Кафедра электротехники и электрических машин

Лекция № 27,28,29

по дисциплине «Теоретические основы электротехники, ч.2»

для студентов направления подготовки:

13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника»

Тема № 9. Нелинейные электрические и магнитные цепи

Краснодар 2015 г.

Цели: 1. Формирование следующих компетенций:

1. ОПК-2 способность применять соответствующий физико-математический аппарат, методы анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования при решении профессиональных задач

2. ОПК-3 способность использовать методы анализа и моделирования электрических цепей

2. Формирование уровня обученности:

должны знать методы анализа и моделирования электрических цепей и электромагнитного поля при решении профессиональных задач.

Материальное обеспечение:

Проектор, ПК, комплект слайдов «ТОЭ, тема 9».

Учебные вопросы

Вводная часть.

Основная часть:

9.1. Основные понятия.

9.2. Нелинейные цепи переменного тока.

9.3. Метод эквивалентных синусоид.

Заключение.

Литература

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи.: учебник для бакалавров – 11-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2012. – 701 с.: ил.

Нелинейные электрические и магнитные цепи

9.1. Основные понятия.

Нелинейные электрические цепи – цепи, содержащие хотя бы один нелинейный элемент, т.е. элемент, параметры которого (R, L или C) зависят от значений или от направления тока и напряжения этого элемента цепи.

В зависимости от способности рассеивать электрическую энергию в виде тепла (необходимо преобразовывать в другие виды энергии) или накапливать магнитную или электрическую энергию (или накапливать в виде энергии магнитного или электрического полей) различают:

РНЭ – резистивный нелинейный элемент;

ИНЭ – индуктивный нелинейный элемент;

ЕНЭ – емкостный нелинейный элемент.

РНЭ, ИНЭ, ЕНЭ – нелинейные накопители энергии.

Характеристиками этих элементов, получаемыми экспериментальными и задаваемыми графиками, таблицами или приближенными аналитическими выражениями являются:

• вольтамперная характеристика (ВАХ) РНЭ – u (i)

• вебер-амперная характеристика ИНЭ –  (i) – магнитная характеристика нелинейных индуктивных элементов

• кулон-вольтная характеристика ЕНЭ – q (u) электрическая характеристика емкостных нелинейных элементов.

Причиной нелинейности характеристик элементов является нелинейность параметров этих элементов – R, L, C.

Параметры этих нелинейных элементов (НЭ) – сопротивление, индуктивность, емкость – зависят от величин и направлений тока и напряжения этих элементов. Причиной этого является зависимость:

• удельной проводимости  (удельного сопротивления ) от режима цепи

или

• магнитной проницаемости среды , в которой замыкаются силовые линии магнитного поля от тока, возбудившего это поле (от напряженности поля)

---

• диэлектрической проницаемости вещества, заполняющего пространство между обкладками конденсатора, от напряжения между обкладками (от напряжения электрического поля)

Для оценки характера изменения НЭ вводят понятие статического и дифференциального сопротивлений.

Статическое сопротивление Rст характеризует поведение НРЭ при неизменном режиме. В рассматриваемой точке ВАХ численно равно тангенсу угла наклона между осью ординат (осью токов) и прямой, соединяющей начало координат и рассматриваемую точку ВАХ, умноженного на масштаб

Дифференцированное сопротивление Rдиф определяет крутизну ВАХ в рассматриваемой точке и характеризует поведение НРЭ при малых отклонениях от режима в рассматриваемой точке ВАХ. Rдиф численно равно тангенсу угла наклона между осью ординат и касательной к ВАХ в рассматриваемой точке, умноженного на масштаб.

1. При последовательном соединении нескольких НРЭ Rдиф результирующей характеристики при каком-то токе равно сумме Rдиф этих НРЭ при этом же токе (т.к. производная суммы равна сумме производных)

2. Если ВАХ НРЭ имеет падающий участок, то Rдиф на этом участке отрицательно.

Примеры нелинейных элементов и их характеристик

Неуправляемые

РНЭ – лампа накаливания (1) – с ростом температуры сопротивление растет, характеристика симметричная.

