Файл: Особенности формирования и функционирования глобальной олигополии (ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ РЫНКА ОЛИГОПОЛИИ).pdf

откуда составим уравнения по правилу Крамера, решив которые найдем предположительные вариации:

Полученные значения (24) подставляем в условие оптимальности для агента-лидера (7):

В результате информационное равновесие в этом случае определится из решения системы (23), (25).

Рассмотрим третий ранг рефлексии (r = 3). В первом случае при r = 3 предположим, что первый агент думает, что конкуренты предполагают, что он считает их ведомыми. В результате возникает игра G1 (r = 3), в которой агенты окружения (2, 3) являются лидерами второго уровня L2 , а первый агент становится лидером третьего уровня L3 . Анализ и результаты данного случая аналогичны игре G3 (r = 2), где из составленных уравнений по правилу Крамера будут найдены предположительные вариации:

условие оптимальности для агента-лидера (7) будет иметь вид:

Во втором случае при r = 3 предположим, что первый агент считает, что второй и третий агенты предполагают, что он представляет их поведение как F и L соответственно. В результате возникает игра G2 (r = 3), в которой агенты окружения (2, 3) являются лидерами L2 и L3 соответственно, а первый агент в этом случае становится лидером третьего уровня L3 для второго агента и лидером четвертого уровня (обозначим как L4) для третьего агента. Система уравнений Крамера для второго и третьего агентов будет иметь вид:

решив которую находим предположительные вариации:

Полученные значения (30) подставляем в условие оптимальности для агента-лидера (7):

Таким образом, информационное равновесие будет определяться из решения системы (28), (31).

В третьем случае при r = 3 сделаем предположение, что первый агент думает, что его контрагенты представляют, что он считает их лидерами. В результате возникает игра G3 (r = 3), в которой агенты окружения (2, 3) являются лидерами третьего уровня L3 , а первый агент становится лидером четвертого уровня. Система уравнений Крамера для второго и третьего агентов примет вид:

решив которую находим предположительные вариации:

---

Полученные значения (34) подставляем в условие оптимальности для агента-лидера (7):

Следовательно, информационное равновесие для данного случая определится из решения системы (32), (35).

Проведя аналогичные рассуждения для рангов рефлексии r > 3, заметим общие закономерности выражений предположительных вариаций в каждом из рассмотренных случаев t = 1, 2, 3. Обобщив полученные выражения для произвольного ранга, по индукции составим формулы предположительных вариаций в общем виде:

Подставив полученные формулы предположительных вариаций для каждой игры Gt (r) в условия равновесия (5), получим систему уравнений для случаев t = 1, 2, 3 в следующем общем виде:

Где определяется согласно данным нижеприведенной таблицы для каждого i-го уравнения этой системы в t-м случае.

Таблица 1

Значения параметра

i	T
	1	2	3
1
2
3

Общее решение системы (38) имеет вид:

где главный определитель системы вычисляется по формуле:

Рассмотрим моделирование информационных равновесий телекоммуникационного рынка России, для которого были взяты усредненные значения параметров функции спроса и функций издержек, для таких операторов, как ОАО «МегаФон», ОАО «МТС» и ОАО «ВымпелКом».

На рис. 3–5 отображены значения трафиков агентов телекоммуникационного рынка для случаев t = 1, 2, 3 в зависимости от ранга рефлексии, рассчитанные как решения системы (36) с коэффициентами, приведенными в таблице с учетом предположительных вариаций, определенных по формулам (36). При этом в соответствии с установленным выше (рис. 1, 2) позиционированием агентов здесь и далее считалось, что первый агент – лидер высшего уровня, второй – низшего уровня (ведомый при r = 1), третий – лидер промежуточного уровня (между первым и вторым агентами).

---

Рис. 3. Зависимость трафиков агентов рынка от ранга рефлексии при t = 1 и фактические значения трафика (2017 г.)*

Рис. 4. Зависимость трафиков агентов рынка от ранга рефлексии при t = 2 и фактические значения трафика (2017 г.)*

Рис. 5. Зависимость трафиков агентов рынка от ранга рефлексии при t = 3 и фактические значения трафика (2017 г.)*

На рис. 6 показана зависимость равновесной цены рынка от ранга рефлексии при различных значениях t, рассчитанная по функции спроса (2) с коэффициентами (40) исходя из определенного выше (рис. 3) суммарного объема рынка.

Рис. 6. Зависимость равновесной цены рынка от ранга рефлексии при различных значениях t*

На рис. 7–9 представлены значения прибыли агентов в зависимости от ранга рефлексии при различных значениях t, рассчитанные по формуле (1) с учетом функций издержек агентов (3) с коэффициентами (40).

