ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.07.2020
Просмотров: 947
Скачиваний: 6
Результаты измерений распологают в порядке возрастания:
9,42; 9,92; 10,11; 10,13; 10,24; 10,30; 10,49; 10,49; 10,50; 10,53; 10,63; 10,64; 10,68; 10,73; 10,77; 10,88; 11,05; 11,05; 11,05; 11,17; 11,17; 11,17; 11,19; 11,20; 11,23; 11,26; 11,27; 11,30; 11,32; 11,34; 11,37; 11,38; 11,45; 11,50; 11,51; 11,51; 11,55; 11,58; 11,60; 11,61; 11,65; 11,69; 11,71; 11,73; 11,74; 11,76; 11,76; 11,76; 11,80; 11,81; 11,82; 11,84; 11,85; 11,94; 11,95; 11,97; 12,00; 12,01; 12,07; 12,07; 12,10; 12,12; 12,13; 12,14; 12,15; 12,22; 12,23; 12,23; 12,25; 12,26; 12,28; 12,39; 12,40; 12,42; 12,45; 12,56; 12,58; 12,62; 12,64; 12,68; 12,72; 12,76; 12,78; 12,80; 12,83; 12,86; 12,93; 12,95; 13,00; 13,13; 13,16; 13,17; 13,25; 13,26; 13,37; 13,41; 13,42; 13,62; 13,87.
Полученный ряд разбивают на несколько равных (обычно нечетное число) интервалов. Количество интервалов k определяют по одной из формул (формулы Стерджеса):
(4.1)
,
(4.2)
где k – число интервалов;
N – число экспериментальных данных в выборке.
;
.
Число интервалов принимают k = 9.
Определяют величину интервала h:
(4.3)
где
–
наибольший результат измерения (верхний
предел);
– наименьший
результат измерения (нижний предел).
Определяют
среднее арифметическое значение выборки
:
.
(4.4)
.
Результаты расчета экспериментальных данных приведены в таблице 4.2.
Таблица 4.2 – Результаты расчетов экспериментальных данных
|
Границы интервала |
mi |
yiср |
yiср . mi |
yiср
–
|
(yiср
–
|
(yiср
–
|
|
|
9,42 |
9,91 |
1 |
9,67 |
9,67 |
-2,16 |
4,6687 |
4,6687 |
|
9,92 |
10,41 |
5 |
10,17 |
50,83 |
-1,66 |
2,7599 |
13,7993 |
|
10,42 |
10,90 |
10 |
10,66 |
106,61 |
-1,17 |
1,3615 |
13,6151 |
|
10,91 |
11,40 |
16 |
11,16 |
178,49 |
-0,67 |
0,4521 |
7,2338 |
|
11,41 |
11,89 |
21 |
11,65 |
244,65 |
-0,18 |
0,0317 |
0,6650 |
|
11,90 |
12,39 |
20 |
12,14 |
242,89 |
0,32 |
0,1002 |
2,0034 |
|
12,40 |
12,88 |
14 |
12,64 |
176,94 |
0,81 |
0,6576 |
9,2067 |
|
12,89 |
13,38 |
9 |
13,13 |
118,20 |
1,31 |
1,7040 |
15,3362 |
|
13,39 |
13,87 |
4 |
13,63 |
54,51 |
1,80 |
3,2394 |
12,9575 |
|
|
|
100 |
|
1182,80 |
|
|
79,4858 |
где
–
количество наблюдений в интервале;
– среднее
значение в интервале;
– среднее
арифметическое значение выборки.
Далее определяют среднеквадратичное отклонение S:
,
(4.5)
.
Определяют коэффициент вариации V:
.
(4.6)
Так как, коэффициент вариации менее 33%, то можно выполнять проверку нормальности распределения результатов экспериментальных данных.
Определяют
ошибку среднего квадратического
отклонения 
(4.7)
.
Определяют показатель точности среднего значения :
(4.8)
.
Так
как
<
1%
, то в данном примере поставленный опыт
выполнен с высокой точностью.
Анализ экспериментальных данных показывает, что некоторые результаты существенно отличаются от большинства измерений, т.е. можно предположить наличие грубых погрешностей.
Исключение
грубых погрешностей выполняют с
использованием критерия Стьюдента
(приложение А). Сомнительный результат
удаляют из выборки и по оставшимся
элементам выборки по формулам (4.4 и 4.5)
рассчитывают
и
S.
Затем определяют расчетное значение t
–
критерия
,
(4.9)
где
–
подозреваемый на грубую ошибку результат
измерения.
