Файл: Dinamikamawin.docx

1Принцип Гамильтона-Остроградского для упругого тела.Вариационный вывод уравнений колебаний и естественных граничных условий для упругого тела Принцип Гамильтона – Остроградского для упругого тела

Сначала сформулируем этот принцип для систем с конечным числом степеней свободы, подчиненных голономным идеальным связям и загруженных консервативными силами:

Среди всех движений, совместимых со связями, достаточно близких к истинному и совпадающих с истинным в начальный и конечныймоменты времени, истинное движение сообщает интегралу действия

стационарное значение, т.е.

Этот принцип переносится и на распределенные системы, когда внешние силы обладают потенциалом.

кинетическая энергия системы;

потенциальная энергия упругой деформации;

потенциальная энергия внешних сил, равная работе внешних сил с обратным знаком.

Рассмотрим упругое тело, занимающее объем , загруженное по части поверхности, а на части поверхностизаданы перемещения точек поверхности.

объемная плотность упругого тела

─ нагрузка

компоненты вектора перемещений точек упругого тела

компоненты тензорного поля деформаций упругого тела

Будем считать, что перемещения и градиенты перемещений малы. Тогда компоненты тензора малых деформаций определятся формулами Коши

Материал – линейно-упругий, справедлив закон Гука

Кинетическая энергия

Потенциальная энергия упругой деформации

Здесь учтено, что.

Потенциальная энергия внешних сил

где объемные силы. Без ограничения общности

Запишем интеграл действия в виде

,

где

объемная плотностьлагранжиана

поверхностная плотностьлагранжиана

Функционал определен на функциях, имеющих необходимые производные и удовлетворяющие заданным условиям на поверхности, т.е. кинематическим граничным условиям.Вычислим вариацию квадратичного функционала

Здесь вариации по Гамильтону: малые; совместимые со связями, изохронные (переставимость операций дифференцирования и варьирования); в начале и в конце движенияравны нулю

,.,

Преобразуем интегралы с использованием формулы Гаусса – Остроградского

; в компонентах

Здесь учтено, что на .Выражение для вариации функционалапримет вид

Необходимое условие стационарности функционала . Тогда на основании основной леммы вариационного исчисления имеем уравнение Эйлера – Остроградского.

в объеме

Естественные граничные условия

на поверхности

2Динамические уравнения теории упругости.

Уравнение колебаний

в объеме

Естественные граничные условия

на поверхности

объемная плотностьлагранжиана

поверхностная плотностьлагранжиана

Учитывая выражения для объемной и поверхностной плотности лагранжиана и, получим динамические уравнения теории упругости

в объеме

на поверхности

на поверхности

+ начальные условия

объемные силы

В уравнении движения под знаком дифференцирования

В случае изотропного материала

где постоянные Ламе. Тогда для изотропного материала имеем

или

- уравнения Ламе для динамического случая. Естественные граничные условия

на

Векторная форма записи при и при

+ граничные и начальные условия.

3Вариационный вывод уравнений колебаний и естественных граничных условий для одномерных и двумерных систем.

Уравнение продольных колебаний стержней

Существенные компоненты тензора напряжений и деформацийи. Остальные равны нулю. Гипотеза плоских сечений

площадь поперечного сечения – медленно меняющаяся функция

Из имеем

Естественные граничные условия

при

Или

при

Если , то

скорость продольных волн

Если на торцах стержня заданы внешние сосредоточенные силы, то граничные условия примут вид

4 Уравнение продольных, крутильных и изгибных колебаний стержней.

Уравнение продольных колебаний стержней

Существенные компоненты тензора напряжений и деформаций и. Остальные равны нулю. Гипотеза плоских сечений

площадь поперечного сечения – медленно меняющаяся функция

Из имеем

Естественные граничные условия

при

Или

при

Если , то

скорость продольных волн

Если на торцах стержня заданы внешние сосредоточенные силы, то граничные условия примут вид

Уравнение крутильных колебаний стержней

интенсивность внешней нагрузки (распределенный крутящий момент). Депланационные эффекты не учитываются. Используется классическая теория кручения стержней. Центр масс в каждом сечении совпадает с центром жесткости.

Интеграл действия имеет вид

момент инерции массы стержня единичной длины относительно оси.

Уравнение изгибных колебаний стержней

Оси главные центральные оси инерции. Справедливы гипотезы Бернулли (гипотеза плоских сечений). Из них следует

Существенные компоненты тензоров напряжений и деформаций

Интеграл действия имеет вид

Естественные граничные условия (если концы стержня свободны от внешних сил)

при

5Поправка Релея для случая продольных колебаний стержней

При выводе уравнений продольных колебаний стержней предполагалось, что . Однако в силу эффекта Пуассона поперечные перемещения будут отличны от нуля. Уточнение уравнений с учетом этого обстоятельства проделано Релеем в 1877