Файл: По модулю Планирование эксперимента Москва, 2021.pptx

.Математическая статистика – раздел математики, посвящённый математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. Метод исследования, опирающийся на рассмотрение статистических данных о тех или иных совокупностях объектов, называется статистическим. Статистическими данными мы называем сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признакамиПланирование эксперимента - это постановка опытов по некоторой заранее составленной схеме; средство построения математической модели реального процесса; и способ сокращения средств и времени.Где мы можем использовать планирование эксперимента и для чего нам это надо?При осуществлении поиска оптимальных показателей;

При поиске эффективных технико‑технологических решений (управляющие воздействия);
При осуществлении поиска оптимальных рецептур многокомпонентных систем и параметров режима бурения

При совершенствовании технологии производства

При обеспечении перехода на автоматизированное управление процессом;
При прогнозировании технологических параметров;

При оценке качества процесса

При обеспечении надежности и достоверности результатов исследований
Для повышения эффективности труда ИТР, сокращении сроков и затрат на исследования

Первичный статистический анализ

Понятие о генеральной совокупности и выборке

Генеральной совокупностью называется полный набор всех значений, которые принимает или может принять случайная величинаЧасть генеральной совокупности из n значений случайных величин, выделенных из этой совокупности, называется выборкойВыборки объемом до 30 значений случайных величин (СВ) условно принято считать малыми, а свыше 30 – большимиПри определении объема выборки следует помнить, что ошибка выводов

уменьшается в корень квадратный из n раз

В выборку можно включать только данные, относящиеся к исследуемой генеральной совокупности;

Все значения СВ, принадлежащие к исследуемой генеральной совокупности, должны иметь одинаковую возможность быть включенными в выборку;

Выборка должна быть репрезентативной (представительной), т.е. она должна включать в себя достаточное число значений случайной величины для представления об особенностях генеральной совокупности

1. Составление вариационного ряда (в порядке возрастания)

2. Определение размаха вариационного ряда

3. Выбор числа интервалов разбиения k вариационного ряда

4. Определение длины интервала разбиения (шага)

Нижняя граница первого интервала

Частость - это относительная частота попадания СВ в i‑й интервал (число значений СВ в определенном интервале, отнесенное к общему объему выборки).

Гистограмма – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основанием в виде отрезков, соответствующих длинам интервалов, и высотами, соответствующими частостям.

7. Определяют закон распределения случайной величины

6. Строят в масштабе гистограмму

Закон распределения СВ – это соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

Таблица 1

Рис.1. Гистограмма1 2 xikXРРис. 2. Кривая распределенияПонятие «частость» (i) для генеральной совокупности заменяется на понятие «вероятность» (i). При n   i = i .С ростом числа интервалов, будет уменьшаться их длина и ломаная линия гистограммы превратится в плавную кривую (рис. 2). При этом, относящееся к выборке понятие частость (ωi) для генеральной совокупности, заменяется на понятие вероятность (ρi):n → ∞ ωi = ρi.Нормальный закон распределения Гаусса

Хорошо изучен, методика проста и отработана;
При увеличении объёма выборки, целый ряд других законов стремятся превратиться в НЗ

1).Количество вариантов (значений СВ), превышающих среднее значение, равно количеству вариантов, которые меньше его (примерная симметричность диаграммы).2).Частота вариантов тем больше, чем ближе к среднему значению они расположены (гистограмма имеет наибольшие ординаты в центре и наименьшие – у краев).

Вывод: если результаты измерений вызывают сомнение в применимости нормального закона, увеличьте объём выборки!Рис.3. Графическое представление нормального распределенияПо своему виду кривые нормального распределения могут быть:- нормальновершинными;- туповершинными;- островершинными (рис. 4);- иметь положительную асимметрию (рис.5а);- иметь отрицательную асимметрию (рис.5б).Рис. 4. Кривые нормального распределенияРис. 5. Кривые нормального распределения с положительной и отрицательной асимметриейАСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯЛогарифмически-нормальный закон ЛНЗ (умеренная асимметрия)Экспоненциальный закон (резко асимметричная кривая распределения)В крепких и монолитных породах, (выход керна 100%), распределение асимметричное, сдвинуто в сторону больших значений (рис.6,а). В рыхлых нецементированных породах, (выход керна  0, асимметрия распределенияправосторонняя (рис.6,b).Рис.6. Логарифмически-нормальное распределениеЛНЗ (имеет место, когда значения случайной величины ограничены некоторыми пределами) обладает умеренно асимметричной кривой распределения; экспоненциальный закон (период надёжности и долговечности работы оборудования) имеет резко асимметричную кривую распределения8) Находят точечные оценки параметров нормального распределения СВ.Правила определения оценок для параметров нормального распределения по совокупности независимых измерений СВ регламентируются ГОСТ 11.004 ‑ 74.СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ПАРАМЕТРЫСреднее арифметическое (все варианты имеют одну и ту же частоту, равную единице)Характерно для малых выборокНаиболее достоверная оценка измеряемой СВСреднее взвешенное( 5 )Характерно для больших выборокМЕДИАНА(m0,5) – это значение случайной величины, которое делит вариационный ряд или площадь, ограниченную кривой распределения, на две равные части. При нечётном объёме выборки медиана равна:При чётном:МОДОЙ(m0) называют варианту, имеющую наибольшую частоту, соответствующую вершине распределения (наиболее вероятное значение СВ)Для нормального симметричного распределения

