Файл: Лекции по основам интегрального исчисления функций одной переменной и обыкновенным дифференциальным уравнениям.doc

= .

Пример 19.Найти.

• Вычислим интеграл , придерживаясь следующей формы записи:

=.

Этот интеграл найдем подведением под знак дифференциала.

=.

Пример 20.Найти().

• Применим подстановку Эйлера: , где- новая переменная.

, т.е., или. Отсюда, т.е..

Таким образом, имеем . Заменяяего выражением черезx, окончательно находим интеграл, играющий важную роль в интегрировании иррациональных функций:().

Студенты прозвали этот интеграл «длинным логарифмом».

Иногда вместо подстановки лучше выполнять замену переменной вида.

Пример 21.Найти.

• Полагая t=e^x , получаем,и

.

Пример 22.Найти.

 Воспользуемся подстановкой . Тогда,,.

Следовательно, .

В ряде случаев нахождение интеграла основывается на использовании методов непосредственного интегрирования и подведения функций под знак дифференциала одновременно (см. пример 12).

Проиллюстрируем этот комбинированный подход к вычислению интеграла, играющего важную роль при интегрировании тригонометрических функций.

Пример 23.Найти.

• Имеем

=.

Итак, .

Другой подход к вычислению этого интеграла:

.

Пример 24.Найти.

Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет трудности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.

Лекция 3.

3. Метод интегрирования по частям

Пусть и- непрерывно дифференцируемые функции. На основании формулы дифференциала произведения имеем

.

Отсюда

.

Интегрируя, получим:

или окончательно

Формула (4) называется формулой интегрирования по частям.

Выведенная формула показывает, что интеграл приводится к интегралу, который может оказаться более простым, чем исходный, или даже табличным. Сущность метода интегрирования по частям вполне соответствует его названию. Дело в том, что при вычислении интеграла этим методом подынтегральное выражениепредставляется в виде произведения множителейuиdv. При этом dx обязательно входит в dv. В результате получается, что заданный интеграл находится по частям: сначала находим, а затем.

Пример 1.

.

В представленном примере, как и в дальнейших, вертикальными черточками отделены вспомогательные записи. Отметим также, что в качестве vможно взять любую функцию видаx+C,гдеС– постоянная. Мы взялиv=x, т.е.С=0.

Пример 2. .

Пример 3.

.

Пример 4.

.

Иногда для вычисления интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз.

Пример 5.

.

Таким образом, интеграл вычислен двукратным интегрированием по частям.

Пример 6.

.

Если бы выражение u и dv мы выбрали иначе, т.е. , то получили бы, откуда, и пришли бы к интегралу более сложному, чем исходный, т.к. степень сомножителя при тригонометрической функции повысилась на единицу.

Приведенный пример показывает, что при вычислении интегралов методом интегрирования по частям главным является разумное разбиение подынтегрального выражения на множители uиdv. Общих установок по этому вопросу не имеется. Однако, для некоторых типов интегралов сделать это возможно.

а) В интегралах вида

где P(х) – многочлен относительно x, а – некоторое число, полагают u=P(x), а остальные сомножители за .

Пример 7. Найти .

 Положим ,, тогда,. Следовательно,



б) В интегралах вида

полагают а остальные сомножители – заu.

Пример 8. Найти .

• Положим ,, тогда,.

Следовательно, .

Вычислим отдельно последний интеграл:

.

Итак, .

Отметим, что на практике важно научиться применять формулу (4), не выписывая по возможности в стороне выражения для функций u и v.

Так, решение приведенного примера может быть представлено в виде:



=.

Возвращение к исходному интегралу

Формула интегрирования по частям применима и для нахождения интегралов вида и, гдеа и b – числа. При нахождении этих интегралов она применяется последовательно два раза, причем оба раза за u выбирается либо показательная функция, либо тригонометрическая. После двукратного интегрирования по частям получается линейное уравнение относительно искомого интеграла.

Пример 9. Найти I =.