Файл: Высшая математика 2 (Лекции).docx

Аналогично определяются интегралы

( здесь произвольная конечная точка). Эти интегралы называютнесобственными интегралами первого рода. Их геометрический смысл ясен из рис. 11, где площадь Теперь рассмотрим интегралы от неограниченных функций.

Определение 2. Если функция не ограничена в окрестности точки(ее называютособой точкой ) и является интегрируемой на любом отрезке то по определению полагаютЕсли этот предел существует и конечен, то говорят, что интегралвторого рода сходится. В противном случае он называется расходящимся. Аналогичный смысл имеют интегралы (второго рода)

,

где в первом случае точка является особой, а во втором случае точкаявляется особой. Поскольку заменой переменнойинтеграл второго рода

(особая точка) сводится к интегралу первого рода, то будем изучать только интегралы с бесконечным верхним пределом. Сначала покажем, чтоэталонный интеграл

Действительно, имеем

Переходя здесь к пределу при получаем наше утверждение. С помощью эталонного интеграла можно исследовать сходимость других несобственных интегралов.

Теорема сравнения 1. Пусть функции иинтегрируемы на произвольном отрезкеи имеют место неравенстваТогда если сходится интегралто и сходится интегралЕсли же интегралрасходится, то и расходится интеграл

Теорема сравнения 2. Пусть функции иположительны и интегрируемы на произвольном отрезке Пусть, кроме того, существует пределТогда интегралыисходятся или расходятся одновременно.

Замечание 1. При применении этих теорем часто используется таблица эквивалентных бесконечно малых:

Если прито при верны следующие соотношения:

const.

Например, интеграл сходится, так каки интегралсходится (см. эталонный интеграл() и теорему сравнения 2).

Отметим, что теоремы сравнения верны лишь для неотрицательных подынтегральных функций. Если эти функции не являются знакопостоянными, то вводят понятие абсолютной сходимости: говорят, что интеграл сходится абсолютно, если сходится интеграл Если последний интеграл расходится, а сам интегралсходится, то его называютусловно сходящимся интегралом. Нетрудно показать, что из сходимости интеграла вытекает обычная сходимость интеграла Обратное, вообще говоря, неверно. Можно показать, например, что интеграл

сходится, а интеграл расходится. Тем не менее, при исследовании сходимости интегралов от знакопеременных функций изучают сначала их абсолютную сходимость (здесь можно применить теоремы сравнения), а затем – условную сходимость.

Например, рассмотрим интеграл . Здесь подынтегральная функция изменяет знак на полуинтервале, поэтому применить к нему теоремы сравнения нельзя. Рассмотрим “модульный” интегралЗдесь подынтегральная функция неотрицательна, и поэтому к этому интегралу можно применить теорему сравнения 1:

Так как интеграл сходится, то и интегралтакже сходится, а, значит, исходный интегралсходится абсолютно.

2. Вычисление площадей плоских фигур

Из геометрического смысла определенного интеграла вытекает следующее утверждение.

Теорема 1. Если фигура задана неравенствамигде функциинепрерывны на отрезкето площадь этой фигуры вычисляется по

формуле Если фигура ограничена линиями причем функциязнакопеременна и непрерывна на отрезкето её площадь равна

Действительно, фигуру можно перенести параллельно осивверх и тогда она будет сверху и снизу ограничена линиями

Поэтому

Переходя к вычислению площади в полярных координатах, напомним, что любая точка

на плоскости вполне однозначно определяется своим полярным радиусом

и полярным углом (считаем, что началу координатсоответствует радиуси любой фиксированный полярный угол). Поэтому любую кривую на плоскости можно задать уравнениемПереход от декартовых координат точкик полярным осуществляется по формулам

Теорема 2. Пусть фигура задана в полярных координатах неравенствамипричем функциянепрерывна на отрезкеТогда площадь этой фигуры вычисляется по формулеЕсли фигура описывается неравенствами

причем функции непрерывны на отрезкето её площадь вычисляется по формуле

Площади фигур с замкнутой границей удобно вычислять, если граница задана в параметрической форме.

Теорема 3. Пусть фигура имеет границузаданную параметрически уравнениями

причем при возрастании параметра откобход границысовершается так, что сама областьостается слева от наблюдателя. Если при этом функциинепрерывны на отрезке, то площадь этой фигуры вычисляется по формуле

3. Вычисление длины дуги

Пусть на плоскости задана некоторая незамкнутая кривая(см. рис. Р16). Произведем разбиение

этой дуги на частичные дуги в каждую из которых впишем хорду. Тогда получим ломанную, вписанную в дугу. Пустьдлина хорды

Определение 3. За длину дуги кривойпринимают предел, к которому стремится периметр ломанной, вписанной в эту дугу, при стремлении длины максимального звена этой ломанной к нулю, т. е.Если криваязамкнутая, то разбивают ее двумя несовпадающими точками на две незамкнутые кривыеии тогда

дл.дл.дл.