Полученную
расчетом величину сравнивают со значением
критерия Стьюдента при данном значении
числа замеров N,
принятом уровне значимости р
= 0,05
и числе степеней свободы
.
Если
,
то с вероятностью P
= 95%
можно считать результат
ошибкой и исключить его из последующей
обработки результатов исследования.
;
;
.
Исключаем
данные значения, т.к.
и
,
расчеты повторяем до тех пор (статистические
показатели рассчитывают заново, исключая
грубые погрешности), пока не будет
справедливы неравенства:
и
.
4.2 Определение доверительного интервала
При ограниченных объемах выборки важно представлять значение точности и надежности генеральных характеристик.
Доверительный
интервал – это интервал, в котором с
вероятностью Р
ошибка
лежит в границах
.
(4.10)
Oпределяют
истинное значение
,
которое находится в интервале:
.
По результатам статистической обработки данных строят гистограмму частот распределения. Гистограмма приведена на рисунке 4.1.
Рисунок 4.1 – Гистограмма частот распределения
Далее строят кривую нормального распределения для сравнения результатов эксперимента с теоретическим распределением.
Наибольшую
высоту (ординату), соответствующую
среднему значению
в точке
,
определяют по формуле
,
(4.11)
где h – величина интервала;
N – общее число наблюдений (объем выборки);
–
среднее
квадратическое отклонение.
.
Влево
и вправо от точки
ординаты нормальной кривой будут
симметрично уменьшаться. Их вычисляют
по формуле
,
(4.12)
где K – числовой коэффициент.
|
Доля S |
0 |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
2,5 |
3,0 |
|
K |
1 |
0,883 |
0,607 |
0,325 |
0,135 |
0,044 |
0,011 |
Каждая из ветвей симметрична кривой нормального распределения, должна строится не менее, чем по четырем точкам. Исходные данные для построения кривой нормального распределения представлены в таблице 4.3.
Таблица 4.3 - Данные для построения кривой нормального распределения
|
Доля S |
Пересчётный коэффициент, K |
У |
|
-3,0 |
0,011 |
0,24 |
|
-2,5 |
0,044 |
0,96 |
|
-2,0 |
0,135 |
2,95 |
|
-1,5 |
0,325 |
7,11 |
|
-1,0 |
0,607 |
13,27 |
|
-0,5 |
0,883 |
19,31 |
|
0,0 |
0 |
21,87 |
|
0,5 |
0,883 |
19,31 |
|
1,0 |
0,607 |
13,27 |
|
1,5 |
0,325 |
7,11 |
|
2,0 |
0,135 |
2,95 |
|
2,5 |
0,044 |
0,96 |
|
3,0 |
0,011 |
0,24 |
В
диапазоне
лежит 99,73 % всех данных;
В
диапазоне
– 95,45 %;
В
диапазоне
– 68,27 %.
Кривая нормального распределения приведена на рисунке 4.2.
Рисунок 4.2 – Кривая нормального распределения
4.3 Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов измерений
Большинство статистических оценок предполагает нормальное распределение результатов опытов и может быть несправедливо в случае другого распределения, поэтому применение этих оценок допустимо при достаточной уверенности, что распределение этих величин подчиняется нормальному закону или близко к нормальному.
Для проверки гипотезы о виде распределения, используют критерий согласия Пирсона (приложение Б). Сущность проверки по критерию согласия состоит в том, что выборка сравнивается с ранее намеченным теоретическим распределением. Вид теоретического распределения выбирают исходя из физического смысла наблюдаемого явления или по характеру кривой эмпирического распределения. С помощью данного критерия можно сравнивать эмпирическое и теоретическое распределения или два различных эмпирических распределения.
(4.13)
где k – количество интервалов, на которые разбиты опытные данные;
– теоретические
вероятности попадания опытных данных
в
i–
ый интервал;
– теоретические
частоты попадания опытных данных в
i–
ый интервал;
mi – эмпирические частоты попадания случайных величин в i– ый интервал.
,
(4.14)
где – Ф0(z) – нормализованная функция Лапласа (приложение В).
;
(4.15)
,
(4.16)
,
– нижняя и верхняя граница интервала.
Полученные данные заносят в таблицу 4.3. Необходимо учитывать, что для отрицательного числа функция Лапласа отрицательна.
При уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы (f = k – 3) находят табличное значение распределения Пирсона (приложение Б).
Расчетное значение распределения Пирсона получают суммированием значений 12 столбца таблицы 4.3. Суммарное число измерений во всех интервалах mi меньше 100, т.к. часть измерений исключены как грубые погрешности.
.
