ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ

При решении некоторых простейших задач о движении жидкостей часто в первом приближении делают допущение о том, что движущаяся жидкость является идеальной. Главное, чем отличается жидкость идеальная от жидкости реальной, - это отсутствие у нее вязкости, вызывающей способность сопротивления сдвигу, т.е. возникновению касательных напряжений (трения в жидкости). Следовательно, в движущейся идеальной жидкости возможен лишь один вид напряжений - напряжение сжатия, т.е. давление р, а касательное напряжение τ = 0.

Основные уравнения, позволяющие решать простейшие задачи о движении идеальной жидкости: уравнение расхода; уравнение Бернулли.

Уравнение расхода – условие неразрывности (оплошности) потока несжимаемой жидкости – в большинстве случаев записывается в виде равенства объемных расходов в каких-то двух поперечных сечениях одного и того же потока, например, 1 и 2, т.е Q₁=Q₂ или V₁S₁= V₂S₂. Отсюда следует, что

,

(13)

т.е. скорости обратно пропорциональны площадям поперечных сечений потоков. Предполагается, что скорость во всех точках данного сечения одинакова.

Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости выражает собой закон сохранения энергии жидкости вдоль потока и записывается в виде равенства удельных энергий в двух сечениях. Под удельной понимают энергию, отнесенную к единице веса, объема или массы жидкости. Обычно удобнее бывает относить энергию к единице веса. В этом случае уравнение Бернулли, записанное для сечений 1 и 2 элементарной струйки или потока идеальной жидкости, имеет вид

,

(14)

где z - вертикальная координата центров тяжести сечений или удельная энергия положения;

p/(ρg) - пьезометрическая высота, или удельная энергия давления;

V²/(2g) - скоростная высота (напор), или удельная кинетическая энергия;

Н - полный напор, или полная удельная энергия жидкости в сечении.

Если энергию жидкости отнести к единице ее объема, то члены уравнения Бернулли будут иметь размерность давления, а само уравнение (14) примет вид, которым также часто пользуются:

.

Если же энергию жидкости отнести к единице массы, можно получить 3-ю формулу записи уравнения (14):

.

Для потока реальной (вязкой) жидкости уравнение Бернулли следует писать в таком виде:

,

(15)

где V_ср - средняя по сечению скорость, равная V_ср = Q/S;

α - коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скоростей по сечениям;

Σh - суммарная потеря полного напора между сечениями 1 и 2, обусловленная вязкостью жидкости.

Различают два вида гидравлических потерь напора: местные потери; потери на трение по длине.

Местные потери напора происходят в так называемых местных гидравлических сопротивлениях, т.е. в местах изменения формы и размеров русла, где поток так или иначе деформируется - расширяется, сужается, искривляется - или имеет место более сложная деформация. Местные потери определяются по формуле Вейсбаха

---

,

(16)

где V - средняя скорость потока в сечении перед местным сопротивлением (при расширении) или за ним (при сужении) и в тех случаях, когда рассматривают потери напора в гидроарматуре различного назначения;

ξ_м - безразмерный коэффициент местного сопротивления.

Числовое значение коэффициента ξ, в основном определяется формой местного сопротивления и его геометрическими параметрами. Иногда на него также влияет число Рейнольдса, которое для труб диаметром d выражается формулой

.

(17)

где v - кинематическая вязкость жидкости.

(2.8)

Для некруглых труб

.

(18)

где D_Г - гидравлический диаметр, равный отношению площади сечения трубы к 1/4 периметра сечения.

Число Рейнольдса определяет режим течения жидкостей (и газов) в трубах.

При Re < Re_кp, где Re_кр ≈ 2320, режим течения ламинарный, т.е. слоистый - без перемешивания жидкости и без пульсаций скоростей и давлений.

При Re > Re_кp режим течения турбулентный, т.е. с перемешиванием жидкости и с пульсациями скоростей и давлений.

