сделать заключение о допустимости представления реального источника электрической энергии двояким образом - последовательной цепью, содержащей источник ЭДС, или параллельной цепью, содержащей генератор тока. В случае постоянных токов для схемы, изображенной на рис. 5, справедливо:
(3.5)
Для схемы, изображенной на рис. 3, имеем: и = e – iR0. При выполнении условий Gg = 1/R0 и ig = e/R0 одну схему можно заменить другой. При этом ток на полюсах схемы реального источника и напряжение между его полюсами не изменятся. Следовательно, обе схемы замещения для источника энергии можно считать эквивалентными по отношению к внешней цепи (эквивалентность понимается именно в этом смысле.)
Поскольку для реального источника энергии допустимы режимы холостого хода и короткого замыкания (по крайней мере мысленно), можно по вычислениям напряжения холостого хода uхх на выводах источника и тока короткого замыкания iкз в проводе, закорачивающем выводы источника, найти значения элементов, входящих в обе схемы замещения реального источника энергии. А именно:
(3.6)
e = uхх ,
ig = iкз ,
R0 = uхх/iкз ,
Gg = 1/R0 .
В случае переменных токов также можно представлять источники электрической энергии эквивалентными схемами, содержащими идеальный источник напряжения или идеальный источник тока.
Вариантностью схемного отображения удобно пользоваться при расчетах, выбирая для источника энергии наиболее подходящее для конкретного случая представление. Например, если сопротивление R0 реального источника мало по сравнению с другими сопротивлениями схемы, целесообразно представлять источник энергии источником напряжения. Если проводимость Gg реального источника мала по сравнению с другими проводимостями схемы, целесообразно представлять источник энергии источником тока.
Соединив последовательно источник напряжения, близкий по свойствам источнику ЭДС, и резистор, имеющий большое сопротивление, можно составить активный двухполюсник, похожий на идеальный источник тока. Действительно, чтобы реальный источник тока приближенно походил на идеальный, его внутренняя проводимость должна быть много меньше проводимости внешней цепи. То есть для схемы, изображенной на рис. 5, должно выполняться соотношение Gg « G1.
Это получится, если последовательно с источником ЭДС (рис. 3) включить сопротивление R0 настолько большое, чтобы выполнялось условие R0 >> R1. Тогда ток в цепи практически не будет зависеть от значения сопротивления нагрузки:
(3.7)
что характерно для идеального источника тока.
Для участка цепи, не содержащего источник энергии (например, для схемы рис. 6), связь между током и напряжением U12 определяется законом Ома для участка цепи:
(3.8)
где 1 и 2 — потенциалы точек 1 и 2 цепи (1 > 2);
U12 = 1 - 2 - напряжение (разность потенциалов) между точками 1 и 2 цепи;
∑R - арифметическая сумма сопротивлений на участке цепи;
R1 и R2 — сопротивления участков цепи.
i = e/(R0 + R1) ≈ e/R0,
Для участка цепи, содержащей источник энергии (рис. 7), закон Ома записывают в виде выражения
(3.9)
где Е - ЭДС источника энергии;
∑R = R1 + R2 - арифметическая сумма сопротивлений R1 и R2 участков цепи;
R0 - внутреннее сопротивление источника энергии.
Взаимосвязь между всеми видами мощностей в электрической цепи (баланс мощностей) определяется из уравнения:
(3.10)
где ∑P1 - алгебраическая сумма мощностей источников энергии
(∑P1 = ∑EI);
∑P2 - алгебраическая сумма мощностей потребителей электроэнергии;
∑Pn - суммарная мощность, обусловленная потерями в сопротивлениях источника (∑Pn = ∑I 2R0).
Резисторы, а также сопротивления других электротехнических устройств являются потребителями электрической энергии. Баланс мощностей определяется законом сохранения энергии, при этом в любой замкнутой электрической цепи алгебраическая сумма мощностей источников энергии равна алгебраической сумме мощностей, расходуемых потребителями электрической энергии.
Коэффициент полезного действия установки определяется отношением
(3.11)
∑P1 = ∑P2 + ∑Pn,
Пример
Определить напряжение U на зажимах аккумулятора с ЭДС Е = 2 В и внутренним сопротивлением R0 = 0,01 Ом, мощность, отдаваемую нагрузочному резистору при разрядке, и мощность, потребляемую им при зарядке при токе I = 10 А.
Решение. Схема электрической цепи с аккумулятором при разрядке приведена на рис. 8. При разрядке аккумулятор является источником электрической энергии, при этом направление ЭДС Е совпадает с направлением тока I (сплошная стрелка).
Напряжение на зажимах аккумулятора при разрядке определяется из уравнения, составленного для этой цепи по второму закону Кирхгофа: U = Rн·I = E - R0·I = 2 - 0,01·10 = 1,9 В. Мощность, отдаваемая аккумулятором при разрядке, Рр = Е·I = 2·10 = 20 Вт.
При зарядке аккумулятор переходит в режим потребителя электроэнергии. При этом ток I аккумулятора направлен встречно ЭДС Е (пунктирная стрелка). Напряжение на зажимах аккумулятора при зарядке в соответствии с уравнением, составленным по второму закону Кирхгофа:
U = E + R0·I = 2 + 0,01·10 = 2,1 В.
Мощность, потребляемая аккумулятором при его зарядке,
Р3 = Е·I = 2·10 = 20 Вт.
