Файл: Оптимальные решения в условиях риска.doc

Оптимальные решения в условиях риска

1. Постановка проблемы

Задача принятия решения при риске отличается от задачи принятия решения при неопределенности тем, что в первом случае лицо, принимающее решение (ЛПР) имеет определенную информацию о вероятностях различных состояний среды. Поскольку риском называется оцененная любым способом вероятность, то ситуации принятия решения с вероятностными оценками – это ситуации принятия решения в условиях риска.

Информированность ЛПР о вероятностях состояния среды может быть различна. Например, ЛПР знает только, что один состояния более вероятны, чем другие, или ЛПР знает, что вероятность какого-то состояния меньше 50%. Максимально информированный ЛПР знает вероятности различных состояний среды.

Предположим, что ЛПР стремится максимизировать некую целевую функцию, которую мы обозначим X. Например, прибыль, доход и т. д.

Предположим, что ЛПР может выбрать одну из альтернатив: А₁, А₂, А₃,…А_n. Каждой альтернативе при этом соответствует определенное управленческое решение.

Пусть значение целевой функции X зависит как от выбора альтернативы А_i, так и от случайных факторов, зависящих от состояния окружающей среды.

При этих допущениях целевая функция X будет определяться как набор случайных величин X₁, X₂, X₃,…, X_n, где

X₁ – случайная величина, характеризующаяся распределением вероятностей при выборе альтернативы А₁

X₂ – случайная величина, характеризующаяся распределением вероятностей при выборе альтернативы А₂

…

X_n – случайная величина, характеризующаяся распределением вероятностей при выборе альтернативы А_n

Пример:

У человека есть 100 рублей. Он стоит перед выбором: купить лотерейный билет с выигрышем 1000 рублей с вероятностью 0,4, купить лотерейный билет с выигрышем 500 рублей с вероятностью 0,7, либо оставить 100 рублей в располагаемый доход.

Решение:

Представим ситуации виде задачи принятия решения с рисками.

А₁, А₂, А₃ ­– решения-альтернативы

X – доход

X = выигрыш – 100 (при А₁ и А₂)

X = 100 (при А₃)

---

Если ЛПР выберет А₁, то

X₁ = 1000–100=900

Если ЛПР выберет А₂, то

X₂ = 500–100=400

Если ЛПР выберет А₃, то

X₃ = 100

Выигрыши и вероятности представим в виде таблицы:

	А1		А2		А3
Вероятность (р)	0,4	0,6	0,7	0,3	1
Выигрыш (X)	900	-100	400	-100	100

2. Математическое ожидание – оценка доходности

Каждая случайная величина X_i с известным законом распределения вероятностей характеризуется определенным набором констант, называющихся числовыми характеристиками.

Первая такая характеристика – математическое ожидание М(X)

Для дискретных случайных величин математическое ожидание равно:

(1)

Математическое ожидание определяет среднее, взвешенное по вероятностям, значение случайной величины X:

(2)

Для нашего примера рассчитаем математические ожидания:

М(X₁)=0,4*900+0,6*(-100)=300 рублей

М(X₂)=0,7*400+0,3*(-100)=250 рублей

М(X₃)=100 рублей

С точки зрения ожидаемого дохода альтернатива А₁ лучше альтернативы А₂, которая в свою очередь лучше, чем альтернатива А₃.

Но при этом не учитывался риск.

Для учета риска применяются такие характеристики как дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

---

3. Оценка риска

Рассмотрим еще одну числовую характеристику случайной величины – дисперсию.

Дисперсия равна D(X). Она вычисляется следующим образом:

(3)

(4)

Основные свойства дисперсии:

• D(X)≥0

• D(X)=0 для X=const

Недостатком дисперсии является то, что меняются единицы измерения (рубли меняются на рубли в квадрате, метры на квадратные метры и т. д.)

Поэтому чаще используют среднее квадратичное отклонение σ(X), равное:

(5)

Как в теории, так и на практике среднее квадратичное отклонение σ(X) чаще всего применяется как мера риска при оценке альтернатив.

Чтобы определить, как зависит уровень риска от величины дисперсии, рассмотрим неравенство Чебышева.

Для любого X с математическим ожиданием m_x=M(X) и дисперсией D_x=D(X) и для любого λ больше нуля справедливо:

(6)

B m_x A

m_x–λ m_x+λ

Неравенству (6) равноценно следующее неравенство:

(7)

Очевидно, что при заданном λ (сумма значимая для ЛПР), ЛПР заинтересован в том, чтобы

---

Это гарантия того, что полученный доход отклонится от ожидаемого дохода не больше, чем на λ=const.

Чем больше гарантии, тем риск меньше и наоборот, чем меньше гарантии, тем риск больше.

Согласно неравенству (7) данная вероятность убывает при увеличении D_x. Следовательно, чем больше дисперсия случайной величины X, тем труднее гарантировать, что X отклонится от M(X) не больше, чем на величину λ. То есть чем больше дисперсия, тем выше риск.

Рассмотрим теперь влияние величины σ_x на степень риска.

Пусть λ=2*σ_x, тогда

(8)

Пусть λ=3*σ_x, тогда

(9)

Смысл формул (8) и (9) представим графически:

P≥0.75

m_x–2*σ_x m_x+2*σ_x

То есть, с гарантией 75% X не отклонится от М(X) больше, чем на 2* σ_x

P≥8/9

m_x–3*σ_x m_x+3*σ_x

---

То есть, с гарантией 89% X не отклонится от М(X) больше, чем на 3* σ_x

Можно сделать вывод, что чем меньше σ_x, тем ближе гарантированные значения X к M(X). Следовательно, чем меньше σ_x, тем риск меньше.

Найдем для нашего примера дисперсию:

D(X₁)=240000

D(X₂)=52500

D(X₃)=0 (D(const)=0)

Найдем σ_x

σ(X₁)=489,9

σ(X₂)=229,129

σ(X₃)=0

С точки зрения рисков самая хорошая альтернатива А₃, далее следунт альтернатива А₂ и самая плохая – альтернатива А₁ (самая рисковая альтернатива).

Для анализа берется σ_x, так как он измеряется в тех же единицах.

Выводы: если для каждой альтернативы могут быть найдены числовые характеристики случайной величины, отражающей целевую функцию ЛПР, то при принятии решения ЛПР может руководствоваться двумя критериями: средний ожидаемый доход (целевая функция), равный математическому ожиданию M(X), или среднее квадратичное отклонение – σ_x – случайной величины X.

Из примера становится очевидным, что во многих случаях критерий ожидаемого дохода и критерий риска противоречат друг другу. Альтернативы, благоприятные с точки зрения ожидаемого дохода часто связаны с высоким риском. Противоречие между средним ожидаемым доходом и стремлением уменьшить риск не снимается полностью, но существуют приемы отбрасывания коэффициентов риска.

---