Файл: Теория автоматического управления.doc

Соответствие оригинала и изображения записывают

Для того, чтобы к функции X(t) можно было бы применить преобразование Лапласа, необходимо:

1. X(t) - была бы кусочно- непрерывной

3. X(t) должна обладать ограниченной скоростью роста

, где ине зависят от

Это означает, что X(t) должно расти медленнее, чем некоторая наперед заданная экспонента.

Имеются специальные таблицы для изображений элементарных функций.

Например:

1

Напомним еще раз, что изображение является функцией комплексной переменной

Некоторые свойства преобразований Лапласа

1. Свойство линейности

Если

и α и β произвольные числа, то

2. Теорема о дифференцировании оригинала

Если , то

, или в общем виде :

При отображении на комплексную плоскость дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях

Дифференцирование оригинала при нулевых начальных условиях заменяется умножением изображения на в соответствующей степени.

.

3. Интегрирование оригинала

Если , то

Интегрирование оригинала соответствует делению на

4.Теорема запаздывания

Если и , то

5. Теорема о свертке

Свертке во множестве оригиналов соответствует обычное произведение функций во множестве изображений.

5. Теорема разложения

Если гдеи- многочлены и порядокбольше порядка, то оригинал

,

здесь - корни уравнения

5. В общем случае оригинал находится по изображению

Интегрирование производится вдоль прямой, параллельной мнимой оси и отстоящей от нее на произвольная константа, удовлетворяющая условию

Пример решения дифференциального уравнения с помощью преобразования Лапласа.

Найти решение уравнения

Начальные условия ( не нулевые)

Используя свойство линейности и теорему о дифференцировании оригинала, получаем

Отсюда

Отсюда

Для нахождения решения дифференциального уравнения применим теорему разложения.

У нас

Корни уравнения

Тогда

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ.

Задачи синтеза и анализа, а также исследование динамики САУ удобно решать, используя передаточные функции.

Пусть поведение системы описывается дифференциальным уравнением

(1)

x(t) – входная величина

y(t) – выходная величина

Отобразим это уравнение на комплексную плоскость, используя прямое преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях , свойство линейности и теорему о дифференцировании оригинала.

Пусть ,

Получим

(2)

Таким образом, отобразив дифференциальное уравнение с помощью преобразования Лапласа на комплексную плоскость, мы получим алгебраическое уравнение

Передаточной функцией называется отношение изображения Лапласа выходной величины к изображению Лапласа входной величины при нулевых начальных условиях.

всегда правильная дробь. Знаменатель передаточной функции ха-

рактеризует инерционные свойства САУ.

условие физической осуществимости реальной САУ.

Знаменатель передаточной функции, приравненный к нулю, называется характеристическим уравнением

По передаточной функции можно найти установившееся значение выходной величины при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия.

Используя предельные соотношения преобразования Лапласа, можно записать

- астатические системы,

- статические системы.

Например,

- астатическая система

Можно решать обратную задачу

Свойства передаточных функций

Пусть - корни характеристического уравнения,

- корни полинома числителя.

Тогда

Если , то

Поэтому корни полинома числителя называются нулями передаточной функции.

Если , то

Поэтому корни полинома знаменателя, т.е. характеристического уравнения, называются полюсами передаточной функции.

Передаточная функция элемента с несколькими входами

Пусть на входе динамического элемента подаются сигналы а на выходе

Пусть динамика элемента описывается дифференциальным уравнением

Тогда

Отсюда

Коэффициенты перед называются передаточными функциями по отношению к соответствующим входам.

Изображение выходного сигнала элемента с несколькими входами равно сумме произведений изображений входов на передаточные функции по отношению к ним.