Файл: Диф_ур часть1я!.doc

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Запорізький національний технічний університет

МЕТОДІЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ЗАВДАННЯ

до виконання самостійних робіт з теми: ”Диференційні рівняння першого порядку”

з курсу “Диференційні рівняння”

для студентів спеціальності 6.040303 „Системний аналіз”

денної форми навчання

2008

---

Методичні вказівки та завдання до виконання самостійних робіт з теми: ”Диференційні рівняння першого порядку” з курсу “Диференційні рівняння” для студентів спеціальності 6.040303 „Системний аналіз” денної форми навчання / Укл.: А.В.Савранська, О.В.Корнєєва, А.О.Кузьменко. – Запоріжжя: ЗНТУ,2008. - 38с.

Методичні вказівки містять індивідуальні завдання та теоретичні відомості до самостійних робіт з курсу “Диференційні рівняння”, приклади їх виконання для студентів спеціальності 6.040303 „Системний аналіз” денної форми навчання.

Укладачі: А.В. Савранська, доцент,

О.В.Корнєєва, асистент,

А.О.Кузьменко, асистент.

Рецензенти: О.І. Денисенко, доцент,

В.П. Пінчук, доцент

Експерт: В.Є. Бахрушин, професор

Відповідальний

за випуск Г.В. Корнич, професор.

Затверджено

на засіданні кафедри обчислювальної математики протокол №7 від 16.01.08 р.

---

ЗМІСТ

1 Самостійна робота №1:Методи розв’язання диференційних рівнянь першого порядку.........................................................................................4

1.1 Основні поняття теорії диференційних рівнянь. Метод ізоклін........................................................................................................4

1.2 Диференційні рівняння з розділеними змінними............................6

1.3 Однорідні диференційні рівняння, та рівняння, що до них зводяться...................................................................................................6

1.4 Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі та Ріккаті........................................................................................................7

1.5 Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник............8

1.6 Індивідуальні завдання......................................................................9

1.7 Приклади виконання задач самостійної роботи №1.....................18

2 Самостійна робота №2:Рівняння, які не розв’язані відносно похідної. Рівняння Лагранжа та Клеро. Особливі розв’язки.................................27

2.1 Індивідуальні завдання....................................................................29

2.2 Приклади виконання задач самостійної роботи №2....................32

3 Рекомендована література.....................................................................37

4 Вимоги до оформлення лабораторних робіт.......................................37

Додаток А Зразок титульної сторінки лабораторної роботи.................38

---

1 САМОСТІЙНА РОБОТА № 1

Методи розв’язання диференційних рівнянь першого порядку

1.1 Основні поняття теорії диференційних рівнянь. Метод ізоклін

Диференційним рівнянням називається рівняння, яке пов’язує незалежну змінну , невідому функцію та її похідні , тобто рівняння вигляду

(1.1)

Порядком диференційного рівняння називається порядок найвищої похідної, яка належить рівнянню.

Розв’язком диференційного рівняння називається функція , визначена на проміжку разом зі своїми похідними до порядку включно, і таку, що підстановка функції в диференційне рівняння перетворює його на тотожність по на .

Графік розв’язку диференційного рівняння називається інтегральною кривою його розв’язку.

Рівняння першого порядку має вигляд

(1.2)

або

(1.3)

Теорема існування та єдності.

Нехай дано рівняння (1.3), де функція визначена в деякій області площини , яка містить точку . Якщо функція задовольняє наступним умовам:

а) є неперервною функцією двох змінних і в області ;

б) має часткову похідну , яка є неперервною по і в області , то існує єдиний розв’язок даного рівняння, який задовольняє умові

(1.4)

Умову (1.4) називають початковою.

Задачу знаходження розв’язку диференційного рівняння (1.3), який задовольняє умові (1.4) називають задачею Коші.

Загальним розв’язком диференційного рівняння (1.3) називається функція , яка залежить від однієї довільної змінної і така, що:

а) вона задовольняє рівнянню (1.3) при довільний значеннях сталої ;

б) при довільній початковій умові (1.4) можна підібрати таке значення сталої , що функція буде задовольняти даній початковій умові. При цьому вважається, що точка належить області, де виконуються умови існування та єдиності розв’язку.