Можно считать, что при турбулентном режиме коэффициенты местных сопротивлений ξ от числа Рейнольдса не зависят, следовательно, как видно из формулы (16), потеря напора пропорциональна квадрату скорости (квадратичный режим сопротивления). При ламинарном режиме считают, что

,

(19)

где А - число, определяемое формой местного сопротивления;

ξ_кр - коэффициент местного сопротивления на режиме квадратичного сопротивления, т.е. при Re → ∞.

При турбулентном режиме в случае внезапного расширения трубы происходят вихреобразования и потеря напора определяется формулой Борда

,

(20)

где V₁ и V₂ - средние скорости в сечениях до и после расширения трубы соответственно;

ξ_расш - коэффициент сопротивления, равный для данного случая

,

(21)

где S₁ и S₂ - площади сечений трубы до и после внезапного расширения соответственно.

При внезапном сужении трубы без закругления коэффициент: сопротивления определяют по формуле Идельчика:

,

(22)

где S₁ и S₂ - площади сечений трубы до и после сужения соответственно.

Коэффициенты сопротивлений для постепенно расширявшихся (конических) труб (диффузоров), плавно сужающихся труб (конфузоров), поворотов и других, более сложных местных гидравлических сопротивлений (кранов, фильтров и т п.) - находят из справочной литературе.

Потери напора на трение по длине l определяются общей формулой Дарси

,

(23)

где λ - безразмерный коэффициент сопротивления трения, определяется в зависимости от режима течения:

при ламинарном режиме λ_л определяется числом Рейнольдса, т.е.

;

(24)

при турбулентном режиме λ_т, помимо числа Рейнольдса, зависит еще от относительной шероховатости Δ/d, т.е.

.

Указания к решению задач

Часть задач данного раздела рассчитана на применение уравнения Бернулли для струйки идеальной жидкости (14), т.е. без учета гидравлических потерь (потерь напора) и неравномерности распределения скоростей (коэффициента Кориолиса). Другая часть задач решается с помощью уравнения Бернулли для потока реальной жидкости (15) в общем случае с учетом указанных выше обстоятельств.

---

Однако коэффициент Кориолиса следует учитывать лишь при ламинарном режиме течения, когда = 2. Для турбулентных потоков можно принимать = 1.

При применении уравнения Бернулли важно правильно выбрать те два сечения, для которых оно записывается. В качестве сечений рекомендуется брать:

1. свободную поверхность жидкости в резервуаре (баке), где V=0;

2. выход в атмосферу, где р_изб = 0; р_абс = р_а;

3. сечение, где присоединен тот или иной манометр, пьезометр или вакуумметр;

4. неподвижный воздух вдалеке от входа в трубу, в которую происходит всасывание из атмосферы.

Уравнение Бернулли рекомендуется вначале записать в общем виде, а затем переписать с заменой его членов заданными буквенными величинами и исключить члены, равные нулю. При этом необходимо помнить:

• уравнение Бернулли записывается по потоку жидкости (по течению);

• вертикальная ордината z всегда отсчитывается от произвольной горизонтальной плоскости вверх;

• давление р, входящее в правую и левую части уравнения, должно быть задано в одной системе отсчета (абсолютной или избыточной);

• суммарная потеря напора Σh всегда пишется в правой части уравнения Бернулли со знаком «+»;

• величина Σh в общем случае складывается из местных потерь, которые можно выражать формулой Вейсбаха (16), и потерь на трение по длине, определяемых формулой Дарси (23).

В случае, когда жидкость подводится к резервуару, баку и т.п., можно считать, что теряется вся кинетическая энергия жидкости. В случае ламинарного режима при этом необходимо учесть коэффициент α. При выражении и подсчете гидравлических потерь по формуле Вейсбаха следует обращать внимание на указания относительно того, к какой скорости (или какой площади) отнесены заданные коэффициенты сопротивления

Значения коэффициентов для гидроагрегатов в задачах приведены с учетом потерь напора на вход и выход.