• (2) тиритовые сопротивления (из керамического материала – тирита) – тиритовые разрушаются от высокого напряжения;

• терферисторы – для компенсации изменения сопротивления приборов от температуры;

• (3) бареттер – стальная проволока в водороде (80мм рт ст) – для стабилизации тока;

• (4) диод (несимметричная характеристика), стабилитрон

Управляемые

• транзистор – характеризуется семейством характеристик;

• ИНЭ – дроссель – катушка индуктивности с обмоткой, намотанной на замкнутый сердечник из ферромагнитного материала;

• ЕНЭ – конденсатор, между обкладками которого сегнетодиэлектрик (впервые эти свойства обнаружены у сегнетовой соли).

Особенности анализа цепей с НЭ

1. Электрическое состояние цепей с НЭ описывается системой нелинейных алгебраических уравнений (для цепей постоянного тока) и нелинейных дифференциальных уравнений (для цепей изменяющегося тока), не имеющих общего, точно-аналитического решения.

2. К цепям с НЭ не применим принцип наложения (при наложении процессов режим в цепи изменяется, а, следовательно, меняются параметры цепи).

3. Для анализа НЦ используются частные методы решения нелинейных уравнений, которые делятся на графические и аналитические.

Графические методы основываются на графических построениях с использованием ВАХ НЭ, представленного в виде графика или таблицы, и простейших расчетах.

Аналитические методы основаны:

• на приближенной замене (аппроксимации) ВАХ НЭ в пределах рабочего участка аналитическим выражением с последующим аналитическим расчетом искомых величин; в частности, замена прямой линией – линеаризация;

• численные методы решения нелинейных уравнений (например, итерация);

• кусочно-линейной аппроксимации – замене ВАХ НЭ на ряд прямолинейных участков с «прикасовыванием» решений на границе участка.

---

Достоинства графических методов – простота, наглядность, легкость учета особенностей ВАХ (например, гистерезисных явлений).

Недостаток – дает частное решение задачи при определенных параметрах цепи.

Достоинства аналитических методов – возможность получения решения в общем виде, что позволяет исследовать полученное решение при изменении любого из параметров цепи.

Недостаток – аналитическая аппроксимация ВАХ связана с некоторой погрешностью, что дает в результате решение с известной степенью приближения.

Описанный подход к анализу нелинейных цепей в равной степени справедлив как для цепей постоянного, так и для цепей переменного тока.

---

Нелинейные электрические цепи постоянного тока

Очевидно, что в данном случае речь идет о цепях постоянного тока с нелинейными резистивными элементами (НРЭ).

При анализе режимов НЦ с НРЭ следует учесть:

1. Электрическое состояние НЭЦ постоянного тока описывается системой нелинейных алгебраических уравнений, не имеющих общего аналитического решения. Для анализа НЭЦ используются частные методы решения – графический и аналитический с аппроксимацией ВАХ НРЭ.

2. К НЦ неприменим принцип наложения, т.к. при наложении процессов режим в цепи изменяется, а, следовательно, меняются параметры цепи.

В цепях постоянного тока емкостный НЭ представляет собой обрыв цепи, а индуктивный НЭ – короткое замыкание, а поэтому речь идет только о резистивных нелинейных элементов.

Графический метод

Графический метод основан на графических построениях с использованием ВАХ НЭ, представленных в виде графика или таблицы, а также связанные с этими построениями расчетами с использованием законов Кирхгофа.

1. ВАХ двухполюсника

Важное место при этом занимает построение ВАХ пассивных и активных двухполюсников, содержащих линейные и нелинейные элементы.

ВАХ двухполюсника строят в соответствии с уравнениями, составленными по законам Кирхгофа, путем графического сложения ВАХ элементов, входящих в двухполюсник. Это графический аналог метода эквивалентных преобразований.

2. Схемы со смешанным соединением.

Зная ВАХ активных и пассивных двухполюсников любую цепь можно свести к одноконтурной схеме или схеме с двумя узлами.

Для этого записав уравнение на основании I закона Кирхгофа для схемы с двумя узлами и II закона Кирхгофа для одноконтурной цепи решить его графическим путем нахождения точки пересечения эквивалентных ВАХ, соответствующих левой и правой частям уравнения.

