Файл: Ответы на вопросы Волчковой (1).docx

Выражения поверхностных интегралов для прямоугольных площадок

Т а б л и ца П2.

Функции
Подынтегральные	Первообразные

Аналитические выражения линейных интегралов

Т а б л и ц а П3

Функции
Подынтегральные	Первообразные

П р и м е ч а н и е. Формулы даны для интегрирования в ТСК (штрихи у координат опущены). Принятые обозначения: .

Так как расчет коэффициентов матриц вынужденно строится по циклической схеме, а численное интегрирование выполняется в самом внутреннем цикле, то к этой части алгоритма и реализующей его программе предъявляется требование — число выполняемых операций должно быть минимальным, но, естественно, не в ущерб точности вычислений. При заданной погрешности интегрирования число необходимых операций, определяемое числом узлов используемой квадратурной формулы, зависит от подынтегральных функций. Характер подынтегральных функций таков (см. табл. П1), что их значение и значения их высших производных быстро убывают при удалении точки наблюдения от точки интегрирования в направлении координатных осей у' и z^ (координата х' не является независимой переменной согласно формуле (1)). В связи с этим использование симметричных квадратурных формул, например формулы Гаусса, на всем отрезке нерационально и экономию времени вычислений можно ожидать в алгоритме, который имеет переменный шаг интегрирования, увеличивающийся при удалении точки наблюдения, т. е. при расчете по формуле вида

---

,

где N — число подынтервалов, на которые разбит весь отрезок интегрирования; — весовой коэффициент;— длинаk-го подынтервала; выражение в скобках — квадратурная формула с p узлами.

Оптимальный алгоритм интегрирования должен решать следующую задачу: определять наибольшую длину текущего подынтервала , которая обеспечивает заданную точность интегрирования при использовании выбранной квадратурной формулы, одинаковой для всех подынтервалов. Упрощенный алгоритмический прием предполагает априорное задание закона измененияв зависимости от удаления точки интегрирования. Подбор закона производится на основе анализа подынтегральных функций, а окончательная проверка и настройка точности интегрирования осуществляются на тестовых задачах, имеющих простое аналитическое решение.

В рассматриваемой программе длина текущего подынтервала интегрирования в ТСК рассчитывается по формуле

,

а начальный подынтервал при известном общем числе подынтервалов определяется из условия о размещении в отрезке [a, b] целого числа подынтервалов N, т. е.

.

В программе для каждого конкретного отрезка интегрирования вычисляется необходимое число подынтервалов путем решения неравенства относительно N на подмножестве натуральных чисел

,

где в левой части стоит проекция радиуса-вектора на плоскость в ТСК, т. е. решается задача нахождения наименьшегоN, при котором выполняется это неравенство. С вычислительной точки зрения такая задача содержит незначительное число операций. Суммарная погрешность интегрирования с использованием приведенных соотношений при учете накопления погрешностей на подынтервалах лежит в пределах 0,01 … 0,05 %. Уменьшение погрешности интегрирования достигается усилением неравенства. При попадании точки наблюдения внутрь отрезка он разбивается на два,, интегралы для них вычисляются раздельно и суммируются. Если при этом ит. е. точка наблюдения лежит на площадке интегрирования, то интеграл становится несобственным; интегрирование его по приведенному алгоритму затруднено. Чтобы исключить этот эффект, применяется искусственное смещение точки наблюденияQ по на малое расстояние от площадки интегрирования, после чего алгоритм работает без затруднений. В то же время такой прием не вызывает заметной дополнительной погрешности.

---

43. Как строится модель для расчета напряженности магнитного поля для намагниченной детали из магнитомягкого материала с постоянной относительной магнитной проницаемостью с использованием простого слоя фиктивных магнитных?

