Файл: Т_2.doc

1. ОПК-2 способность применять соответствующий физико-математический аппарат, методы анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования при решении профессиональных задач

2. ОПК-3 способность использовать методы анализа и моделирования электрических цепей

2. Формирование уровня обученности:

должны знать методы анализа и моделирования электрических цепей и электромагнитного поля при решении профессиональных задач.

Материальное обеспечение:

Проектор, ПК, комплект слайдов «ТОЭ, тема 2».

Учебные вопросы

Вводная часть.

Основная часть:

2.1. Основные понятия.

2.2. Формы представления синусоидальных величин. Комплексные числа.

2.3. Пассивные элементы R, L, C в цепи синусоидального тока.

2.4. Символический или комплексный метод расчета.

2.5. Мощность синусоидального тока.

2.6. Резонансные явления в электрических цепях.

Заключение.

Литература

Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи.: учебник для бакалавров – 11-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2012. – 701 с.: ил.

2.1. Основные понятия

Синусоидальный ток (напряжение, э.д.с.) – это периодический электрический ток (напряжение, Э.Д.С.), являющийся синусоидальной или косинусоидальной функцией времени:

Генератор гармонического (синусоидального) напряжения:

Э.д.с. и ток на генераторе гармонического (синусоидального) напряжения:

;

Амплитуда I_max – максимальное значение функции.

Период T – наименьший интервал времени, между которым мгновенные значения повторяются, [c].

Частота  – величина обратная периоду [ Гц].

Угловая частота  – число периодов Т в интервале времени, равном 2:

 = 2, .

Фаза – аргумент гармонической функции , который линейно увеличивается во времени.

Начальная фаза – значение фазы в начальный момент времени (t = 0).

; ;

Если  = 0 – то e₂(t) совпадает по фазе c e₁(t);

 = – в противофазе;

  0 – отстает по фазе ;

  0 – опережает по фазе .

Сдвиг фаз между током и напряжением – разность между начальной фазой тока и фазой напряжения.

Мгновенное значение напряжения (тока, э.д.с.) – функция времени:

Обозначается прописными буквами u(t), i(t), e(t).

Действующее значение напряжения (тока, э.д.с.) – такое значение постоянного напряжения (тока, э.д.с.), которое за период оказывает такой же тепловой и другие эффекты, что и синусоидальное напряжение (ток, э.д.с.)

Обозначается заглавными буквами U, I, E.

Т.к. согласно закону Джоуля - Ленца количество теплоты, выделяемой на резисторе:

то действующее значение тока – это среднеквадратичное значение этой функции за период:

Если i = I_m sin t , то действующее значение тока ;

u = U_m sin t , то действующее значение напряжения ;

e = E_m sin t , то действующее значение э.д.с. .

Среднее значение – среднее значение за полупериод (положительный)

Если i = I_max sin t , то среднее значение тока .

2.2. Формы представления синусоидальных величин. Комплексные числа

Существуют следующие основные формы представления гармонических величин:

Тригонометрическая форма:

Недостаток – трудно производить математические операции с несколькими синусоидами.

Графическая форма (волновая диаграмма).

Недостаток – трудность точного изображения и большие погрешности при расчетах с помощью графических построений.

Векторы на плоскости в Декартовой системе координат.

Длина вектора – амплитуда.

Угол – начальная фаза.

Векторная диаграмма – это совокупность векторов, изображающих векторы тока, напряжения и э.д.с. цепи, исходящих из одной точки

Недостаток: можно легко складывать и вычитать, трудно умножать и делить.

4. Комплексная форма представления.

Комплексное число – алгебраическая сумма действительного числа A и мнимого числа jB:

Сопряженное число:

Мнимая единица:

;

Модуль комплексного числа – длина вектора :

Аргумент (фаза) комплексного числа – угол между осью действительных чисел и вектором:

(обязателен учет четверти – если II-я или III-я четверть, то

Угол откладывается против часовой стрелки.

