Файл: Лекции по основам интегрального исчисления функций одной переменной и обыкновенным дифференциальным уравнениям.doc

 Положим ,. Тогда,.

Следовательно, I =.

Для вычисления интеграла снова применим интегрирование по частям. Положим,. Тогда,.

Таким образом,

I==.

Так как в правой части стоит искомый интеграл, то, перенося его в левую часть, получим:

.

Отсюда получаем окончательный результат:

=.

Применим изложенный метод к вычислению еще двух, часто используемых в приложении, интегралов.

Пример 10. Найти I =.

 Положим ,. Тогда,. Следовательно,

Так как , то

(см. лекция 2, п.2б, пример 20).

Подставив полученное выражение в равенство (*), будем иметь

.

Таким образом, .

Пример 11. Найти ,(а0)

 Положим ,, откуда,. Следовательно,

,

или .

Отсюда получаем: .

Понятие о рекуррентных формулах

Иногда интегрирование по частям позволяет получить соотношение между неопределенным интегралом, содержащим степень некоторой функции, и аналогичным интегралом, но с меньшим показателем степени той же функции. Подобные соотношения называются рекуррентными формулами.

Выведем рекуррентную формулу для интеграла , гдеn – целое положительное число.

 При n=1 имеем табличный интеграл .

Пусть n1. Представив единицу в числителе как разность , получим

.

Во втором интеграле применим метод интегрирования по частям:

,,,.

Тогда . Следовательно,

, откуда.

Таким образом, интеграл выражен через:

(n1) . 

Проверим нашу готовность приступить к интегрированию основных классов элементарных функций, вычислив интеграл , последовательно применяя методы непосредственного интегрирования, подведения функции под знак дифференциала и интегрирование по частям.



.

Вычислим также интеграл

I=

Далее полагаем u=e^ax , dv=cosbxdx, du=ae^axdx, v=sinbx. Следовательно

Получаем уравнение относительно неизвестного интеграла I. Решая его, находим

или=.

Дифференциал функциисохраняет одно и то же выражение независимо от того, является ли ее аргументuнезависимой переменной или функцией от независимой переменной. Это свойство называется инвариантностью, т.е. неизменностью формы дифференциала.