Файл: Оптимальные решения в условиях риска.doc

4. Принцип доминирования по Парето.

Этот принцип применяется в моделях принятия решений по нескольким критериям.

Пусть альтернативы а₁, а₂,… а_n оцениваются по нескольким (двум) критериям: К₁ и К₂.

Если альтернатива a_i равносильна альтернативе a_j по критерию К₁, то

a_i ~¹ a_j

Если альтернатива a_i равносильна альтернативе a_j по критерию К₂, то

a_i ~² a_j

Если альтернатива a_i предпочтительнее альтернативы a_j по критерию К₁, то

Если альтернатива a_i предпочтительнее альтернативы a_j по критерию К₂, то

Если альтернатива a_i не хуже альтернативы a_j по критерию К₁, то

Если альтернатива a_i не хуже альтернативы a_j по критерию К₂, то

Пусть a_i ~¹ a_j и

Следовательно, a_i доминирует по Парето альтернативу a_j

Пусть a_i ~² a_j и

Следовательно, a_i доминирует по Парето альтернативу a_j

В общем случае принцип доминирования по Парето является способом попарного сравнения всех альтернатив. Логически возможны следующие случаи:

---

1. по всем критериям альтернативы a_i и a_j эквивалентны, тогда альтернативы a_i и a_j эквивалентны с точки зрения принятия решений

2. по одним критериям альтернативы a_i и a_j эквивалентны, а по другим a_i предпочтительнее альтернативы a_j , тогда a_i доминирует по Парето альтернативу a_j

3. по одним критериям a_i предпочтительнее альтернативы a_j , а по другим – a_i хуже альтернативы a_j , тогда альтернативы a_i и a_j несопоставимы по Парето.

Пример:

Инвестор должен выбрать один из альтернативных способов размещения активов.

Каждый способ (альтернатива) определяется средним ожидаемым доходом (m_i) и риском – средним квадратичным отклонением (σ_i), где i – номер альтернативы.

Требуется отбросить заведомо плохие альтернативы и составить множество для выбора.

Решение:

риск А₅

А₃ А₄

А₂

А₁

Ожидаемый доход

Рис.1 «Доминирование по Парето в задаче принятия решения с риском»

А_i(m_i, σ_i)

Сравниваем альтернативы попарно.

Сравним А₁ и А₂

Имеем: А₁~^mА₂ А₁>^σА₂, так как σ₁>σ₂

Следовательно А₂ – доминируемая стратегия и её можно исключить

Аналогично сравниваем остальные стратегии и получаем, что стратегия А₃ – доминируемая, следовательно её тоже отбрасываем

Мы отбросили стратегии А₂ и А₃ – доминируемые. Инвестор может выбирать из альтернатив А₁, А₄, А₅.

---

Итак, принцип доминирования по Парето позволяет отбросить доминируемые альтернативы и оставить для рассмотрения множество по Парето несопоставимых альтернатив, называемые альтернативами эффективными по Парето.

Таким образом, принцип доминирования по Парето облегчает задачу принятия решения. Для задачи выбора альтернативы по двум критериям средний ожидаемый доход (m_i) и риск r_i множество альтернатив, эффективных по Парето, будет лежать на кривой с положительным наклоном:

риск

А₃

А₂

А₁

Ожидаемый доход

Рис. 2 «Альтернативы эффективные по Парето»

---

5. Принятие решений в условиях риска по интегральному критерию

Задача принятия решения с риском содержит A_i, оцененную по m_i – средний ожидаемый доход, σ_i – риск.

Пусть применим принцип доминирования по Парето и получим множество альтернатив эффективности по Парето:

σ_i

А₃

А₂

А₁

m_i

рис. 3

Необходимо выбрать наилучшую альтернативу из множества на рисунке 3.

Для этого применяется интегральный (агрегированный) критерий. В общем случае, если альтернативы оцениваются по двум критериям: К1 и К2.

Интегральный критерий – это функция двух переменных:

f(K₁,K₂)

Возможны различные варианты вида функции.

Например, f(K₁,K₂)=К₁^α*К₂^(1–α) или f(K₁,K₂)=α*К₁+β*К₂

α–значимость критерия К₁

β– значимость критерия К₂

Естественно требование удовлетворения интегрального критерия следующим свойствам:

• Если альтернативы a_i и a_j эквивалентны по всем критериям, то значения интегрального критерия для этих альтернатив равны (и наоборот)

• Если a_i доминирует по Парето альтернативу a_j, то значение интегрального критерия для a_i больше соответствующего значения для а_j (и наоборот)

Составим линейный интегральный критерий для случая, когда первый критерий – средний ожидаемый доход, а второй – риск:

---

f(m, σ) = α*m – β* σ

m – средний ожидаемый доход

σ – риск

α≥0 и β ≥0

Пусть α >0, следовательно, агент принимает во внимание ожидаемый доход

Тогда имеем при делении на α:

λ = β / α >0

Или

f(m, σ) = m – λ * σ ,

λ = const≥0

Раскроем смысл постоянной величины λ.

Если для ЛПР значение λ равно нулю (λ =0), тогда f(m, σ) = m.

Это значит, что субъекта интересует только доход.

Это нейтральность к риску ЛПР.

Если есть два экономических субъекта, таких, что:

Для первого: f₁(m, σ) = m – σ , то есть λ₁ =1

Для второго: f₂(m, σ) = m – 2* σ, то есть λ₂ =2

Можно сделать вывод, что второй субъект более чувствителен к риску.

Если предположить, что f(m, σ) = m + σ

Это означает, что данный экономический агент склонен к риску

Таки образом λ отражает отношение ЛПР к риску:

λ =0  нейтральность

λ <0  склонность к риску

Чем больше λ, тем чувствительнее субъект к риску

Пример:

Для ЛПР λ=3.

Оценить с помощью неравенства Чебышева его гарантированную вероятность, на которую ориентируется ЛПР.

Решение:

ЛПР имеет отклонение X от M(X) на величину больше, чем α.

f(m, σ) = m – 3* σ, следовательно неприятности начинаются при

α. = 3* σ

Имеем,

Вероятность неприятностей должна быть не больше 1/9. Следовательно данный ЛПР выбирает гарантированную вероятность равную 8/9.

Заметим, что мы действовали как вольные интерпретаторы, то есть полученное решение не строго математическое.

---