Файл: Теория автоматического управления.doc

Частотные критерии устойчивости.

В основе частотных критериев устойчивости лежит принцип аргумента, известный в теории функции комплексной переменной.

Принцип аргумента.

Дано характерное уравнение.

Пусть - корни характеристического уравнения,

По основной теореме алгебры ( теореме Виетта) можем записать.

То есть характеристическое уравнение есть произведение элементарных сомножителей, где - корни характеристического уравнения.

На комплексной плоскости корней каждому корню соответствует вполне определенная точка. Геометрически каждый кореньможет быть изображен в виде вектора, проведенного из начала координат к точке.

Длина вектора равна модулю комплексного числа, а угол, образованный вектором с положительным направлением действительной оси – аргумент или фаза комплексного числа , т.е..

Сомножители , входящие в, геометрически изображаются векторами, проведенными из точкив точкуКаждый из этих векторов представляет собой разность двух векторови.

Длина равна

Пусть (уравнение мнимой оси). Тогда вектор характеристического уравнения примет вид.

Концы каждого вектора будут находиться на мнимой оси.

представляет собой произведение элементарных векторов.

Из теории функции комплексной переменной известно, что длина такого вектора равна произведению длин элементарных векторов, а аргумента (угол поворота вектора характеристического уравнения при изменении частоты от минус бесконечности до плюс бесконечности)

Найдем

при изменении от -до +.

Считается поворот против часовой стрелки – положительным, а по часовой стрелке – отрицательным.

Пусть в системе -го порядка имеется– правых корней илевых корней.

Если корень находится в левой полуплоскости, то при изменении.

Если корень находится в правой полуплоскости, то при изменении,то

Т

Принцип аргумента: Угол поворота вектора характеристического уравнения при изменении равенгде- порядок характеристического уравнения, а- количество правых корней.

Для устойчивых САУ , и тогда

Критерий устойчивости Михайлова.

Критерий устойчивости Михайлова является геометрической интерпретацией принципа аргумента. При изменении частотыотдоконец вектора характеристического уравнения на комплексной плоскости описывает кривую, которая называется характеристической кривой или годографом Михайлова. Для того, чтобы получить уравнение годографа Михайлова, надо в характеристическое уравнение подставить

и выделить вещественную и мнимую части.

Пусть характеристическое уравнение.

Подставим

- является четной функции частоты ,т.е . - является нечетной функцией частоты ,т.е.Таким образом, годограф будет симметричен относительно вещественной оси.

Это означает, что при его построении достаточно менять частоту от 0 до. При этом аргумент(угол поворота вектора характеристического уравнения) уменьшается в 2 раза и для устойчивой системы он будет равен. То есть годограф Михайлова устойчивой системы должен проходитьквадрантов.

САУ устойчивая, если при , годограф Михайлова начинается на положительной части действительной оси и обходит в положительном направлении, то есть против часовой стрелки, последовательноквадрантов

Годограф начинается со свободного члена характеристического уравнения.

Если годографы соответствуют устойчивым системам, то это означает, что корни характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости корней.

Если годограф Михайлова проходит через начало координат , то САУ находится на границе устойчивости и хотя бы один корень расположен на мнимой оси.

Критерий устойчивости Найквиста.

Все рассмотренные выше критерии устойчивости позволяют определить устойчивость замкнутой системы по характеристическому уравнению замкнутой системы.

Критерий устойчивости Найквиста позволяет по поведению амплитудно-частотной характеристики разомкнутой системы, определить устойчивость замкнутой системы, если она замкнута единичной отрицательной обратной связью. Этот критерий удобен тем, что АФЧХ разомкнутой системы может быть получена экспериментально. Хотя АФЧХ может быть рассчитана и теоретически.

Пусть имеем замкнутую систему с единичной отрицательной обратной свяэью.

Пусть

Будем считать, что разомкнутая система устойчива.

Передаточная функция замкнутой системы

.

Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы

Подставим сюда и применим принцип аргумента

Порядок равен порядкуи равенСледовательно,

=т.к(по условию, что разомкнутая система устойчива, следовательно)

определяется полиномом +. Порядок полиномаменьше порядка полинома. Поэтому порядокимеет порядок, т.еПоэтому=И-=0