Файл: Dinamikamawin.docx

Решение ищется для одночастотного режима. Вспомогательная задача – основную систему загружают вибрационными силами с единичной амплитудой и решается задача о вынужденных колебаниях.

─ матрица динамических податливостей. трансцендентные функции

Условие существования ненулевого решения

─ уравнение частот. В строительной механике рассматриваются статические, а здесь гармонические воздействия на систему. Поэтому этот метод иногда называют методом гармонических коэффициентов влияния.

Пример.

Условие совместности деформаций

динамические податливости балки и массы с пружинами, т.е. амплитудные значения перемещений точек приложения силы под действием единичной гармонической силы.

Частотное уравнение

При

Динамическая податливость второй подсистемы

Частотное уравнение

б) метод динамических жесткостей

перемещения (угловые).

Решается задача о вынужденных колебаниях при кинематическом возбуждении.

амплитудные реакции по направлениюго обобщенного перемещения отго единичного гармонического воздействия,число стержней – число условий сопряжения

Матрица динамических жесткостей

Условия сопряжения обобщенных динамических сил – условия равновесия в узлах

Частотное уравнение

Реакции простых систем на единичные гармонические перемещения затабулированы.

Пример

Определить

Граничные условия

С учетом граничных условий

Изложенные методы являются точными.

28Влияние осевых усилий на собственные изгибные колебания стержней

при сжатии

Уравнение для определения собственных частот и форм

Если граничные условия произвольные, то составляется характеристическое уравнение и т.д. Если граничные условия – шарнирное опирание, то можно принять

Граничные условия удовлетворяются автоматически. Удовлетворим уравнению

Если , то

ая Эйлерова сила

Приложение сжимающих усилий снижает частоту собственных колебаний, растягивающих – повышает. При , когданаступление нейтрального равновесия.

Пусть (растягивающее усилие). Тогда

Если , то(штриховые линии на рисунке). Стержень превращается в струну. Так как, то

Для стержня , для струны(пренебрегаем изгибом) и положивполучим. Для других граничных условий факт неучета первого слагаемого для струны сохраняется.

29Влияние инерции вращения и деформаций поперечного сдвига на изгибные колебания стержней

Рассмотрим балку Тимошенко

Пусть стержень оперт по концам

, гдеугол сдвига

Одно из уравнений Тимошенко

Так как на концах стержня ускорения и перемещения равны нулю, то здесьи тогдаи граничные условия записываются как обычно

Эти граничные условия позволяют искать решение в виде

Подставим в уравнение

Это – биквадратное уравнение, которое дает два значения для собственных частот (напомним, что исходные уравнения содержат две независимые функции и.)

Формы колебаний будут определятся следующим образом

Отличаются значениями числовых коэффициентов

Эти соотношения характеризуют форму колебаний. Одна частота соответствует преимущественно изгибным колебаниям, вторая – преимущественно сдвиговым.

Обозначим или, гдерадиус инерции. Частотасоответствует частотам колебаний балки Бернулли.

Величина одна из скоростей распространения упругих волн.

Введем также . Здесьтакже одна из скоростей распространения упругих волн.

С учетом этих обозначений перепишем частотное уравнение

Если стержень достаточно тонкий, то . Тогда получим, что, т.е.очень высокая частота, а частота изгибных колебаний будет совпадать со значением, полученным по классической теории. Покажем это