Файл: R3.doc

3.3. Загальний метод введення параметру

Розглянемо диференціальне рівняння (3.1). Припустимо, що воно допускає параметризацію

(3.18)

так, що при всіх значеннях параметріві.

Використовуючи (3.18) і співвідношення ми завжди диференціальне рівняння (3.1) можемо привести до диференціального рівняння, яке розв'язане відносно похідної

.

Тому

.

Візьмемо, наприклад, за незалежну змінну,– за залежну, тоді прийдемо до диференціального рівняння

. (3.19)

Якщо

(3.20)

– загальний розв'язок диференціального рівняння (3.19), то загальний розв'язок диференціального рівняння (3.1) можна отримати в параметричній формі

. (3.21)

Розглянемо деякі частинні випадки.

1. Диференціальні рівняння, розв'язані відносно шуканої функції.

Це рівняння має вигляд

. (3.22)

За параметри іможна взятиі. Позначимо, тоді

. (3.23)

Маємо

.

---

Звідки

. (3.24)

Нехай – загальний розв'язок диференціального рівняння (3.24), тоді– загальний розв'язок диференціального рівняння (3.22).

Диференціальне рівняння (3.24) може мати особливий розв'язок , тоді диференціальне рівняння (3.22) може мати особливий розв'язок.

2. Випадок, коли диференціальне рівняння розв'язане відносно незалежної змінної.

Це рівняння має вигляд

. (3.25)

Інтегрується воно аналогічно диференціальному рівнянню (3.22). Покладемо . Тоді

.

Використовуючи співвідношення , отримаємо

.

Звідки

. (3.26)

Якщо – загальний інтеграл диференціального рівняння (3.26), то

(3.27)

– загальний інтеграл диференціального рівняння (3.25).

Якщо – особливий розв'язок диференціального рівняння (3.26), то– може бути особливим розв'язком диференціального рівняння (3.25).

Розглянемо тепер більш прості випадки, коли рівняння можна проінтегрувати.

3. Рівняння Лагранжа.

Це рівняння має вигляд

. (3.28)

Воно інтегрується в квадратурах. Покладемо . Тоді

. (3.29)

---

З (3.29) маємо

,

. (3.30)

Диференціальне рівняння (3.30) лінійне по

. (3.31)

Нехай – розв'язок диференціального рівняння (3.31). Тоді загальний розв'язок рівняння Лагранжа запишемо в параметричній формі

. (3.32)

Особливі розв'язки можуть бути там, де

, (3.33)

тобто

, (3.34),

де – корені рівняння (3.33).Розв'язок (3.34) може бути частинним або особливим.

4. Рівняння Клеро.

Це рівняння – частинний випадок рівняння Лагранжа, коли

. (3.35)

Покладемо , тоді

. (3.36)

Використовуючи , отримаємо. Звідки

. (3.37)

Рівняння (3.37) розпадається на два

. (3.38)

Перше рівняння (3.38) дає , підставляючи його в (3.35) будемо мати загальний розв’язок

. (3.39)

Друге – , разом з (3.35) утворює параметричний розв’язок

. (3.40)

---

Розв’язок (3.40) є особливим, так як він співпадає з обвідною. Дійсно

,

звідки

. (3.41)

Дискримінантна крива (3.41) співпадає з розв’язком (3.40).

Приклад 3.3. Розв’язати рівняння Лагранжа

.

Розв'язання. Покладемо . Маємо,,

, .

Отримали лінійне рівняння

.

Його розв’язок

, (3.42)

(3.43)

– загальний розв’язок нашого рівняння в параметричній формі. Або, виключаючи , отримаємо

. (3.44)

Знайдемо ті розв’язки, яким відповідають

.

Перший розв’язок – особливий, другий – частинний.

Приклад 3.4. Розв'язати рівняння

.

Розв'язання. Це рівняння Клеро. Його загальний розв’язок. Запишемо дискримінантну криву

.

Звідки – особливий розв’язок, так як через цей розв’язок проходить ще розв’язок, який міститься в загальному при.

---

3.4. Неповні рівняння

а) Диференціальні рівняння, які містять тільки похідну.

Це рівняння вигляду

. (3.45)

Рівняння (3.45) може мати скінчену або нескінчену кількість дійсних розв’язків

, (3.46)

де – деякі числа, які задовольняють рівняння.

Інтегруємо (3.46)

(3.47)

Так як , то

(3.48)

– загальний інтеграл диференціального рівняння (3.45).

Таким чином, при таких припущеннях інтегральні криві диференціального рівняння (3.45) є системою прямих ліній, які можна записати у вигляді (3.48). При цьому в (3.48) можуть входити комплексні розв’язки диференціального рівняння.

Приклад 3.5.Розв’язати диференціальне рівняння

.

Розв'язання. Згідно (3.48) – загальний інтеграл. Однак у нього, крім дійсного розв’язку, входять розв’язки комплексних диференціальних рівнянь.

б) Диференціальні рівняння, які не містять шуканої функції.

Такі рівняння мають вигляд

. (3.49)

Якщо (3.49) можна розв’язати відносно похідної

, (3.50)

то

(3.51)

є загальним інтегралом диференціального рівняння (3.49).

Якщо ж розв’язати відносно не можна, а допускається параметризація

, (3.52)

---