Существуют следующие формы комплексного числа:

Алгебраическая форма:

Алгебраическая форма предпочтительна для сложения и вычитания комплексных чисел:

Показательная форма:

Показательная форма предпочтительна для умножения и деления комплексных чисел:

Тригонометрическая форма:

т.к. .

Для перевода из одной формы в другую:

; ;

; .

Символом с индексом max обозначается комплекс амплитуды величины, например Ė_m. Без индекса – действующее значение величины, например Ė.

На рисунке:

;

Изображение гармонических колебаний комплексным числом позволяет заменить интегрально-дифференциальные уравнения комплексными алгебраическими уравнениями. При этом комплексами изображаются не только гармонические э.д.с., U, I, но и параметры схемы.

2.3. Пассивные элементы R, L, C в цепи синусоидального тока

2.3.1. Идеальный резистивный элемент (ИРЭ)

Мгновенное значение напряжения на ИРЭ:

Ток, протекающий через ИРЭ:

;

Т.о. напряжение и ток на ИРЭ всегда совпадают по фазе:

Комплексное сопротивление .

- закон Ома в комплексной форме для ИРЭ.

Сопротивление у ИРЭ активное. Активная мощность оценивает интенсивность необратимого процесса преобразования электроэнергии в другие виды энергии.

Мгновенная мощность:

;

где – действующие значения напряжения и тока.

Среднее значение мощности на ИРЭ:

2.3.2. Идеальный ёмкостный элемент (ИЕЭ)

Мгновенное значение напряжения на ИЕЭ:

Ток, протекающий через ИЕЭ:

Тогда

– ток опережает напряжение на .

Комплексное сопротивление ИЕЭ:

где - емкостное сопротивление.

- закон Ома в комплексной форме для ИЕЭ.

Мгновенная мощность:

;

Средняя мощность:

Энергетические процессы в ИЕЭ носят обменный характер с двойной частотой по отношению к частоте цепи.

Процессы обмена энергией между источником и приемником – реактивные процессы.

Сопротивление ИЕЭ – реактивное.

Интенсивность обменных процессов оценивается реактивной мощностью:

2.3.3. Идеальный индуктивный элемент (ИИЭ)

Мгновенное значение напряжения на ИИЭ:

С учетом явления самоиндукции 2-й закон Кирхгофа для данной цепи:

Тогда ток, протекающий через ИИЭ:

– ток отстает от напряжения на .

Комплексное сопротивление ИИЭ:

где [Ом] - индуктивное сопротивление.

- закон Ома в комплексной форме для ИИЭ.

Процессы в ИЕЭ и ИИЭ проходят в противофазе.

Интенсивность объемных процессов оценивается реактивной мощностью:

2.4. Комплексный (символический) метод расчета

Комплексный метод расчета применяется при анализе цепей с синусоидальными э.д.с., напряжениями и токами.

Сущность (математическая)комплексного метода анализа состоит в том, что при синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений и являющихся интегродифференциальными уравнениями к алгебраическим уравнениям, составленными относительно комплексов тока и ЭДС.

При переходе дифференцирование мгновенного значения заменяют умножением jω на соответствующую комплексную величину, а интегрирование – делением комплексной величины на jω.

Основные законы электрических цепей в комплексной форме.

; - закон Ома для участка цепи.

- закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС.

- первый закон Кирхгофа.

- второй закон Кирхгофа.

Это позволяет в математическом описание параметров элементов схемы замещения (резистивных, индуктивных, емкостных) цепи переменного тока в комплексной форме вложить всю необходимую информацию о поведении этих элементов в цепи синусоидального тока. При этом каждый элемент заменяют на его комплексное изображение:

В результате получаем схему замещения в комплексной форме. К этой схеме применяют все известные методы расчета цепей постоянного тока.

Алгоритм комплексного метода

Составляют комплексную схему, заменяя мгновенные значения э.д.с., напряжений и токов источников тока их комплексными изображениями. Параметры ветвей схемы заменяют их комплексными сопротивлениями и проводимостями.