Примеры решения задач

П ример 1. Жидкость вытекает из открытого резервуара через трубку Вентури, используемую в качестве расходомера, и далее движется по основной трубе. Трубка - расходомер представляет собой плавное сужение до диаметра d₁, а затем постепенное расширение до диаметра основной трубы d₂. Истечение происходит под действием напора Н. Пренебрегая потерями энергии, определить расход жидкости и показания манометра р₁, установленного в узком сечении трубы. При решении считать заданными: высоту Н, показание второго манометра р₂, диаметр основной трубы d₂ и плотность жидкости ρ. Режим течения принять турбулентным. Найти зависимость расхода от показаний манометров р₁ и р₂ при известном диаметре основной трубы d₂ и соотношении диаметров d₂/d₁.

Решение

Так как манометры измеряют избыточные давления, то решение этой задачи целесообразно проводить с использованием избыточных давлений.

Перед записью уравнения Бернулли, в соответствии с указаниями к решению задач для главы 2, выбираем два сечения. В качестве начального сечения принимаем открытую поверхность жидкости в баке и обозначаем его 0-0. В пределах этого сечения скорость жидкости мала, т.е. V ~ 0, а р = р_а = 0. Второе (конечное) сечение выбираем в месте установки второго манометра и обозначаем его 2-2. В пределах этого сечения V = V₂, p = p₂.

---

В качестве произвольной горизонтальной плоскости для отсчета нивелирных высот z, выбираем плоскость, проходящую по оси трубы. При этом центр тяжести сечения 2-2 находится в этой плоскости (z₂ = 0), а расстояние между плоскостью сравнения и центром тяжести сечения 1-1 равно Н.

По условию задачи режим течения жидкости в трубе следует считать турбулентным, т.е. α_т = 1, а потерями энергии на движение жидкости - пренебречь.

Тогда уравнение Бернулли (15) для сечений 0-0 и 2-2 имеет вид:

.

Решая это уравнение, определим среднюю скорость жидкости V₂ в сечении 2-2

,

(25)

а затем расход жидкости

,

(26)

Подставив в формулу (26) следующие заданные значения величин: Н= 2,5 м; р₂ = 20 кПа; ρ = 1000 кг/м³ и d₂ = 20 мм, получим величину расхода Q ≈ 0,95 л/с.

Для определения показание манометра, установленного в узком сечении р₁, необходимо еще раз записать уравнение Бернулли. При его записи в качестве одного из сечений должно быть использовано сечение потока в этом узком месте (на рисунке сечение 1-1), а в качестве другого - либо сечение 0-0, либо сечение 2-2. Плоскость сравнения в данном случае целесообразно использовать ту же, что и ранее (по оси трубы).

В рассматриваемом примере запишем уравнение Бернулли (15) для сечений 1-1 и 2-2. Учитывая, что центры тяжести выбранных сечений лежат на оси трубы (z₁ = z₂ = 0), уравнение примет вид

,

(27)

где V₁ - средняя скорость жидкости в сечении 1-1.

Так как в последнее уравнение входят две разные скорости V₁ и V₂, то в соответствии с зависимостью (13) и при d₂/d₁ = , определим скорость в сечении 1-1 по формуле

.

(28)

Подставив соотношение между средними скоростями жидкости (28) в уравнение Бернулли (27), а также используя формулу для скорости V₂ (25), после алгебраических преобразований получим:

.

(29)

Вычислим численное значение давления при ранее принятых значениях физических величин

.

Далее получим зависимость расхода от показаний манометров. Для этого воспользуемся формулами (26) и (29). Из (29) выразим

.

и подставим в (26). Тогда после алгебраических преобразований окончательно получим зависимость расхода от перепада давлений

.

Таким образом, зависимость расхода от перепада давлений определена.

Пример 2. Вода вытекает из напорного бака с избыточным давлением р₀, затем движется по трубе диаметром d₁ и выбрасывается в атмосферу через фонтанирующий насадок вертикально вверх. Считая течение турбулентным, определить скорость на выходе из насадка V₂, если известны: избыточное давление р_о, высота расположения насадка Н и уровня в баке Н₀ относительно оси нижнего участка трубы, ее длина l и диаметр d₁, а также соотношение диаметров трубы и насадка d₁/d₂.

