Файл: Лекции по основам интегрального исчисления функций одной переменной и обыкновенным дифференциальным уравнениям.doc

Например,

На основании этого свойства выводятся основные формулы интегрирования (см. ниже).

г) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

∆ Действительно, пусть F(x) – первообразная для f(x). В силу основной

формулы (3) имеем:

где С₁=аС, причем,С иС₁– произвольные постоянные приа0. НоаF(x)есть первообразная для функцииаf(x), так какаF(x)' =аF'(x)=аf(x).Поэтому из формулы () получаем требуемую формулу (4).

Коротко запишем: .

Действительно, производные обеих частей равенства равны:

и .

д) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т.е.

 В самом деле, пустьF'(x) = f(x) иG'(x) = g(x).

Тогда и .

Поэтому

= , где С₁+С₂=С.

Здесь был использован тот факт, что производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций и свойство а) неопределенного интеграла.

Свойство д) распространяется на случай алгебраической суммы любого конечного числа функций.

3. Таблица основных интегралов

Интегрирование есть действие, обратное дифференцированию. Поэтому, для того чтобы проверить, правильно ли найден данный интеграл, достаточно продифференцировать найденную первообразную. Если при этом получим подынтегральную функцию, то интеграл найден верно.

Из определения интеграла следует, что всякая формула для производной конкретной функции, т.е. формула вида (1) может быть записана в виде интегральной формулы (3). Формулы интегрирования получаются обращением соответствующих формул дифференцирования. Используя это соображение и таблицу производных, составим следующую таблицу неопределенных интегралов.

1.dх=+С(-1)

В частности, при  = 0 имеем =x + С

2.=ln|х| +С

3.=+С,а0,а1

В частности,

3а. = е^х + С

4.= -

5.=

6.=

7.=

8.

9.

Заметим, что формулы 2,6,7,8 справедливы лишь для тех значений х, при которых не происходит обращения в нуль знаменателя.

Для вывода этих формул, как уже отмечалось, используется свойство в) неопределенного интеграла, а именно, дифференцирование правой части равенства. Производная правой части равенства дает подынтегральную функцию, а дифференциал -подынтегральное выражение.

Справедливость всех представленных интегралов легко проверить, если

продифференцировать их правые части.

Проверим, например, формулу 2.

Чтобы найти , заметим, что функциянепрерывна в промежуткахи, причем в каждом из них она имеет первообразную.

В промежутке этой первообразной, очевидно, является функцияlnx, т.к., т.епри.

В промежутке первообразной по отношению кявляется , т.е.

при. Действительно,существует при x<0 и.

Итак, оба промежутка непрерывности подынтегральной функции объединяются записью

.

Приведенные интегралы 1-9 принято называть табличными.

Лекция 2.

Основные методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1. Найти.

 Разделив числитель на знаменатель, получим:

=.

Отметим, что нет надобности после каждого слагаемого ставить произвольную постоянную, потому что их сумма есть также произвольная постоянная, которую мы пишем в конце.

Пример 2.Найти.

 Преобразуем подынтегральную функцию следующим образом:

.

Применив табличный интеграл 1, получим:

.

Пример 3.

.

Пример 4.

.

Пример 5.

=

=.

В некоторых случаях нахождение интегралов упрощается применением искусственных приемов.

Пример 6.Найти.

 Умножив подынтегральное выражение на находим

=.

Пример 7.

.

Пример 8.

.

2. Интегрирование методом замены переменной

Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных является метод замены переменной. Сущность его заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому, который сравнительно легко берется непосредственно. Существуют два варианта этого метода.

а) Метод подведения функции под знак дифференциала

По определению дифференциала функции .

Переход в этом равенстве слева направо называют "подведением множителя под знак дифференциала".

Теорема об инвариантности формул интегрирования

Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е., если

, то и,

где - любая дифференцируемая функция отx. Ее значения должны принадлежать интервалу, в котором функцияопределена и непрерывна.

Доказательство:

Из того, что , следует. Возьмем теперь функцию. Для ее дифференциала в силу свойства инвариантности формы первого дифференциала функции^имеем

.

Отсюда .