Рис. 7. Зависимость прибыли агентов от ранга рефлексии при t = 1*

Рис. 8. Зависимость прибыли агентов от ранга рефлексии при t = 2*

Рис. 9. Зависимость прибыли агентов от ранга рефлексии при t = 3*

Анализ зависимости выпусков агентов и совокупного объема рынка от ранга рефлексии (рис. 3-5) показывает, что с увеличением ранга рефлексии объемы выпуска агентов стабилизируются, асимптотически приближаясь к некоторым равновесным значениям [28]. На рис. 3 показана зависимость выпусков агентов от ранга рефлексии при t = 1, когда агент 1 выдвигает симметричное представление об агентах 2, 3 как о ведомых; в этом случае доминирующее положение лидера на рынке сохраняется независимо от ранга рефлексии. Случай несимметричного представления агента об окружении (рис. 4) приводит к тому, что представляющий агент теряет лидирующее положение на рынке, а все более преобладающую долю рынка с ростом ранга рефлексии получает тот из окружения, которого представляющий агент считает лидером. Случай симметричного представления агента об окружении как о лидерах (рис. 5) приводит к тому, что доминирующее положение лидера на рынке усиливается с увеличением ранга рефлексии.

---

Анализ изменения цены в зависимости от ранга рефлексии (рис. 6) при различных значениях t показывает, что модель равновесной цены имеет тенденцию к снижению с увеличением ранга рефлексии только при t = 1, что говорит о росте объема рынка олигополии. В случае t = 2 рыночное равновесие неустойчиво начиная с третьего ранга рефлексии, поскольку цена становится отрицательной вследствие резкого прогнозируемого увеличения объема рынка. В случае t = 3 равновесие неустойчиво уже на втором ранге рефлексии, так как цена резко возрастает ввиду того, что объем рынка принимает экономически невозможное отрицательное значение.

Анализ изменения значений прибыли агентов в зависимости от ранга рефлексии (рис. 7-9) показывает, что с увеличением ранга значения прибыли агентов асимптотически приближаются к некоторому одинаковому для всех агентов уровню только в случае t = 1. На рис. 7 показана зависимость прибыли агентов от ранга рефлексии при t = 1, когда агент 1 выдвигает симметричное представление о своих контрагентах 2, 3 как о ведомых; в данном случае положение лидера на рынке с увеличением ранга рефлексии асимптотически приближается к модели прибыли его контрагентов и становится отрицательным с третьего ранга рефлексии, а окружение лидера имеет отрицательную прибыль уже на втором ранге. Случай несимметричного представления агента об окружении (рис. 8) приводит к тому, что представляющий агент теряет лидирующее положение на рынке на втором ранге рефлексии, а все более преобладающую долю рынка с ростом ранга рефлексии получает тот из окружения, которого представляющий агент считает лидером. Случай симметричного представления агента об окружении как о лидерах приводит к тому, что прибыль агентов на рис. 9 снижается с увеличением ранга, причем представляющий агент на первых двух рангах получает меньшие суммы прибыли, чем окружение; начиная с третьего ранга прибыль всех агентов имеет отрицательное значение.

Таким образом, показано, что существуют асимптотические информационные равновесия при увеличении ранга рефлексии, поэтому бесконечное увеличение ранга рефлексии является нецелесообразным. Однако рефлексия первого ранга может быть эффективна для представляющего агента в случаях t = 1, 2.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследование выявило, что рефлексивное поведение агентов рынка олигополии (случай r > 0) приводит к существенному смещению рыночного равновесия по сравнению с нерефлексивным поведением (случай r = 0 на рис. 3-5). Расчеты показали, что реальный телекоммуникационный рынок РФ в 2017 г. качественно, т. е. по соотношению рыночных долей, близок к равновесию при рефлексивном поведении первого ранга (r = 1) для случая, когда лидер рынка (ОАО «МТС») представляет своих контрагентов (ОАО «Мегафон» и ОАО «Вымпелком») ведомыми агентами (t = 1). Осведомленность любого из этих агентов (ОАО «Мегафон» или ОАО «Вымпелком») о своем статусе, т. е. знание о том, что ОАО «МТС» считает их ведомыми, позволило бы им пересмотреть свои реакции и реагировать как лидеры второго уровня. Такое реагирование каждого из них в отдельности соответствовало бы рефлексии второго ранга (r = 2) и привело бы к следующему равновесию (t = 1): рыночная доля лидера второго уровня, например ОАО «Мегафон» (или ОАО «Вымпелком»), стала бы в результате значительно выше, чем объемы рынка, занимаемые другими агентами. Таким образом, практическое значение выявления ранга рефлексии по фактической структуре рынка олигополии заключается в возможности принципиального изменения стратегии для какого-либо из ведомых агентов, что приведет к перераспределению рынка в его пользу и значительно повысит получаемую им в итоге полезность.