Учесть местные гидравлические сопротивления при входе в трубу ξ₁, в каждом колене ξ₂ и в насадке ξ₃ (все отнесены к скорости в трубе), а также потери на трение по длине трубы с заданным коэффициентом Дарси λ.

---

Решение

Так как по условию задачи в баке задано избыточное давление, то решение этой задачи также целесообразно проводить с использованием избыточных давлений.

Перед записью уравнения Бернулли в соответствии с указаниями к решению задач, выбираем два сечения. В качестве начального сечения принимаем открытую поверхность жидкости в баке и обозначаем его 1-1. В пределах этого сечения скорость жидкости мала, т.е. V ≈ 0, а р = р₀. Конечное сечение выбираем на выходе из насадка и обозначаем его 2-2. В пределах этого сечения V= V₂, p₂ = р_a = 0.

В качестве произвольной горизонтальной плоскости для отсчета нивелирных высот z, выбираем плоскость, проходящую по оси нижнего участка трубы. Тогда z₁ = Н₀, а z₂ = H.

По условию задачи режим течения жидкости в трубе следует считать турбулентным, т.е. α₁ = α₂ = 1. Тогда уравнение Бернулли (15) для сечений 1-1 и 2-2 имеет вид:

.

(30)

Далее найдем величину гидравлических потерь Σh. Для этого необходимо мысленно пройти путь движения жидкости от сечения 1-1 до сечения 2-2 и просуммировать потери в местных сопротивлениях, встретившихся на этом пути, а также прибавить к ним потери на трение по длине трубы. При оценке потерь используем среднюю скорость в трубе V₁. Тогда получим:

,

(31)

где - потери на внезапное сужение при входе в трубу;

- потери в каждом повороте (колене);

- потери в насадке;

- потери на трение по длине трубы.

Тогда сумма потерь напора в соответствии с (31) будет определяться по формуле

.

(32)

Взаимосвязь между скоростями в трубе V₁ и на выходе из насадка V₂ найдем из (13) при известном соотношении d₁/d₂

.

(33)

Подставив формулы (32) и (33) в уравнение (30) и решив его относительно скорости на выходе из насадка, получим

.

Значение скорости на выходе из насадка V₂ вычислим при следующих данных: р₀ = 0,3 МПа; ρ = 1000 кг/м³; Н₀ = 2 м; Н= 8 м; l = 20 м; d₁ = 40 мм; d₁/d₂ = ; ξ₁ = 0,5; ξ₂ = 0,5; ξ₃ = 4 и λ = 0,02. Тогда V₂ = 13,177 м/с ≈ 13,2 м/с.

ЗАДАЧИ

Задача 1. Канистра, заполненная бензином и не содержащая воздуха, нагрелась на солнце до температуры t₂. На сколько повысилось бы давление бензина внутри канистры, если бы она была абсолютно жесткой? Начальная температура бензина t₂. Модуль объемной упругости бензина принять равным К = 1300 МПа, коэффициент температурного расширения β_t = 8∙10^-4 1/град.

вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
t1, 0С	20	20	20	20	20	20	20	20	20	20
t2, 0С	50	30	35	40	45	55	60	65	70	75

вариант	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
t1, 0С	20	20	20	20	20	20	20	20	20	20
t2, 0С	50	30	35	40	45	55	60	65	70	75

Задача 2. В U-образную трубку налиты вода и бензин. Определить плотность бензина, если известны h_б; h_в. Капиллярный эффект не учитывать.

---

Смотрите также файлы

• 1. Революции 1917 года.doc

• Венск К МД Гос МО 1986.doc

• Венск К МД Гос 23.05.69.doc

• Оформление списка 2011.doc

• Самостійне опрацювання (Дс-2).doc