Файл: книга ии.doc

При этом семантическая процедура М позволяет превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. приписать ему нечеткую семантику путем формирования соответствующего нечеткого множества.

Рассмотренные ранее операции над нечеткими множествами могут быть использованы при определении семантики произвольных значений (термов) лингвистической переменной.

Иными словами, лингвистической переменной называют переменную, у которой ее значениями являются слова, фразы естественного языка.

Нечеткое подмножество М определяется как некоторое множество в X с функцией принадлежности µ_М(x), принимающей значения из интервала [0,1]:

где µ_M(x): X [0,1] - функция принадлежности.

При традиционном подходе процедура G определяет новые значения лингвистической переменной исходи из ее базового множества, значений Т, т.е. G=G(T). В атом- случае синтаксис G задается в виде бесконтекстовой грамматики <V_N, V_T, U, П>, множество терминальных символов которой включает множество базовых значений Т, логические операции и модификаторы типов И, ИЛИ, ОЧЕНЬ, НЕ, СЛЕГКА и др. Тогда семантическую процедуру можно задать правилами:

где C₁ и С₂ - нечеткие множества, соответствующие значениям (нечетким переменным) ₁ и ₂ рассматриваемой лингвистической переменной.

Пример 2.4. Рассмотрим пример лингвистической переменной. Пусть эксперт оценивает длину объекта (прутка) с помощью понятий «малая длина», «средняя длина» и «большая длина», при этом минимальная длина объекта равна 100, а максимальная 800 мм.

Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной , где - длина объекта; Т= {₁, ₂, ₃}= { малая длина, средняя длина, большая длина}; X = {100, 800}.

Пусть нечеткие множества С₁, С₂, С₃ описывают семантику базовых значений переменной . Функции принадлежности, соответствующие данным нечетким множествам, показаны на рис.2.4. Тогда произвольные значения ¹ – «малая или средняя длина» и ² – «небольшая длина» будут определяться нечеткими множествами С и С с функциями принадлежности, показанными на рис.2.5а,б.

Рис. 2.4. Функции принадлежности нечетких множеств С₁, С₂, С₃

а) б)

Рис. 2.5. Функции принадлежности: а) нечеткого множества С;

б) нечеткого множества и С

Лингвистические переменные, у которых процедура образования новых значений G зависит от множества базовых значений Т назовем синтаксически зависимыми лингвистическими переменными.

Наряду с рассмотренными выше синтаксически зависимыми лингвистическими переменными существуют переменные, у которых процедура образования новых значений зависит не от множества базовых значений Т, а от области определения X, т.е. G=G(X). Например, значение лингвистической переменной «длина объекта» определено как «близкое к 200 мм» или «приблизительное к 750 мм». Такие лингвистические переменные назовем синтаксически независимыми.

Заметим, что произвольные значения синтаксически независимой лингвистической переменной взаимно однозначно определяются некоторыми значениями х области определения X. Поэтому произвольное значение (нечеткую переменную ) синтаксически независимой лингвистической переменной будем задавать в виде =x,X,C_. Например, нечеткая переменная , определенная как «приблизительно 750 мм», запишется в виде =750, X, C_.

§ 2.6. Нечеткие отношения

Определение 2.15. Нечетким отношением R на множестве Х называется нечеткое подмножество декартова произведения , характеризующееся функцией принадлежности

(2.9)

Значение этой функции понимается как субъективная мера или степень выполнения отношения. Обычное отношение можно рассматривать как частный случай нечеткого отношения, ФП которого принимает значения только лишь 0 или 1. Охарактеризуем теперьосновные свойства нечетких отношений.

Рефлексивность. Нечеткое отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если для любого выполнимо равенство:. При конечном множествеХ главная диагональ матрицы такого отношения состоит из единиц. Примерами рефлексивных отношений являются отношения типа «примерно равны» и «не хуже».

Антирефлексивность. Нечеткое отношение R на множестве Х является антирефлексивным, если для любого справедливо:Примером является отношение «много больше».

Симметричность. Нечеткое отношение R на множестве Х является симметричным, если для любых выполняется соотношение:Матрица симметричного нечеткого отношения на конечном множествеХ симметрична. Пример симметричного отношения «значительно различаются по величине».

Антисимметричность. Для антисимметричного нечеткого отношения R на множестве Х характерно следующее свойство: . Примером такого отношения является нечеткое отношение «много больше».

Транзитивность. Нечеткое отношение R на множестве Х является транзитивным, если выполняется соотношение: В качестве характерного примера можно назвать отношение «много больше».

§ 2.7. Нечеткая логика

Так же как в основе теории четких множеств лежит четкая логика, в случае нечетких множеств существует нечеткая логика - основа для операций над ними. В случае двузначной четкой логики существуют полные системы, образуемые операциями НЕ-И-ИЛИ, НЕ-И и НЕ-ИЛИ. С их помощью можно записать все другие логические операции. Но в случае нечеткой логики можно создать неограниченное число операций, поэтому нет смысла говорить о записи всех операций с помощью некоторого числа базовых операций. Учитывая это, ограничимся наиболее важными операциями.

Нечеткое отрицание - аналог четкой операции НЕ - представляет собой бинарную операцию отрицания в нечетком смысле оценки [0,1], дающую в ответе оценку [0,1]. Аксиоматическое определение для x[0,1]; ⊝: [0,1][0,1] записывается в виде:

1) ;

2) ;

3) x₁<x₂ .

Здесь аксиома 1 сохраняет свойства двузначного НЕ и означает, что «нечеткое отрицание 0 равно 1», другими словами, является граничным условием. Аксиома 2 является правилом двойного отрицания, утверждающим, что взятие дважды отрицания возвращает нас к исходной оценке.

Аксиома 3 - наиболее существенное требование понятия «отрицание»: «нечеткое отрицание инвертирует (в смысле строгого неравенства) последовательность оценок (т.е. меняет местами хорошие и плохие оценки)». Если отложить x на оси абсцисс, а x^⊝ -на оси ординат, то отрицание можно интерпретировать как монотонную строго убывающую функцию.

Все функции, удовлетворяющие аксиомам 1-3, являются нечетким отрицанием.

Типичная операция нечеткого отрицания – «вычитание из 1»

x^⊝=1-x.

С точки зрения нечетких множеств это соответствует понятию дополнительного нечеткого множества.

Нечетким расширением И. аналогичным четкой операции И, является t-норма (или триангулярная норма). Как схема t-норма - это схема с двумя входами и одним выходом, как функция - это функция двух переменных. Известны 4 аксиомы t -нормы:

Аксиома T1 справедлива также для четкого И (это граничные условия). Аксиомы Т2 и ТЗ - законы пересечения и объединения, на аппаратном уровне их можно интерпретировать в виде: «входные контакты равнозначны, нет необходимости их различать», «если проектировать трехвходовые и более входовые элементы с помощью двухвходовых, то можно не различать порядок их объединения». Аксиома Т4 является требованием упорядоченности и гарантирует, что «введение третьей оценки не изменит порядок оценок». Типичной t -нормой является операция min или логическое произведение:

Оно соответствует понятию «пересечение нечетких множеств».

Нечеткое расширение ИЛИ - S -норма называется также t-конормой, ее можно обсуждать вместе о t-нормой. Среди аксиом только граничное условие отличается от случая t -нормы, остальные аксиомы те же самые:

Типичной S-нормой является логическая сумма, определяемая с помощью операции max:

Кроме нее существуют:

алгебраическая сумма x₁ x₂,