---

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Блинова Т. В., Митрофанов А. Ю., Русановский А. В. Прогнозирование развития сектора услуг в структуре российской экономики // Вестник Томского государственного университета. 2008. № 9 (65). С. 336-344.
2. Mas-Collel A., Whinston M., Green J. Microeconomic Theory. N. Y: Oxford Univ. Press, 1995. 618 p.
3. Гераськин М. И. Проблемы определения рефлексивных равновесий на рынке олигополии // Вестник Самарского государственного экономического университета. 2017. № 1 (147). С. 17-25.
4. Nash J. Non-cooperative Games // Annals of Mathematics. 1951. Vol. 54. Pp. 286-295.
5. Naimzada A. K., Sbragia L. Oligopoly games with nonlinear demand and cost functions: Two boundedly rational adjustment processes // Chaos, Solitons and Fractals. 2006. Vol. 29 (3). Pp. 707-722.
6. Новиков Д. А. Стратегическая рефлексия в биматричных играх // Региональная экономика в информационном измерении: модели, оценки, прогнозы. Сборник научных трудов / под ред. Е. Ю. Иванова, Р. М. Нижегородцева. М.: Бизнес-Юнитек, 2003. С. 296-307.
7. Новиков Д. А., Чхартишвили А. Г. Рефлексивные игры. М.: СИНТЕГ, 2003. 160 с.
8. Cournot A. A. Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth. London: Hafner, 1960 (Original 1838).
9. Vasin A. Game-theoretic study of electricity market mechanisms // Procedia Computer Science. 2014. Vol. 31. Pp. 124-132.
10. Colacicco R. Ten years of general oligopolistic equilibrium: A survey // Journal of Economic Surveys. 2017. Vol. 29 (5). Pp. 965-992.
11. Ino H., Matsumura T. Welfare-Improving Effect of a Small Number of Followers in a Stackelberg Model // B. E. Journal of Theoretical Economics. 2016. Vol. 16 (1). Pp. 243-265.
12. Sherali H. D. Multiple leader Stackelberg model and analysis // Operations Research. 1984. Vol. 32 (2). Pp. 390-404.
13. Гераськин М. И., Чхартишвили А. Г. Теоретико-игровые модели рынка олигополии с нелинейными функциями издержек агентов // Автоматика и телемеханика. 2017. № 9. C. 106-130.
14. Karmarkar U. S., Rajaram K. Aggregate production planning for process industries under oligopolistic competition // European Journal of Operational Research. 2012. Vol. 223 (3). Pp. 680-689.
15. Ledvina A., Sigar R. Oligopoly games under asymmetric costs and an application to energy production // Mathematics and Financial Economics. 2012. Vol. 6(4). Pp. 261-293.
16. Currarini S., Marini M. A. Sequential play and cartel stability in ^urnot oligopoly // Applied Mathematical Sciences. 2013. Vol. 7 (1-4). Pp. 197-200.
17. Askar S., Alnowibet K. Nonlinear oligopolistic game with isoelastic demand function: Rationality and local monopolistic approximation // Chaos, Solitons and Fractals. 2016. Vol. 84. Pp. 15-22.
18. Naimzada A., Tramontana F. Two different routes to complex dynamics in an heterogeneous triopoly game // Journal of Difference Equations and Applications. 2017. Vol. 21 (7). Pp. 553-563.
19. Cavalli F., Naimzada A., Tramontana F. Nonlinear dynamics and global analysis of a heterogeneous Cournot duopoly with a local monopolistic approach versus a gradient rule with endogenous reactivity // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2017. Vol. 23 (1-3). Pp. 245-262.
20. Geraskin M. I., Chkhartishvili A. G. Structural modeling of oligopoly market under the nonlinear functions of demand and agents’ costs // Automation and Remote Control. 2017. Vol. 78, Is. 2. Pp. 332-348.
21. Novikov D. A., Chkhartishvili A. G. Mathematical Models of Informational and Strategic Reflexion: a Survey // Advances in Systems Science and Applications. 2014. Vol. 3. Pp. 254-277.
22. Geraskin M. I., Chkhartishvili A. G. Structural modeling of oligopoly market under the nonlinear functions of demand and agents’ costs // Automation and Remote Control. 2017. Vol. 78 (2). Pp. 332-348.
23. Chkhartishvili A. G., Korepanov V O. Adding Informational Beliefs to the Players Strategic Thinking Model // IFAC- PapersOnLine. 2016. Vol. 49 (32). Pp. 19-23.
24. Liu Y., Gao L., Guan J. Marketing strategy of price competition and product differentiation in duopoly enterprises with asymmetric information // International Conference on Services Systems and Services Management, Proceedings of ICSSSM'05. 2005. Vol. 1. (1499557). Pp. 665-668.
25. Gilpatric S. M., Li Y Information value under demand uncertainty and endogenous market leadership // Economic Inquiry. 2017. Vol. 53 (1). Pp. 589-603.
26. Geraskin M. Game-theoretic analysis of Stackelberg oligopoly with arbitrary rank reflexive behavior of agents // Kybernetes, 2017. Vol. 46. Is. 6. DOI: 10.1108/K-12-2016-0351
27. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973. 832 с.

---