3. Сложноразветвленные

Метод эквивалентного генератора эффективен при разветвленной цепи любой сложности, содержащей один НРЭ. В этом случае линейную часть замещают эквивалентным генератором, а затем определяют режим в НЭ путем графического решения уравнения составленного по II закону Кирхгофу.

Метод активного четырехполюсника

Метод активного четырехполюсника эффективен при 2-х НРЭ. Тогда линейную часть представляем как Т-образную эквивалентную схему, а на входе и выходе э.д.с. с нелинейными элементами. Рассчитываем как цепь с двумя узлами путем графического решения уравнения, составленного по I закону Кирхгофа.

Алгоритм

1. Рассматривать схему как линейный активный четырехполюсник с подключениями к его зажимам НЭ.

2. Отключить НЭ и рассчитать напряжения хх на зажимах четырехполюсника одним из известных методов (МУН).

3. В теории цепей доказывается, что если две ветви одновременно ввести две э.д.с., равные и противоположно направленные напряжениям холостого хода на этих ветвях (E1 = U1x; E2 = U2x), то токи в этих ветвях найдутся из схемы, т.е. заданный активный четырехполюсник заменяется пассивным и двумя э.д.с., равных и противоположно направленными напряжениями хх на зажимах этого четырехполюсника.

---

4. Заменив пассивный четырехполюсник Т-образной схемой замещения, получаем нелинейную цепь с двумя узлами, решение которой можно осуществить:

   1. графическим методом;

   2. методом аналитической аппроксимации:

• составление уравнений, подстановка аппроксимирующей функции, решение трансцендентного или алгебраического уравнения;

• составление уравнений, решение численным (итерационным) методом.

Аналитический метод

1. Метод аналитической аппроксимации.

ВАХ НРЭ заменяют аналитической функцией, приближенно описывающей ВАХ (полином, тригонометрическое выражение и т.д.). Затем применяют один из известных методов расчета из теории линейных цепей. В результате получают алгебраические или трансцендентные уравнения, которые решают аналитически относительно искомой величины.

2. Методы линеаризации (в малом).

При малых отклонениях режима от исходного (от т.а.), небольшой участок ВАХ приближенно можно заменить отрезком прямой, касательной к характеристике в т.а. При этом ВАХ заменяется на ломаную, которую можно представить как э.д.с. и линейное сопротивление, равное дифференциальному.

3. Кусочно-линейная аппроксимация.

• Источник тока шунтирован диодом;

• напряжение на диоде U_д;

• диод открыт постоянно.

4. Численные методы (итерации).

Расчет ведется в табличной форме.

Задаемся Uab  U1(I1)= Uab-E1 I1(по ВАХ) 

U2(I2)= Uab-E2 I2(по ВАХ)  I

U3(I3)= Uab-E3 I3(по ВАХ) 

Задаваясь другими значениями Uab продолжают эту операцию до тех пор, пока I не изменит знак. Затем в большом масштабе строят участок I=ƒ(Uab) вблизи нуля. Искомое значение Uab соответствует I=0

Задача:

Свести к уравнениям с неизвестными токами через НЭ. Для этого:

1. 2-ое уравнение с участием нелинейных элементов (I11, I22);

2. 1-ое уравнение линейное (I33);

3. Выразить с помощью линейного уравнения через I33 I1= I11 и I2= I22 и подставить в уравнения.

Решение

1. Метод контурных токов. Контурные токи выбрать так, чтобы хотя бы часть из них являлась искомыми токами через нелинейные элементы.

2. По второму закону Кирхгофа.

3. Одно из уравнений (3) линейное и полученное из него выражение для I33 подставляется в равнения (1) и (2)

4. Итерация.

• Задаемся I1 и I2;

• определяем U₁ и U₂ по ВАХ НЭ₁ и НЭ₂;

• получаем первое приближение I₁¹ и I₂¹ из уравнений;

• определяем U₁¹ и U₂¹ по ВАХ НЭ₁ и НЭ₂;

• получаем второе приближение I₁² и I₂².

Окончание ;

---

Смотрите также файлы

• Т_10.docx

• Т_11.doc

• Т_12.doc

• Т_13.docx

• Т_14.doc