Ответ. Этот вопрос я исключил. Для тех, кто интересуется:

---

2.3. Граничные интегральные уравнения для расчета деталей мс с линейными магнитными свойствами

При формулировке краевых задач расчета МС на основе ГИУ второго рода используются математические модели ферромагнитных областей, опирающиеся на приближенные аппроксимации относительной магнитной проницаемости вещества по объему. Простейшая модель (см. § 1.1) детали из изотропного безгистерезисного материала строится при допущении постоянства относительной магнитной проницаемости по всему объему, что позволяет свести задачу к расчету источников, распределенных только по поверхностям раздела разнородных элементов МС.

Согласно уравнениям Максвелла (1.1) на границе раздела разнородных сред, в данном, случае на поверхности 5 детали, для, нормальных составляющих напряженности поля выполняется равенство

. (2.23)

Так как напряженность поля представляется суммой вихревой и потенциальной составляющих, то условие (2.23) для скалярного потенциала принимает вид

. (2.24)

В отличие от условий на границе области, использованных в § 2.2, условия (2.23), (2.24) указывают не значение компоненты вектора, а на свойство непрерывности. Подставив в (2.24) интегральные выражения для нормальных производных скалярного потенциала с внутренней (2.9) и внешней (2.10) сторон ограничивающей поверхности, получим интегральное уравнение для расчета плотности магнитных зарядов [22]

. (2.25)

где -напряженность поля, созданная всеми остальными источниками МС, как вихревыми, так и потенциальными;- коэффициент, характеризующий свойства граничащих сред.

В [18] подробно исследованы свойства уравнения (2.25) и показано, что при конечных значениях - такое уравнение имеет единственное решение. Однакобольшинства элементов МС из магнитномягких материалов очень высока, а в ряде случаев при расчетах принимается бесконечное значение. При этом уравнение (2.25) становится близким или полностью аналогичным уравнению (2.9) для внутренней второй краевой задачи, которое не может быть разрешимо без дополнительных условий. Достаточное дополнительное условие, указывающее на дипольный характер источников в ферромагнитных областях, заключается в равенстве нулю суммарного заряда на замкнутой, ограничивающей деталь поверхности (2.11). Регуляризованное уравнение (2.25) с учетом условия (2.11) имеет единственное решение и вполне корректно описывает распределениепри любых значениях. [см. также (2.12)]:

---

. (2.26)

Если деталь из ферромагнитного материала заменяется набором элементарных объемов с постоянным значением , то вид расчета уравнения остается таким же (2.26), но интегрирование теперь производится уже по всем поверхностям, образующим элементарные объемы.

Известно (см. § 1.1), что ферромагнитную деталь с непостоянной по объему при расчете можно рассматривать как совокупность объемных и поверхностных зарядов. Используя определение объемного магнитного заряда (1.15) и основные соотношения между векторами стационарного магнитного поля, нетрудно получить выражение, связывающее, которая выступает как функция точки наблюдения, и объемную плотность магнитного заряда:

. (2.27)

Напряженность поля записывается через объемный и поверхностный заряд:

. (2.28)

Далее (2.28) подставляем в (2.27) и получаем ГИУ второго рода для объемной плотности магнитного заряда.

. (2.29)

Вывод ГИУ для поверхностной плотности заряда аналогичен изложенному выше, но появляется еще слагаемое от объемных зарядов. Улучшение свойств разрешимости таких ГИУ проводится путем учета априорно известных интегральных свойств вторичных источников - равенства нулю суммарного магнитного заряда в ферромагнитном теле:

.

Кроме ГИУ относительно скалярных источников (2.26), (2.29.) в условиях, когда реальная магнитная среда заменяется моделью с кусочно-постоянным распределением , оказывается возможным формулирование ГИУ второго рода относительно векторных вторичных источников: слоев токов и магнитных моментов. Такие источники должны быть помещены на всех поверхностях ограничивающих области с постоянным значением. Используя понятиеи соотношение между основными векторами магнитного поля (1.2), равенство (1.16) для простого слоя токов перепишем в виде

---