Файл: Высшая математика 2 (Лекции).docx

2. Формула Ньютона-Лейбница

Докажем теперь одну из основных формул интегрального исчисления.

Теорема 2. Пусть функция непрерывна на отрезкеиеё первообразная на отрезкеТогда

Доказательство. Так как первообразная функциина отрезке, то существует постояннаятакая, чтоПоложим в этом равенствебудем иметьПоэтому

Полагая здесь получаем формулу (2). Теорема доказана.

Например,

3. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле

С помощью формулы Ньютона-Лейбница нетрудно доказать следующие утверждения.

Теорема 3 (см. Р7). Пусть функция непрерывна на отрезкеа функциянепрерывно-дифференцируема на отрезкетаком, чтопричемТогда имеет место формула замены переменных в определенном интеграле:

Теорема 4. Пусть функции непрерывно-дифференцируемы на отрезкеТогда имеет место формула интегрирования по частям в определенном интеграле:

4. Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональной функцией (или алгебраической дробью) называется функция, представимая в виде отношения двух многочленов:

При этом дробь называетсяправильной, если степень ее многочлена-числителяменьше степениеё многочлена-знаменателяв противном случае (т.е. в случае) дробьназываетсянеправильной. Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби. Для этого надо разделить числитель на знаменатель углом. Например,

Определение 1. Простейшими дробями типа называются следующие дроби:

где действительные постоянные,натуральные числа.

Теорема 5. Любую правильную дробь можно разложить в сумму простейших дробей типаЭто разложение единственно (с точностью до порядка слагаемых).

Алгоритм разложения на простейшие дроби

Пусть требуется разложить на простейшие дроби правильную дробь

Выполним следующие действия:

1) разложим знаменатель на множители:

2) каждому “линейному” множителю поставим в соответствие суммупростейших дробей типа

а каждому “квадратичному” множителю поставим в соответствиедробей типа

Сделав это для каждого множителя знаменателя запишем тождество

3) Умножив обе части этого тождества на знаменатель получим тождество двух многочленов. Приравнивая в нем коэффициенты при одинаковых степеняхполучим линейную алгебраическую систему уравнений относительно неопределенных коэффициентоврешая которую (например, методом Гаусса), найдем эти

коэффициенты. Подставляя их в (3), получим разложение дроби на простейшие дроби.

Например, разложим дробь на простейшие.

Так как топредставляется в виде

где коэффициенты пока не найдены. Приводя правую часть к общему знаменателю, а затем отбрасывая в обеих частях одинаковые знаменатели, получим тождество

Можно было бы приравнять здесь коэффициенты при одинаковых степенях (начиная с), а затем решить полученную систему уравнений относительноНо мы поступим проще. Применим так называемыйметод частных значений.

Так как (5) – тождество, то оно верно при любых значениях Удобно выбрать значениеПри этом из (5) получаем равенствооткуда выводим, чтоДалее подставляемв (4) и переносим все первые слагаемые влево; будем иметь

Разделив обе части этого тождества на получим

Полагая здесь снова будем иметьи последнее равенство перепишется в видеОтсюда сразу же находимСледовательно, все коэффициенты разложения (4) найдены и мы получаем

ответ:

Из теоремы 5 вытекает, что интегрирование правильных алгебраических дробей сводится к их разложению на простейшие дроби и последующему интегрированию последних. Займемся задачей интегрирования простейших дробей.

Дроби типа интегрируются очевидным образом:

Дробь типа интегрируется следующим образом:

Дробь типа интегрируется сложнее. Сначала производятся все операции, применяемые при интегрировании дроби типаа затем используется рекуррентная формула

Например,

В заключение предлагаем вычислить самостоятельно интеграл

и получить ответ:

4. Интегрирование тригонометрических выражений

Интегралы типа гдедробно-рациональная функция пе-

ременных и, сводятся к интегрированию рациональной функции одной переменной

с помощью универсальной подстановки Действительно, тогда

поэтому гдедробно-рациональная функция одной переменной. К последнему интегралу можно уже применить алгоритм разложения на простейшие дроби и свести дело к интегрированию простейших дробей типаОднако не всегда удобно пользоваться универсальной подстановкой, так как она часто приводит к громоздким выкладкам. Иногда удобнопользоваться частными типами подстановок, которые мы приводим ниже.

И, наконец, интегралы типа

преобразуются в интегралы от синусов и косинусов с помощью формул тригонометрии:

Вычислим, например, интегралы:

Лекция 7. Несобственные интегралы первого рода. Приложения интегралов: вычисление площадей, длин дуг и объёмов тел

Ранее рассматривались интегралы с конечными пределамии от ограниченных функцийЕсли хотя бы одно из этих ограничений нарушается, то указанный

интеграл будет несобственным. Такие интегралы часто встречаются в приложениях, поэтому перейдем к их изучению.

1.Несобственные интегралы

Сначала рассмотрим интегралы с бесконечными пределами.

Определение 1. Пусть функция интегрируема на любом отрезкеТогда если существует конечный пределто говорят, что интегралсходится. При этом пишутЕсли же указанный предел не существует или равен бесконечности, то говорят, что интегралрасходится.