Частковим розв’язком диференційного рівняння (1.3) називається розв’язок, який отримується із загального розв’язку при будь-якому значенні довільної сталої .

Співвідношення вигляду , яке неявно визначає загальний розв’язок, називається загальним інтегралом диференційного рівняння першого порядку. Співвідношення, яке отримується із загального інтегралу при конкретному значенні сталої називається частковим інтегралом диференційного рівняння.

Рівняння визначає у кожній точці , де існує функція , значення , тобто кутовий коефіцієнт дотичної до інтегральної кривої в цієї точці. Таким чином, диференційне рівняння визначає поле напрямків. Геометричне місце точок площини , в яких нахил дотичних до розв’язків рівняння однаковий, називається ізокліною. Рівняння ізокліни має вигляд , де - стала.

Для того щоб наближено побудувати розв’язок рівняння , можна накреслити достатню кількість ізоклін, після чого накреслити розв’язки, тобто криві, які в точках перетину з ізоклінами , , . . . мають дотичні з кутовими коефіцієнтами відповідно , . . .

---

Нульова ізокліна дає рівняння ліній, на яких можуть знаходитися точки максимуму та мінімуму інтегральних кривих.

1.2 Диференційні рівняння з розділеними змінними

Диференційне рівняння вигляду

(1.5)

називається рівнянням з розділеними змінними.

Загальний інтеграл рівняння знаходиться інтегруванням лівої та правої частин (1.5).

Диференційне рівняння вигляду

(1.6)

де - сталі, заміною змінних перетворюється в рівняння з розділеними змінними.

При діленні обох частин рівняння на вираз, якій містить невідомі і , можуть бути втрачені розв’язки, що перетворюють цей вираз в нуль.

1.3 Однорідні диференційні рівняння, та рівняння, що до них зводяться

Однорідні диференційні рівняння можуть бути записані у вигляді

, (1.7)

або

, (1.8)

де і - однорідні функції одного й того ж ступеня. Для розв’язання однорідного рівняння можна зробити заміну , яка приводить до рівняння зі змінними, що розділяються.

Рівняння вигляду

(1.9)

зводиться до однорідного за допомогою перенесення початку координат в точку перетину прямих і . Якщо ці прямі не перетинаються, то . Рівняння набуває вигляду і зводиться до рівняння зі змінними, що розділяються заміною або .

Деякі рівняння можна звести до однорідних заміною , де - число, яке треба визначити з умови, щоб рівняння було однорідним. Якщо не знаходиться з цієї умови, то рівняння не можна звести до однорідного вказаним способом.

1.4 Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі та Ріккаті

Рівняння вигляду

(1.10)

називається лінійним. Щоб його розв’язати потрібно спочатку розв’язати рівняння

(1.11)

і в загальному розв’язку, замінити довільну сталу на невідому функцію . Потім вираз, отриманий для , підставити в рівняння (1.10) і знайти функцію .

Деякі рівняння стають лінійними, якщо поміняти місцями функцію та незалежну змінну.

Для розв’язання рівняння Бернуллі

, (1.12)

треба обидві його частини поділити на і зробити заміну , після чого отримаємо лінійне рівняння.

Рівняння Рікатті

(1.13)

в загальному випадку не розв’язується в квадратурах. Якщо відомий один частинний розв’язок , заміною рівняння Рікатті зводиться до рівняння Бернуллі. Іноді частинний розв’язок можна підібрати виходячи з вигляду вільного члену рівняння.

1.5 Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник

Диференційне рівняння вигляду

(1.14)

називається рівнянням в повних диференціалах, якщо його ліва частина є повний диференціал деякої функції

Необхідною та достатньою умовою того, що рівняння (1.14) - рівняння в повних диференціалах є умова ( в деякій області зміни та ). Загальний інтеграл рівняння (1.14) має вигляд

або

(1.15)

При інтегруванні деяких диференційних рівнянь можна згрупувати члени так, що отримуються комбінації, які легко інтегруються.

В деяких випадках, коли рівняння (1.14) не є рівнянням в повних диференціалах, все ж вдається підібрати функцію , після множення на яку ліва частина (1.14) перетворюються на повний диференціал

---