Файл: Лабораторный_практикум Matlab.doc

Определение параметров автоколебаний по годографам

Уравнения гармонического баланса (6.5) с использованием комплексных коэффициентов усиления линейного и нелинейного звеньев можно записать следующим образом:

W_н(X_m)W_л(jω)=-1(6.11)

или W_л(jω)=-1/W_н(X_m)=V_н(X_m).

Из последнего равенства очевидно, что параметры автоколебаний (частоту ω и амплитуду Х_m) можно найти на пересечении годографалинейной динамической части и инверсного годографа нелинейного элемента, взятого со знаком "минус" (рис.6.2). Как видно из рисунка, два годографа пересекаются в двух точкахМиN, определяющих возможные автоколебания с параметрами соответственно.

Рис.6.2

При движении по годографу V(X_m) в сторону увеличения амплитуды Х_m точке пересечения годографов, проходя через которую мы выходим из контура амплитудно-фазовой характеристики линейной части системы, соответствует устойчивое автоколебание. Таким образом, параметры автоколебаний в системе определяются попересечению двух годографов в точке М.

Определение параметров автоколебаний по логарифмическим характеристикам

Для определения параметров автоколебаний нелинейных систем с однозначными нелинейностями удобно пользоваться логарифмическими амплитудными и фазовыми характеристиками на основе соотношений,полученных из (6.11)

|W_н(X_m)|*|W_л(jω)|=1,

φ_н(X_m)+φ_л(ω)=-π.(6.12)

Из первого соотношения следует |W_л(jω)|=|1/W_н(X_m)| или с учетом того, что для однозначных нелинейных характеристик К_с=0 |W_л(jω)|=|1/K_s(X_m)|, или после логарифмирования правой и левой частей L_л(ω)=-L_н(X_m), (6.13)

где L_л(ω)=20lg|W_л(jω)|,-L_н(X_m)=20lg|1/K_s(X_m)|.

Из второго соотношения для однозначных нелинейных характеристик, для которых φ_н(X_m)=0, следует φ_л(ω)=-π. (6.14)

Таким образом, равенства (6.13) и (6.14) определяют условия возникновения автоколебаний и из них могут быть найдены параметры возможных автоколебаний. Однако не всякое решение соответствует устойчивым автоколебаниям. Для определения устойчивостиавтоколебаний пользуются следующими правилами:

1. если при увеличении амплитуды Х_m ординаты логарифмической характеристики –L_н(X_m) увеличиваются, то линия “-π” штрихуется сверху, а в противном случае - снизу;

2. если при увеличении частоты ω фазовая характеристика линейной частиφ_л(ω)пересекает прямую "-π", переходя с заштрихованнойстороны на незаштрихованную, то автоколебания - устойчивы, а в противном случае - неустойчивы.

Таким образом, для определения параметров автоколебаний в замкнутой системе с нелинейным элементом, имеющим однозначную характеристику, на одном графике строятся характеристики L_л(ω) и -L_н(X_m) (очевидно, что ω и Х_m откладываются на разных участках одной оси абсцисс в логарифмическом масштабе); фиксируется точка ω₀, для которой выполняется условие (6.14) и из равенства (6.13) определяется амплитуда Х_m0 возможных автоколебаний; проверяется устойчивость автоколебаний.

На рис.6.3 показан пример определения параметров автоколебаний в замкнутой системе с нелинейностью типа "насыщение", коэффициенты гармонической линеаризации которой приведены в табл. 6.2.

Рис.6.3

В лабораторной работе исследуется автономная нелинейная система (рис.6.1), линейная часть которой задана в лабораторной работе № 2 с нелинейностью, заданной в табл.6.1 с параметрами, соответствующими номеру бригады. При этом для неоднозначной нелинейной характеристики рекомендуется пользоваться построением годографов, а для однозначной - логарифмических характеристик линейной и нелинейной частей разомкнутой системы.

Подготовка к работе

1. Построить амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы W_л(jω), заданной в лабораторной работе № 2, с параметрами из табл. 2.1, определяемыми в соответствии с номером бригады. (Для однозначных нелинейностей рекомендуется строить характеристику L_л(ω)).

2.На том же графике построить инверсный годограф нелинейного статического элемента, заданного в табл. 6.1 с параметрами, заданными в табл. 6.2 в соответствии с номером бригады. (Для однозначных нелинейностей – характеристику - L_н(X_m)).

3.Определить диапазон изменения коэффициента усиления разомкнутой системы, при котором в нелинейной замкнутой системе могут возникнуть устойчивые автоколебания.

Задание на выполнение работы

1. Смоделировать нелинейную автономную систему (рис.6.1) с заданными линейной частью и нелинейностями, заданными в таблице 6.1.

2. Задав на интеграторе начальные условия, наблюдать и снятьпроцессы на выходе линейного (x(t)=y(t)) и нелинейного (z(t)) звеньев.

3. По снятому процессу x(t)определить параметры автоколебаний.

4. Наблюдать фазовый портрет, подавая на вход Xсигналx(t), а на входY- производную этого сигнала по времени (сигнал с выхода интегратора).

5. Определить параметры автоколебаний по фазовому портрету.

Сравнить полученные параметры с вычисленными заранее.

Методические указания

Определение параметров автоколебаний по фазовому портрету производится, исходя из следующих соображений. При x(t)=Х_msinωtdx(t)/dt=Х_mωsinωtи фазовый портрет будет представлять собой эллипс, из которого можно найти параметры автоколебаний (см. рис.6.4).

Рис.6.4

Таблица 6.1

Параметры нелинейностей: α=45⁰,b=0.5,b₁=0.25,b₂=0.5,c=0.75,m=0.5.

Таблица 6.2