Если
,
то гипотезу о нормальности распределения
принимают, если
,
то гипотезу отвергают.
Таблица 4.3 – Результаты расчетов для проверки гипотезы о нормальности распределения значений результатов эксперимента
|
yiн |
yiв |
mi |
z1 |
z2 |
Ф0(z1) |
Ф0(z2) |
Pi |
PiN |
(mi-PiN)2 |
(mi-PiN)2/(PiN) |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
10,49 |
10,82 |
9 |
-1,91 |
-1,47 |
-0,4719 |
-0,4256 |
0,0463 |
4,2596 |
22,4714 |
5,2755 |
|
10,83 |
11,14 |
4 |
-1,46 |
-1,05 |
-0,4230 |
-0,3531 |
0,0699 |
6,4308 |
5,9088 |
0,9188 |
|
11,15 |
11,47 |
14 |
-1,03 |
-0,61 |
-0,3483 |
-0,2289 |
0,1194 |
10,9848 |
9,0914 |
0,8276 |
|
11,48 |
11,79 |
15 |
-0,59 |
-0,18 |
-0,2224 |
-0,0714 |
0,1510 |
13,8920 |
1,2277 |
0,0884 |
|
11,80 |
12,12 |
14 |
-0,17 |
0,26 |
-0,0675 |
0,1026 |
0,1701 |
15,6492 |
2,7199 |
0,1738 |
|
12,13 |
12,44 |
13 |
0,27 |
0,68 |
0,1064 |
0,2517 |
0,1453 |
13,3676 |
0,1351 |
0,0101 |
|
12,45 |
12,77 |
8 |
0,69 |
1,12 |
0,2599 |
0,3685 |
0,1086 |
9,9912 |
3,9649 |
0,3968 |
|
12,78 |
13,09 |
7 |
1,13 |
1,54 |
0,3664 |
0,4380 |
0,0716 |
6,5872 |
0,1704 |
0,0259 |
|
13,10 |
13,42 |
8 |
1,56 |
1,98 |
0,4344 |
0,4760 |
0,0416 |
3,8272 |
17,4123 |
4,5496 |
|
- |
- |
92 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
12,2665 |
.
В
данном случае
– значит, гипотезу о нормальности
распределения принимают.
5 РАСЧЕТЫ ПО ПЛАНИРОВАНИЮ ПОЛНОГО ФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
5.1 Расчет реализованного плана полного факторного эксперимента (ПФП)
Расчет (ПФП) заключается в определении коэффициентов уравнения регрессии, проверке значимости этих коэффициентов и установлении адекватности модели (полученного уравнения) (адекватность – соответствие принятой математической модели процесса экспериментальным данным). Уравнение адекватно описывает результаты опытов, если отличие квадратичных отклонений значений выходных параметров (рассчитанных по уравнению регрессии) от экспериментальных данных обусловлены только погрешностью воспроизводимости (то есть от точности воспроизведения результатов опыта при его повторении в одинаковых условиях).
Устанавливают (в соответствии с вариантом задания) переменные и постоянные факторы, оказывающие влияние на процесс пиления и определяют пределы их измерения или величину фиксированного значения.
Для данного примера переменные факторы:
– скорость резания ν = 40..80 м/с;
– толщина распиливаемого материала a = 25..100 мм.
Постоянные факторы:
– порода древесины – ель;
– диаметр пилы d = 400 мм;
– толщина пилы S = 2,2 мм;
– уширение на сторону S0 = 0,6 мм;
– подача на зуб Sz = 0,35 мм;
– число зубьев пилы Z = 48 шт.;
– длительность работы пилы без переточки tраб = 2 часа;
– влажность древесины W = 50 %.
Для оценки воспризводимости опытов составляют таблицу 5.1.
Таблица 5.1 – Значения опытных данных
|
Номер серии опытов |
Переменные факторы |
Выходная величина |
Построчная дисперсия |
||||||
|
v |
a |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
y5 |
|
Sj2 |
|
|
1 |
–1 |
–1 |
5,2 |
5,6 |
5,8 |
5,8 |
5,3 |
5,54 |
0,312 |
|
2 |
+1 |
–1 |
14,8 |
14,8 |
16,0 |
15,5 |
15,7 |
15,36 |
1,172 |
|
3 |
–1 |
+1 |
11,8 |
10,7 |
11,3 |
11,1 |
11,4 |
11,26 |
0,652 |
|
4 |
+1 |
+1 |
29,3 |
30,2 |
30,8 |
30,5 |
30,8 |
30,32 |
1,548 |
|
|
|
|
|
|
|
|
SЕ = |
Σ Sj2 = |
3,384 |
Определяют
среднее арифметическое значение
для
каждой серии повторных опытов
,
(5.1)
где n – число повторных опытов (n = 5).