В полученной комплексной схеме произвольно выбирают направления комплексных токов в ветвях и обозначают их на схеме.
Составляют комплексные уравнения по выбранному методу расчета:

;

Решают уравнения относительно комплексного значения искомой величины:

При необходимости записывают мгновенное значение найденной комплексной величины:

2.5. Мощность синусоидального тока

Полная мощность – произведение действующих значений тока и напряжения:

Комплекс полной мощности:

где - сопряженный комплекс тока.

Активная мощность P – среднее значение мгновенной мощности за период Т. Равна энергии, рассеиваемой на активном сопротивлении в единицу времени.

Реактивная мощность Q – численно равна максимальной скорости запасания энергии в реактивных элементах. Характеризует процессы обмена энергией между цепью и источником.

Коэффициент мощности cos  – характеризует степень использования полной мощности или долю активной мощности в полной. При cos  = 1 вся мощность источника используется полностью.

Полная мощность у источников:

причем

+P_u – источник генерирует активную мощность;

- P_u – приемник активной мощности;

+Q_u – потребитель реактивной мощности (катушка индуктивности);

- Q_u – генератор реактивной мощности (конденсатор).

Полная мощность у приемников:

причем знаки расставляются противоположно мощности у источников.

Баланс мощностей – алгебраическая сумма комплексных мощностей активных элементов в схеме равна сумме комплексных мощностей всех пассивных элементов:

где – напряжение на m - ом источнике тока.

Активную мощность измеряют с помощью электродинамического ваттметра:

Выбранные направления и тока İ должны быть одинаковыми относительно одноименных зажимов, обозначенных точкой или звездочкой на схеме и на приборе - ваттметре.

При этом

5.1. Резонансные явления и частотные характеристики

Основные понятия

Под резонансным режимом пассивного двухполюсника понимают режим, при котором напряжение и ток на его входе совпадают по фазе.

Условием резонанса является равенство нулю реактивного сопротивления X или реактивной проводимости B цепи, что предполагает наличие в цепи реактивных элементов различного характера (индуктивного и емкостного). В разветвленных цепях, где количество реактивных элементов N>3, возможны несколько резонансных режимов.

Резонансный режим логично достичь либо изменением параметров элементов цепи, либо изменением частоты приложенного к цепи напряжения, либо сочетанием этих двух факторов.

Резонансный режим в цепи с последовательным соединением участков, содержащих реактивные элементы различного характера, носит название резонанс напряжений. Признаком резонанса напряжения является равенство реактивных составляющих напряжений на последовательно включенных реактивных элементах различного характера.

Резонансный режим с параллельным соединением таких участков называется резонансом токов. Характерным признаком резонанса токов является равенство реактивных составляющих токов в параллельных ветвях, содержащих реактивные элементы различного характера.

; резонанс; .

Каковы показания вольтметров и амперметров?

Если считать элементы идеальными, то

U_pV2=50 В; U_pV3= U_pV4=500 В и I_pA=0.

Частотные характеристики – зависимость от частоты параметров цепи.

Резонансные кривые – зависимость действующих и амплитудных значений напряжений и токов от частоты или параметров цепи.

Вид резонансных кривых определяется видом частотных характеристик.

Рассмотрим наиболее часто возникающие резонансные режимы.

5.1.1. Резонанс напряжений

; ;

; ; ;

; .

Условие резонанса:

;

Признаки резонанса:

;

;;

;;;

;

– добротность последовательного контура. Показывает, во сколько раз при резонансе напряжения на реактивных элементах контура превышает напряжение на входе цепи.

где - собственная (резонансная) частота контура.

Сопротивление индуктивного и емкостного элемента при резонансе называется характеристическим (волновым) сопротивлением последовательного RLC контура:

[Ом].

Тогда .

Величина обратная добротности – затухание контура:

Резонансные кривые – зависимости действующих и амплитудных значений напряжений и токов от частоты или параметров цепи: при U = const.

Полоса пропускания контура – диапазон частот  = _в - _н, на границах которого справедливо условие: