Файл: Dinamikamawin.docx

Обозначим

При берется в качестве нулевого приближения

Схема метода последовательных приближений . Пока не получим совпадение с заданной точностью.

По вычисленным определяется частота. Обычно 3 = 4 приближения дает точность 4 – 5 знаков.

37Собственные колебания круговых цилиндрических оболочек.

Рассмотрим колебания замкнутой круговой цилиндрической оболочки

Простейший случай – краевые условия Навье

при

Эти условия эквивалентны следующим

Для краевых условий Навье можно получить точное решение

Такой вид решений принят для того, чтобы произошло разделение (сравни ). Граничные условия удовлетворяются. Если подставить эти ряды в исходные уравнения, то для каждого сочетанияиполучим систему линейных уравнений для. Обозначим для удобства. Тогда

(*)

Условие существования ненулевого решения

Здесь при(инерционные члены)

Раскроем определитель

Имеем 3 значения для частоты . Для каждого значения, подставляя его в систему (*) найдем

Если зафиксировать и, то получим три значения для частотыи соответствующие им формы колебаний

Имеем три функциональные степени свободы.

число полуволн формы колебаний в продольном направлении

число волн формы колебаний в окружном направлении

Для трех форм узловые линии будут одни и те же. Выделяют 3 различных класса форм:

1. Преимущественно поперечные формы

2. Преимущественно продольные формы

3. Преимущественно крутильные формы

Обычно низшей (основной) частоте соответствует самая простая форма колебаний (для стержней, пластин). Для оболочек это не так. Минимальному значению частоты соответствует не самая простая форма.

Для поперечных движений минимальное значение частоты достигается при . В этом случае можно пренебречь членами (как для пологих оболочек)

Общие положения, касающиеся ортогональности форм собственных колебаний, остаются справедливыми и в оболочках. Элементы есть вектор – функции (нужно брать сумму произведений соответствующих координат)

Тогда условие ортогональности по кинетической энергии запишется

38Осесимметричные и преимущественно изгибные колебания. Осесимметричные колебания цилиндрических оболочек

Если , то, казалось бы,. Но на самом деле это не так, потому чтодля осесимметричной деформации просто не зависят от. Если, то второе уравнение перепишется как

Учитывая, что , получим

Волновое уравнение крутильных колебаний. Представим . После подстановки в уравнение получим

Обозначим . Первое и третье уравнение перепишутся для осесимметричной деформации так

Эта система описывает продольно-поперечные колебания. Система разделяется, если .

частота продольных колебаний

частота поперечных колебаний

Если оболочка достаточно длинная и тонкая, то . Поэтому приближенно можно записать

Преимущественно поперечные колебания происходят, когда тангенциальными силами можно пренебречь. Проинтегрируем в этом случае 1-е уравнение и подставим 1-ую производную во второе уравнение. В результате получим

39Собственные колебания пологих оболочек. Уравнения и граничные условия

Рассмотрим тонкую упругую оболочку постоянной толщины, отнесенную к ортогональной криволинейной системе координат

Гипотезы классической теории оболочек

1. Гипотезы Кирхгофа – Лява;

2. Перемещения и деформации малы;

3. Материал линейно упругий

Уравнения колебаний могут быть получены из вариационного принципа Гамильтона – Остроградского. Можно использовать принцип Даламбера, только необходимо поставить в соответствие гипотезы, относящиеся к деформированию оболочки, и гипотезы об учете инерционных членов.

Перемещения

Инерционные члены: нормальные и тангенциальные

Если рассматривают преимущественно изгибные колебания, то членами пренебрегают.

Запишем уравнения из принципа Даламбера

, где для собственных колебаний,

Если , то знаки уиразличны.

Граничные условия на :

На каждом краю по 4 условия в общем случае. Количество граничных условий зависит от вида оператора. Для преимущественно изгибных колебаний по 2 условия.

Выпишем эти условия для альтернативного случая. Край

Уравнения колебаний пологих оболочек

(1)

(2)

В уравнении (1) нет членов типа . Получены они из общих уравнений равновесия и принципа Даламбера. Затем отброшены лишние инерционные члены, введена функция усилий.

40Волны в неограниченной упругой изотропной среде. Волны расширения и волны сдвига.

Под волной будем понимать процесс распространения колебаний. Волновые решения необходимы для понимания картины динамического поведения упругого тела.