Построчные дисперсии серии опытов рассчитывают
,
(5.2)
где
– значение выходной величины в i
–
ом дублированном опыте j
–
ой серии;
– среднее
арифметическое повторных опытов.
S12 = (5,2 – 5,54)2 + (5,6 – 5,54)2 + (5,8 – 5,54)2 + (5,8 – 5,54)2 +
+ (5,3 – 5,54)2 = 0,312.
Аналогично рассчитывают остальные значения, а результаты заносят в таблицу 5.1.
Следующим этапом оценивают воспроизводимость экспериментальных данных
(5.3)
где S2jmax – максимальное значение дисперсии серий опытов (из таблицы 5.1);
N – число серий опытов.
.
Если
<
,
то опыты воспроизводимы (статистически
однородны), если
– необходимо принять при проведении
исследования более точные методы и
средства измерения.
Табличное значение критерия Кохрана (приложение Д) для данного примера при числе степеней свободы f = n – 1= = 5 – 1 = 4 и количестве серий опытов N = 4:
.
Так как значение критерия, рассчитанное по опытным данным, не превышает критерия Кохрана, взятого из таблицы, то можно сделать вывод о достаточно хорошей воспроизводимости опытов.
Если бы при расчетах оказалось, что Gрасч > Gтабл, то опыты с максимальной дисперсией следовало бы исключить из рассмотрения, а в условиях реальных экспериментов их необходимо было бы повторить для уточнения причины отклонений.
5.2 Расчет коэффициентов уравнения регрессии
Поскольку установлено, что опыты в точках плана воспроизводимы (ряд построчных дисперсий однороден), рассчитывают коэффициенты уравнения регрессии.
Математическая модель процесса пиления соответствует уравнению регрессии вида:
(5.4)
Для нахождения коэффициентов уравнения регрессии заполняют таблицу 5.2 с учетом таблицы 5.1.
Таблица 5.2 – Исходные данные для расчета коэффициентов уравнения регрессии
|
Номер серии опытов |
|
|
|
|
|
1 |
-5,54 |
-5,54 |
5,54 |
5,54 |
|
2 |
15,36 |
-15,36 |
-15,36 |
15,36 |
|
3 |
-11,26 |
11,26 |
-11,26 |
11,26 |
|
4 |
30,32 |
30,32 |
30,32 |
30,32 |
|
Σ |
28,88 |
20,68 |
9,24 |
62,48 |
Рассчитывают коэффициенты регрессии
,
(5.5)
(5.6)
(5.7)
.
(5.8)
,
,
,
.
5.3 Определение значимости коэффициентов регрессии
Уравнение регрессии с рассчитанными коэффициентами имеет вид:
.
Дисперсию воспроизводимости рассчитывают по формуле
,
(5.9)
.
Значимость коэффициентов дисперсии определяют по формуле
(5.10)
где N – число серий опытов;
– дисперсия
воспроизводимости опытов.
.
В планах ПФП дисперсии коэффициентов при линейных членах и членах, характеризующих взаимодействие различных порядков, равны, что упрощает оценку значимости коэффициентов. Коэффициенты считают значимыми, если выполняется условие:
,
–
коэффициент
Стьюдента,
при p = 0,05 и при f = N (n – 1) = 4· (5 – 1) = 16;
,
тогда
.
Все коэффициенты в уравнении регрессии значимы, так как превышают по абсолютной величине значение 0,59, и остаются для проверки адекватности модели.
Таким образом, уравнение регрессии с учетом значимых коэффициентов:
.
5.4 Проверка уравнения на адекватность
Проверку на адекватность проводят по критерию Фишера, расчетное значение которого находят:
.
(5.11)
Таблица 5.2 – Проверка на адекватность при помощи критерия Фишера
|
Номер серии опытов |
b0 |
b1x1 |
b2x2 |
b1,2x1x2 |
|
|
|
|
1 |
15,62 |
-7,22 |
-5,17 |
2,31 |
5,54 |
5,54 |
0 |
|
2 |
15,62 |
7,22 |
-5,17 |
-2,31 |
15,36 |
15,36 |
0 |
|
3 |
15,62 |
-7,22 |
5,17 |
-2,31 |
11,26 |
11,26 |
0 |
|
4 |
15,62 |
7,22 |
5,17 |
2,31 |
30,32 |
30,32 |
0 |
|
Σ |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
0 |