не визуальная, а расчётная проверка на нормальностьСТЕПЕНЬ РАЗБРОСА (РАССЕИВАНИЯ) ОТДЕЛЬНЫХ ЧАСТЕЙ СВ ОТНОСИТЕЛЬНО ЕЕ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯРАЗМАХОМ (R)называется разность между наибольшим (xmax) и наименьшим (xmin) вариантамиДИСПЕРСИЕЙ (D)называется среднее арифметическое значение квадратов отклонений отдельных вариант от их средней арифметическойСреднее квадратичное отклонение (δ) – это значение корня квадратного из дисперсииКоэффициент вариации () –этоотношение среднего квадратичного отклонения к среднему значению СВ, выраженное в процентахБолее информативной оценкой среднего взвешенного значения являетсяинтервальная оценка, заключающаяся в установлении некоторого интервала, внутри которого с определенной вероятностью и находится истинное значение, т. е. генеральная средняя исследуемой СВ.Если среднее взвешенное значение , найденное по результатам анализа выборки объемом n, является точечной оценкой математического ожидания а, то чем меньше разность (а  x), тем точнее оценкаВеличина Δ, являющаяся пределом, который с определенной вероятностью не превосходит разность, называется предельной ошибкой выборкиВеличина Δ в выражении являющаяся пределом, который с определенной вероятностью не превосходит разность, называется предельной ошибкой выборкиВероятность того, что действительное значение измеряемой величины лежит в пределах представляет собой доверительную вероятностьгде: Р - доверительная вероятность (статистическая надежность);   уровень значимости.В технике, в большинстве случаев надежность P принимается равной 0,9÷0,95 (90  95%). Надежности равной 0,8; 0,9; 0,95, соответствуют уровни значимости α, равные соответственно 0,2 (20%); 0,1 (10%); 0,05 (5%). Для нормального распределения СВ это означает, что вероятность выхода за границу составляет соответственно в 20, 10 и 5% случаев.Зная предельную ошибку выборки Δ, можно определить доверительный интервал, в котором заключена генеральная средняяИнтервал, который с заданной доверительной вероятностью или надежностью Р покрывает оцениваемый параметр, называется доверительным интерваломПредельную ошибку выборки определяют по формуле Стьюдента

Статистический анализ малых выборок (n<30)I. Проверка принадлежности имеющихся данных нормальному закону распределения с помощью критерия Шапиро‑Уилка (W)1). Упорядочиваем выборку (составляем вариационный ряд)3). Определяем вспомогательную величинуL = (n-1)/2нечётный L= n/2 – чётный объём выборки2). Вычисляем сумму квадратов отклонений - S2 (x): 4). Находим расчетное значение критерия5)Находим табличное значение критерия Шапиро ‑ Уилка – Wt при заданном (выбранном) уровне значимости α по следующим формулам:6)Сравниваем расчетное значение критерия Шапиро ‑ Уилка с табличными:при W > Wt можно считать, что распределение СВ подчиняется нормальному закону;Если соотношение не выполняется, то необходимо увеличить объём выборки или осторожно отнестись к выводам, особенно к величине доверительного интервалаНапример, при n = 10 WТ(0.05) = 0.838; n = 25 WТ(0.1) = 0.935II.Рассчитаем среднее арифметическое значение СВ:III. Оценим характеристики степени разброса экспериментальных данных относительно среднего арифметического значенияДисперсию DСреднее квадратичное отклонение Коэффициент вариации  IV. Зададимся величиной уровня значимости α и рассчитаем предельную ошибку выборки – ΔV. Находим доверительный интервал для математического ожидания (генеральной средней) Отбраковка резко выделяющихся результатов (промахов)Значения, которые весьма существенно отличаются от других и появляются, как правило, вследствие грубых ошибок субъективного происхождения, называются ошибкамиОШИБКИ ОБУСЛОВЛЕНЫнеправильным использованием измерительной техникиошибками в отчетах по измерительным приборамошибками в записях экспериментальных данныхошибками в вычислениях при обработке результатов измеренийПРАВИЛА И КРИТЕРИИ ОТБРАКОВКИПравило трёх сигм (используется при объёме выборки n > 50)«Вероятность попадания СВ в интервал от доравна 0,997 (99,7 %)»Если такая надежность приемлема, то все значения случайной величины, отклоняющиеся от среднего взвешенного или среднеарифметического больше, чем на 3δ, отбрасываются, как маловероятныеЗадачаВывод: в данной выборке резко выделяющихся замеров нет.