Файл: Высшая математика 2 (Лекции).docx

и непрерывны и дифференцируемы в

Если при этом существует (конечный или бесконечный) предел отношения производных: то и существует равный ему предел отношения самих функций:

Например, для рассмотренного выше предела имеем

Лекция 4. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значений, реализация всех промежуточных значений. Свойства дифференцируемой функции: монотонность, экстремумы. Схема построения графика функции с помощью первой производной

1. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Функция называетсянепрерывной на отрезке если а) она непрерывна в любой точке а на концах иотрезка непрерывна справа и слева соответственно, т.е.Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом замечательных свойств, сформулированных ниже.

1. Теорема ВейерштрассаЕсли функция непрерывна на отрезкето она ограничена на этом отрезке, т.е. существует постояннаятакая, что

2. Теорема Вейерштрасса Если функция непрерывна на отрезкето она достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. существуют точкитакие, что

3. Теорема Больцано-Коши Если функция непрерывна на отрезкето каково бы ни было значениесуществует значениетакое, что

4. Теорема Больцано-Коши Если функция непрерывна на отрезкеи принимает на концах этого отрезка значения разных знаковто существует хотя бы одно значениетакое, что

2. Монотонность функции

Напомним определение монотонных функций.

Определение 1. Говорят, что функция строго возрастает на множестве если для любыхиз неравенствавытекает неравенствоЕсли жето функцияназываетсястрого убывающей на множестве Если же из строгого неравенствамежду аргументами вытекают нестрогое неравенствомежду значениями функции, то говорят, чтоявляетсянеубывающей (соответственно невозрастающей ) на множестве Множество всех функций строго возрастающих и строго убывающих образует класс строго монотонных функций; невозрастающие и неубывающие функции образует класс просто монотонных функций.

При исследовании на монотонность функций используются выписанная ранее

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезкеи является дифференцируемой по-крайней мере в интервалето существует точкатакая, что

Теорема 1. Пусть функция непрерывна на отрезке и является дифференцируемой по-крайней мере в интервалеТогда справедливы следующие высказывания:

1. если то функциястрого возрастает на отрезке;

2. если то функциястрого убывает на отрезке.

Доказательство вытекает из равенства (1), в котором надо положить Действительно, еслиа (тогда и), то (см. (1)) будет

выполняться неравенство Это означает, чтофункция строго возрастает на отрезке.Аналогично доказывается высказывание 2. Теорема доказана.

Замечание 1. Можно показать, что в случае нестрогого знака производной имеет место высказывание:

3. Для того чтобы функция удовлетворяющая условиям теоремы 1, была неубывающей (невозрастающей) на отрезке, необходимо и достаточно, чтобы(соответственно).

Например, функция строго убывает на любом отрезкетак какприи эта функция строго возрастает натак как при

2. Локальный экстремум

Пусть функция определена в точкеи некоторой её окрестности.

Определение 2. Говорят, что функция достигает в точкелокального максимума, если существует такое, чтовыполняется неравенство. Если при указанныхимеет место противоположное неравенството говорят, что в точкефункциядостигает в точкелокального минимума.

Заметим, если неравенстваилиобращаются в равенстволишь в одной точке то говорят, что соответствующий максимум или минимум является строгим. Точки функциядостигает локального максимума или минимума, называютсяточками локального экстремума этой функции.

Замечание 2. Слово “локальный” здесь означает, что введенное понятие экстремума верно лишь в достаточно малой окрестности точки Иногда слово “локальный” будем опускать.

Необходимое условие экстремума. Пусть в точке функция достигает локального экстремума. Тогда либо в этой точке функция дифференцируема и тогда либо не дифференцируема в точке

Замечание 3. Точки такие, чтолибо равна нулю, либо не существует (или равна), называтсякритическими точками функции

Если точка локального экстремума функциито она обязательно для неё критическая. Обратное утверждение, вообще говоря, не верно. Например, для функциипроизводнаяно в точкеэта функция не имеет экстремума. Как проверить, что в критической точке достигается экстремум? Ответ на этот вопрос содержится в следующем утверждении.

Теорема 2 (достаточные условия экстремума по первой производной). Пусть точка критическая точка для функциии функция непрерывна в этой точке. Пусть, кроме того, производная существует в некоторой проколотой окрестности точки Тогда:

1. если при переходе аргумента через точку(слева направо) изменяет знак снато в точкефункциядостигает локального максимума;

2. если при переходе аргумента через точку(слева направо) изменяет знак снато в точкефункциядостигает локального минимума;

3. если в окрестности точки функцияне изменяет знака, то в точкефункцияне достигает локального экстремума.

Доказательство. Действительно, если то функциявозрастает на отрезкеи, значит,для всехиз указанного отрезка. С другой стороны, так както функцияубывает на отрезкеи, значит, сновадля всехиз указанного отрезка. Следовательно, при всехвыполняется неравенствот.е. точка является точкой локального максимума. Аналогично доказываются утверждения 2 и 3. Теорема доказана.