ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.03.2025
Просмотров: 1061
Скачиваний: 1
СОДЕРЖАНИЕ
2. Модуль (абсолютная величина) действительного числа
5. Бесконечно малые функции и их свойства
6. Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентных бесконечно малых
7. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
2. Непрерывность функции в точке
3. Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл
4. Арифметические действия над производными
5. Производная сложной и обратной функций и функции, заданной параметрически
6. Производные простейших элементарных функций
1. Логарифмическая производная
2. Производные и дифференциалы высших порядков
3. Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа
1. Свойства функций, непрерывных на отрезке
3. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
4. Исследование функций с помощью высших производных
1. Первообразная и неопределенный интеграл
2. Замена переменной в неопределенном интеграле
3. Интегрирования по частям в неопределенном интеграле
5. Определенный интеграл, его свойства и геометрический смысл
1. Интеграл с переменным верхним пределом
3. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле
4. Интегрирование дробно-рациональных функций
4. Интегрирование тригонометрических выражений
Теорема
4.
Если
дуга
задана уравнением
где
функция
непрерывно дифференцируема на отрезке
то
ее длина вычисляется по формуле
Доказательство.
Произведем разбиение
отрезка
на частичные отрезки
Это разбиение порождает разбиение
дуги
частичные дуги
По определению 3 имеем
Длина хорды
равна (см. рис. Р17) величине
По
теореме Лагранжа существует точка
такая, что
поэтому
Учитывая это, получаем, что
Теорема доказана.
Замечание
2. Величина
называетсядифференциалом дуги
Учитывая, что
её можно записать в виде
Мы получили теорему Пифагора для
криволинейного треугольника с катетами
и “гипотенузой”
Теперь формулу (1) для вычисления длины
дуги можно записать кратко так:
Эта форма записи длины дуги особенно
удобна, если дуга
задана параметрически или в полярной
форме. Из нее можно получить следующие
утверждения.
Теорема
5.
Если
дуга
задана параметрически уравнениями
где функции
непрерывно дифференцируемы на отрезке
то
ее длина вычисляется по формуле
Если дуга
задана в полярных координатах уравнением
где функция
непрерывно
дифференцируема на отрезке
то её длина вычисляется по формуле
Действительно,
если
задана в параметрической форме, то
Рекомендуем получить формулу длины дуги в полярных координатах самостоятельно.
Например,
если дуга
задана уравнением
то её длина равна
4. Вычисление объёмов тел
С помощью определенного интеграла можно вычислять и объёмы тел. Дадим соответствующие формулы.
Теорема
6. Пусть
тело
заключено между плоскостями
и
а
площадь
его поперечного сечения плоскостью
Если функция
непрерывна на отрезке
то
объём тела
вычисляется
по формуле
Замечание
3. Если
тело
получено
вращением криволинейной трапеции
вокруг
оси
,
то объём этого тела вычисляется по
формуле
Действительно,
в этом случае поперечное сечение является
кругом радиуса
поэтому
Аналогично вычисляется объём тела,
полученного вращением вокруг оси
криволинейной трапеции
(конечно, в выписанных формулах для
предполагается,
что функции
и
непрерывны
на соответствующих отрезках).
1Здесь и всюду далее с тем, чтобы не прерывать выкладки, в квадратных скобках будем указывать соответствующие замены переменных или формулы, необходимые для преобразований исходных выражений.
2На рис. Р6: – это трапеция ограниченная сверху кривой снизу– осью , с боков– прямыми и