Файл: Dinamikamawin.docx

б)

Граничные условия: .

Из частотное уравнение

в)

Граничные условия: .

Из частотное уравнение

При собственная частота равна

Другие граничные условия

б)

Граничные условия: .

, гр. условия для:

Случай

Первая частота мала, мало

Изгибные колебания стержней постоянного поперечного сечения

В рамках гипотез Бернулли – Эйлера и без учета инерции вращения и энергии поперечных сдвигов уравнение для форм собственных колебаний имеет вид

Если

Стержень, опертый по концам

Граничные условия

Уравнению и граничным условиям удовлетворяют функции

Стержень, защемленный по концам

Граничные условия:

Удовлетворяя граничным условиям, получим систему однородных уравнений

Частотное уравнение

Обозначим и перепишем частотное уравнение

Трансцендентное уравнение имеет бесконечное счетное множество корней

Частоты выше, чем у шарнирно опертой балки

Определим формы колебаний

Из первого уравнения имеем

Пусть . тогда

или

25Балочные (фундаментальные) функции

Подобным образом можно найти собственные частоты и формы изгибных колебаний стержней при других опорных закреплениях. Формы собственных колебаний стержней постоянного поперечного сечения называются балочными функциями.

Основные свойства балочных функций

а) Ортогональность

Это свойство вытекает из ранее доказанных общих свойств форм собственных колебаний. Однако проверим

Умножаем скалярно и вычтем одно из другого, интегрируем по частям

равно нулю при любых сочетаниях краевых условий.

б) Квадрат нормы балочной функции выражается через значения функции и ее производных в концевых точках

в) Системы балочных функцийполны в соответствующих пространствах. Любая функцияможет быть разложена в равномерно сходящийся ряд

Балочные функции широко используются в задачах динамики и устойчивости стержней, пластин и оболочек.

26Метод начальных параметров в задачах об изгибных колебаниях стержней

Этот метод берет свое начало от Коши. Возрожден был А.Н.Крыловым (1930). Называется метод Коши – Крылова.

Пусть дано линейное дифференциальное уравнение го порядка

частных линейно независимых решений образуют фундаментальную систему

Определитель этой матрицы (Вронского) отличен от нуля

Если , гдеединичная матрица, то система решений называется нормальной фундаментальной системой. Еслинормальная фундаментальная система, то общее решение однородного уравнения можно записать в виде

где ─ начальные условия. Если уравнение неоднородное, то частное решение неоднородного уравнения можно найти по формуле Коши

,

где функция Грина (ядро Коши) для задачи Коши. Если уравнение с постоянными коэффициентами и нам известна фундаментальная система Коши, то функция, а частное решение

Окончательно общее решение неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид

В этом состоит математическая сторона метода. Применим метод к задачам об изгибных колебаниях стержней (А.Н.Крылов, Н.И.Безухов)

фундаментальная система решений, но она не является нормальной. Нормальную фундаментальную систему сформируем на основе функций Крылова

Обозначим , тои вообще: при дифференцировании номер функции Крылова понижается на единицу.

Таким образом, нормальная фундаментальная система решений уравнения собственных колебаний стержней

Решение для форм колебаний можно записать

где амплитудные значения прогиба, угла поворота, момента и поперечной силы в начальном сечении стержня.

Частное решение неоднородного уравнения

Метод начальных параметров удобен для определения част и форм многопролетных балок с кусочно-постоянной жесткостью.

Пример.

Учитывая выражения для функций Крылова, частотное уравнение получим в виде . Обозначим. Из первого уравнения получим. Для форм колебаний имеем

Матричная форма метода начальных параметров

Введем вектор .

При

Аналогично . Для

Уравнение частот получим из граничных условий на правом конце.

27Методы расчленения в теории собственных колебаний стержней (метод динамических податливостей, метод динамических жесткостей).

При исследовании колебаний сложных систем их удобно расчленить на отдельные более простые подсистемы. Расчленение можно осуществить либо устранением связей между ними (метод динамических податливостей), либо наоборот введением дополнительных связей (метод динамических жесткостей). Это динамические аналоги метода сил и метода перемещений в статике стержневых систем.