Файл: Методические указания к выполнению лабораторной работы 232а по курсу Общая физика для студентов всех специальностей Составитель.doc

министерство образования и науки российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Утверждаю

Проректор-директор
О.Ю. Долматов

« » 2013 г.


Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний (фигуры Лиссажу)

Методические указания к выполнению лабораторной работы 2-32а

по курсу «Общая физика» для студентов всех специальностей

Составитель Д.Н. Краснов

Издательство

Томского политехнического университета

2013

УДК 000000

ББК 00000

М00
Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний (фигуры Лиссажу): методические указания к работе 2–32а по курсу «Общей физики» для студентов всех специальностей / сост. Д.Н. Краснов; Томский политехнический университет. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2013. – 18 с.
УДК 000000

ББК 00000
Методические указания рассмотрены и рекомендованы
к изданию методическим семинаром кафедры
общей физики ФТИ

«»2013 г.
Зав. кафедрой ОФ

кандидат физ.-мат. наук, ___________ А.М. Лидер
Председатель

учебно-методической комиссии ___________ Т.В. Смекалина


Рецензент

Доктор педагогических наук,

профессор кафедры ОФ ФТИ НИ ТПУ

В.В. Ларионов

© Составление. ФГБОУ ВПО НИ ТПУ, 2013

© Д.Н. Краснов, составление, 2013

Цель работы: изучение сложения взаимно перпендикулярных гармонических колебаний, определение отношения частот колебаний по виду фигур Лиссажу, исследование влияния разности фаз колебаний на вид фигур Лиссажу.

Приборы и принадлежности: электронный осциллограф GDS-71022, генераторы сигналов ГЗ-131.

Теоретическое введение

Общие сведения о гармонических колебаниях

Колебательные явления играют важную роль в самых разнообразных вопросах физики. Рассмотрим случай простых или гармонических колебаний. Характер такого движения лучше всего раскрывается с помощью следующей кинематической модели. Допустим, что материальная точка

---

равномерно вращается по окружности радиуса с постоянной угловой скоростью (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Схема простого колебательного движения
Ее проекция на диаметр (ось ), будет совершать колебательное движение от крайнего положения до другого крайнего положения и обратно. Такое колебание точки и называют гармоническим колебанием. Чтобы его описать, надо найти координату точки как функцию времени . Допустим, что в начальный момент времени радиус составлял с осью угол . Спустя время этот угол получит приращение и сделается равным . Из прямоугольного треугольника находим

(1)

Полученная формула описывает аналитически гармоническое колебательное движение точки

---

вдоль диаметра .

Величина дает максимальное значение величины и называется амплитудой колебания. Величина является циклической частотой. Величину называют фазой колебания, а ее значение при , т.е. величину , – начальной фазой.

Для графического изображения гармонического колебательного движения по оси откладывается время , а по оси – смещение точки . Тогда получится периодическая кривая – синусоида (рис 1.2).

Рис. 1.2. Графическое представление гармонического колебательного движения
Форма кривой полностью определяется амплитудой и циклической частотой . Однако ее положение зависит от начальной фазы . По истечении времени

(2)

фаза получает приращение , при котором колеблющаяся точка М возвращается в свое исходное положение. Время называется периодом колебания.

Скорость колеблющейся точки найдется дифференцированием выражения (1) по времени. Это дает

---

(3)

Дифференцируя вторично, получаем ускорение

(4)

Сравнивая (1) и (4), получим

(5)

Это уравнение называется уравнением гармонических колебаний.

В общем случае, физическая величина может быть, например, давлением в звуковой волне, отклонением маятника от положения равновесия, напряжением на обкладках конденсатора в колебательном контуре и т.д.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим гармоническое колебательное движение материальной точки, осуществляющееся одновременно в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Пусть одно колебание происходит по оси с частотой , а другое – по оси с частотой . Тогда ,

, (6)

, (7)

где – начальная фаза.

Система уравнений (6), (7) представляет собой уравнение кривой, являющейся результатом сложения этих колебаний, заданной в параметрической форме. Определим уравнение траектории точки, участвующей в данных колебаниях, решая систему уравнений (6) и (7), исключая из уравнения (7) время :

(8)

(9)

Прибавим к левой и правой части (9) мнимую величину ,

---

получим

(10)

По формуле Муавра:

(11)

Тогда

(12)

Или

(13)

Но , . Подставляя эти значения в формулу (13), получим:

(14)

Разлагая по биному Ньютона (n – целое число) выражение в квадратных скобках и приравнивая действительные части слева и справа, получим уравнение траектории колеблющейся точки. Рассмотрим частный случай – сложение колебаний с одинаковыми частотами (n=1). Из формулы (14) получим:

(15)

Откуда:

(16)

Это уравнение является в общем случае уравнением эллипса.

Рассмотрим ряд частных случаев.

1. 
   Пусть колебания происходят в одинаковых фазах, т.е. . В этом случае уравнение (16) принимает вид:
   

(17)

или

(18)

Это есть уравнение прямой с углом наклона .

Если разность фаз , то и в этом случае эллипс вырождается в прямую. Угол наклона прямой в данном случае определится как .

2. 
   Пусть разность фаз между колебаниями равна . Тогда уравнение (7) будет иметь вид:
   

(19)

Полученная кривая является эллипсом, оси которого совпадают с осями координат.

---