Файл: Теория автоматического управления.doc

(6)

Тогда отклоненным начальным условиям (6) и тому же самому входному сигналу X_н(t) соответствует дифференциальное уравнение, описывающее этот отклоненный режим работы.

(7)

Обозначим (*) или

Если при любых начальных условиях (6), сколь угодно мало отличающихся от номинальных начальных условий (4), для любого моменте времени t > 0 будет малым |z(t)|, то номинальный режим Y_н(t) называется устойчивым.

Если при этом , то номинальный режим называется асимптотически устойчивым.

Для нахождения переходного процесса в САУ нам надо найти решение дифференциального уравнения (7).

С учетом (*) уравнение (7) можно записать в виде

(8)

Здесь все переменные являются функциями времени и t опущено только для простоты записи.

Разложим правую часть уравнения (8) в ряд Тейлора по степеням Z, Z⁽¹⁾, Z^(n-1) .В разложении в ряд Тейлора учтем только производные от этих переменных не выше первого порядка

Если имеется функция нескольких переменных, то ряд Тейлора имеет вид

R- остаток ряда

o - точка разложения

Перед разложением правой части уравнения (8) в ряд Тейлора введем обозначения

Будем предполагать, что коэффициенты a_j не зависят от времени

С учетом этих обозначений уравнение (8) запишется в виде

(9)

Вычтем из уравнения (9) уравнение номинального режима (5) и пренебрежем членами высших порядков малости R. В результате получим

(10)

Уравнение (10) является линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Процедура получения из нелинейного уравнения (3) линейного (10) называется линеаризацией. Иногда уравнение (10) записывается в форме Лагранжа:

Пример

Пусть в системе существует номинальный начальный режим:

Перепишем исходное уравнение:

Учтем, что:

тогда

Определяем коэффициенты линеаризации

Линеаризованное уравнение, записанное в форме Лагранжа, будет иметь вид:

Отличия линеаризованного уравнения (10) от исходного нелинейного (3).

1. Уравнение (3) справедливо для всех режимов работы САУ, а уравнение (10) справедливо только при работе вблизи номинального режима (вблизи точки линеаризации).

2. Уравнение (3) является точным уравнением, а уравнение (10)- приближенным, т.к в процессе его вывода были отброшены члены высших порядков малости.

3. В уравнении (3) переменными являются полные величины y, y⁽¹⁾,y⁽²⁾ и т.д.

В уравнение (10) переменными являются отклонения этих переменных от номинального режима (от точки линеаризации). ∆ z, ∆z⁽¹⁾, ∆z⁽²⁾

4. Уравнение (3) является нелинейным, а уравнение (10) линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Геометрический смысл линеаризации разложением в ряд Тейлора.

Пусть имеется нелинейная функция F(x). Проведем линеаризацию этой функции в точке X_н

Разложим эту функцию в ряд Тейлора:

видим, что

Вычтем из F(x) номинальный режим и пренебрежем членами высших порядков малостиR. Получим

Линеаризация разложением в ряд Тейлора геометрически означает перенос начала координат в точку линеаризации (в точку номинального режима) и замену нелинейной характеристики касательной к ней, проведенной в точке линеаризации.

Стандартная форма записи линеаризованного уравнения.

В теории автоматического управления принято линеаризованные дифференциальные уравнения записывать по следующим правилам:

1. В левой части уравнения записывается выходная величина и все ее производные, в правой части - входные величины и все их производные.

2. Производные выходной величины слева и входных справа записываются в порядке их убывания.

3. Принято, чтобы коэффициент перед выходной величиной был равен 1, если это не так, то все коэффициенты дифференциального уравнения делятся на коэффициент перед выходной величиной.

Пример

Опишем дифференциальным уравнением динамику цепи возбуждения генератора постоянного тока.

(1)

Здесь нелинейность – произведение входного и выходногопараметров

Уравнение номинального режима

(2)

Линеаризуем уравнение (1):

(3)

( 1-ый член- значение НЛ функции на установившемся режиме,

2-ой член- производная НЛ функции по

3-ий член – производная НЛ функции по

последний член – последний член уравнения (1) с учетом того, что

Вычтем из уравнения (3) уравнения номинального режима (2) и пренебрежем R_ост.

(4)

Приведем это уравнение к стандартной форме. Для этого члены с выходной величиной запишем в левой части уравнения, а члены с входной величиной -в правой

Обычно пишут так:

считая, что

Характеристики сау

1) Передаточная функция.

2) Частотные характеристики.

3) Переходная функция.

Преобразование Лапласа.

Наиболее общей характеристикой, определяющей динамические свойства САУ, являются ее дифференциальные уравнения. Чтобы исследовать динамику САУ, надо найти решение дифференциальных уравнений (или одного дифференциального уравнения высокого порядка) для этой системы. Однако нахождение решений дифференциальных уравнений, особенно высокого порядка, связаны со значительными трудностями. Например, для нахождения постоянных, входящих в решение и зависящих от начальных условий, надо решить систему алгебраических уравнений. В теории управления получил распространение способ нахождения решения дифференциальных уравнений с использованием операторных методов.

Операционный способ, называемый преобразованием Лапласа, упрощает нахождение решений дифференциальных уравнений. Принцип этого метода сводится к следующему: к дифференциальному уравнению, в которое входит как аргумент время применяют прямое преобразование Лапласа. С помощью этого преобразования дифференциальное уравнение отображают на комплексную плоскость. В результате этого отображения дифференциальное уравнение преобразуется в алгебраическое, у которого аргументом является комплексная переменная где (вместо).

Полученное алгебраическое уравнение можно разрешить относительно интересующей нас регулируемой величиныY(p). Но полученное решение будет функцией комплексного переменного. Для получения решения Y(t), как функции от времени ,Y(p) нужно преобразовать с помощью обратного преобразования Лапласа.

Каждой функции X(t) вещественной переменной t, которая называется оригиналом, ставится в соответствие по некоторому закону другая функция X(p), называемая изображением. Соответствие выбирается таким образом, чтобы сложным операциям над оригиналом соответствовали бы простые операции над изображением. Например, чтобы операции дифференцирования оригинала соответствовала бы операция умножения, операции интегрирования – операция деления. Такое соответствие задается прямым преобразованием Лапласа