3.1. Метод эквивалентных преобразований
Неразветвленная электрическая цепь характеризуется тем, что на всех ее участках протекает один и тот же ток, а разветвленная содержит одну или несколько узловых точек, при этом на участках цепи протекают разные токи.
При расчетах сложных электрических цепей во многих случаях целесообразно производить их упрощение путем свертывания, заменяя отдельные участки цепи с последовательным, параллельным и смешанным соединениями сопротивлений одним эквивалентным сопротивлением с помощью метода эквивалентных преобразований (метода трансфигураций) электрических цепей.
Электрическая цепь с последовательным соединением сопротивлений
заменяется при этом цепью с одним эквивалентным сопротивлением Rэк , равным сумме всех сопротивлений цепи:
(3.12)
где R1, R2, R3, ... Rn - сопротивления отдельных участков цепи.
При этом ток I в электрической цепи сохраняет неизменным свое значение, все сопротивления обтекаются одним и тем же током.
Напряжения (падения напряжения) на сопротивлениях при их последовательном соединении распределяются пропорционально сопротивлениям отдельных участков:
U1/R1 = U2/R2 = U3/R3 = ... = Un/Rn.
При параллельном соединении сопротивлений все сопротивления находятся под одним и тем же напряжением U.
Электрическую цепь, состоящую из параллельно соединенных сопротивлений, целесообразно заменить цепью с эквивалентным сопротивлением Rэк, которое определяется из выражения
(3.13)
Здесь
- сумма величин, обратных сопротивлениям участков параллельных ветвей электрической цепи (сумма проводимостей ветвей цепи);
Rk - сопротивление параллельного участка цепи;
Gэк - эквивалентная проводимость параллельного участка цепи.
Эквивалентное сопротивление участка цепи, состоящего из одинаковых параллельно соединенных сопротивлений, Rэк = Rk/n, где n - число параллельных ветвей цепи. При параллельном соединении двух сопротивлений R1 и R2 эквивалентное сопротивление
(3.14)
а токи распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям, при этом
U = I1R1 = I2R2 = I3R3 = ... = InRn.
При смешанном соединении сопротивлений, т. е. при наличии участков электрической цепи с последовательным и параллельным соединением сопротивлений, эквивалентное сопротивление цепи определяется в соответствии с выражением
(3.15)
Во многих случаях оказывается целесообразным также преобразование сопротивлений, соединенных треугольником (рис. 9), эквивалентной звездой (рис. 10).
При этом сопротивления лучей эквивалентной звезды определяют по формулам:
где R1, R2, R3 - сопротивления лучей эквивалентной звезды сопротивлений;
R12, R23, R31 - сопротивления сторон эквивалентного треугольника сопротивлений.
При замене звезды сопротивлений эквивалентным треугольником сопротивлений сопротивления его сторон рассчитывают по формулам:
R31 = R3 + R1 + R3R1/R2; R12 = R1 + R2 + R1R2/R3;
R23 = R2 + R3 + R2R3/R1.
Пример
Для цепи постоянного тока, приведенной на рис. 11, определить общий ток I и токи I1, I2, I3, I4 в ветвях резисторов R1 ... R4. К цепи подведено напряжение U = 240 В, сопротивления резисторов R1 = 20 Ом; R2 = 15 Ом;
R3 = 10 Ом; R4 = 5 Ом.
Решение.
Эквивалентная проводимость участка электрической цепи с резисторами R1 и R2:
1/R'эк= 1/R1 + 1/R2 = 1/20 + 1/15 = 7/60, откуда R'эк = 60/7=8,6 Ом.
Эквивалентная проводимость участка цепи с резисторами R3 и R4:
1/R"эк = 1/R3 + 1/R4 = 1/10 + 1/5 = 3/10, откуда R"эк = 10/3=3,3 Ом.
Общее сопротивление : R = R'эк + R"эк = 8,6 + 3,3 = 11,9 Ом.
Общий ток в цепи: I = U/R = 240/11,9 = 20,2 А.
Падения напряжений на параллельных участках цепи:
U1 = I R'эк = 20,260/7 = 173 В;
U2 = I R''эк = 20,210/3 = 67,3 В;
Токи в ветвях соответствующих резисторов:
3.2 Метод применения законов Кирхгофа
В любой электрической цепи в соответствии с первым законом Кирхгофа алгебраическая сумма токов, направленных к узлу разветвления, равна нулю:
, (3.18)
где Ik - ток в k-тойветви.
В соответствии со вторым законом Кирхгофа алгебраическая сумма ЭДС в любом замкнутом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме напряжений и алгебраической сумме падений напряжений в этом контуре:
, (3.19)
где Ri - сопротивление участка цепи рассматриваемого контура;
Ii - ток в цепи сопротивления Ri;
Uj – напряжение на участке цепи.
При расчете электрических цепей методом применения законов Кирхгофа выбирают:
1) условные положительные направления токов, ЭДС и напряжений на участках цепи, которые обозначают стрелками на схеме;
2) выбирают замкнутые контуры;
3) задаются положительным направлением обхода контуров. При этом для удобства расчетов направление обхода для всех контуров рекомендуется выбирать одинаковым (например, по часовой стрелке).
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа для электрических цепей, содержащих источники тока, выбирают замкнутые контуры без источников тока.
Для получения независимых уравнений необходимо, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа.
Число уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, необходимое для выполнения расчета данной электрической цепи, равно числу неизвестных N.