Файл: Лекции по основам интегрального исчисления функций одной переменной и обыкновенным дифференциальным уравнениям.doc

Пусть требуется вычислить интеграл . Предположим, что существуют дифференцируемая функцияи функциятакие, что подынтегральное выражение может быть записано в виде

Тогда

т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интегралаи последующей подстановке.

Пример 1. .

Пример 2..

Пример 3..

Пример 4..

Пример 5..

Пример 6..

Пример 7..

Пример 8..

Пример 9..

Пример 10..

Пример 11.

.

Приведем далее примеры вычисления интегралов, которые нам понадобятся в теории интегрирования рациональных дробей.

Пример 12.НайтиI=(0).

 Представим подынтегральную функцию в виде:

.

Следовательно,

I=

=.

Таким образом, .

Пример 12а. НайтиI=, .

 Так как ,

следовательно I=. 

Пример 13.Найти(0).

 Для того, чтобы свести этот интеграл к табличному, разделим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на :

.

Мы подвели постоянный множитель под знак дифференциала. Рассматриваякак новую переменную, получим:

.

Вычислим также интеграл, который имеет важное значение при интегрировании иррациональных функций.

Пример 14.НайтиI=(ха,а0).

 Имеем .

Итак, (ха,а0).

Представленные примеры иллюстрируют важность умения приводить данное

дифференциальное выражение к виду, гдеесть некоторая функция отxиg– функция более простая для интегрирования, чемf.

В этих примерах были проведены преобразования дифференциала, такие как

гдеb– постоянная величина

,

,

,

часто используемые при нахождении интегралов.

В таблице основных интегралов предполагалось, что xесть независимая переменная. Однако, эта таблица, как следует из изложенного выше, полностью сохраняет свое значение, если подxпонимать любую непрерывно дифференцируемую функцию от независимой переменной. Обобщим ряд формул таблицы основных интегралов.

3а..

4..

5.=.

6.= .

7.= .

8. (ха,а0).

9. (а0).

Операция подведения функции под знак дифференциала эквивалентна замене переменнойхна новую переменную. Нижеследующие примеры иллюстрируют это положение.

Пример 15.НайтиI=.

 Произведем замену переменной по формуле , тогда, т.е.иI=.

Заменив uего выражением, окончательно получим

I=.

Выполненное преобразование эквивалентно подведению под знак дифференциала функции .

Пример 16.Найти.

 Положим , тогда, откуда. Следовательно,

.

Пример 17.Найти.

 Пусть , тогда, или. Следовательно,

.

В заключение отметим, что разные способы интегрирования одной и той же функции иногда приводят к функциям, различным по своему виду. Это кажущееся противоречие можно устранить, если показать, что разность между полученными функциями есть постоянная величина (см. теорему, доказанную на лекции 1).

Примеры:

а) .

.

Результаты отличаются на постоянную величину, и, значит, оба ответа верны.

б) I=.

.

Легко убедиться, что любые из ответов отличаются друг от друга только на постоянную величину.

б) Метод подстановки (метод введения новой переменной)

Пусть интеграл (- непрерывна) не может быть непосредственно преобразован к виду табличного. Сделаем подстановку, где- функция, имеющая непрерывную производную. Тогда,и

. (3)

Формула (3) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Как правильно выбрать подстановку? Это достигается практикой в интегрировании. Но можно установить ряд общих правил и некоторых приемов для частных случаев интегрирования.

Правило интегрирования способом подстановки состоит в следующем.

1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).

2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.

3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.

4. Производят замену под интегралом.

5. Находят полученный интеграл.

6. Производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной.

Проиллюстрируем правило примерами.

Пример 18.Найти.

• Положим , тогда,и