Файл: Диф_ур часть1я!.doc

Перевіримо, чи буде вона особливим розв’язком. Спочатку перевіряємо, чи є вона розв’язком рівняння (2.9). Підставляючи (2.15) в (2.9) отримаємо тотожність, тобто крива (2.15) - розв’язок.

Далі перевіримо, чи є цей розв’язок особовим, тобто чи дотикаються до нього в кожній точці інші розв’язки. Інші розв’язки описуються рівнянням (2.13). Запишемо умови дотику кривих и в точці з абсцисою :

, (2.16)

Для розв’язків (2.13) та (2.15) ці умови набувають вигляду

,

З другої рівності маємо , підставляючи це в першу рівність, отримаємо . Ця рівність виконується при будь-яких . Значить, при кожному розв’язок в точці дотикається до однієї з кривих сімейства (2.13), а саме до тієї кривої, для якої .

Таким чином, в кожній точці розв’язок дотикається до іншого розв’язку (2.13), який з ним не співпадає. Тому, розв’язок - особливий.

Приклад 2.2.3 Розв’язати рівняння Лагранжа

(2.17)

Розв’язок: Покладемо . Тоді . Диференціюючи, знаходимо . Звідки , або . Отримали рівняння першого порядку, лінійне по . Розв’язуючи його, знаходимо . Підставляючи знайдене значення в вираз для , отримаємо

,

Приклад 2.2.4 Розв’язати рівняння Клеро

, (2.18)

Розв’язок: Покладаючи в (2.18) , отримаємо

(2.19)

Диференціюючи, знаходимо , звідки . Дослідимо обидва множника:

1 . Загальний розв’язок

2

Виключаючи з цього рівняння, та з рівняння (2.19), отримаємо . Це також розв’язок рівняння (2.18). Окрім того він є особливим розв’язком.

3 РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

3.1 Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1970.- 280 с.

3.2 Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1970.- 332 с.

3.3 Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1958.- 468 с.

3.4 Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- Минск: Вышейш. шк., 1987.- 320 с.

3.5 Киселев А.И., Краснов М.Л., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- М.: «Высшая школа», 1967.- 312 с.

3.6 Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.- М.: Наука, 1985.- 128 с.

4 ВИМОГИ ДО ОФОРМЛЕННЯ ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ

4.1 Номер варіанта завдання студент обирає за своїм відповідним порядковим номером у списку в журналі або згідно номеру робочого місця(чи комп’ютера) за узгодженням з викладачем.

4.2 Для виконання завдання студент повинен вивчити лекційний матеріал за темою або відповідний розділ обраного підручника.

4.3 Створити відповідний документ, згідно завдання до лабораторної роботи.

4.4 Звіт про кожне завдання повинен містити:

- титульну сторінку лабораторної роботи;

- ціль роботи;

- умову завдання свого варіанту;

- виконаний документ(роздруківка з ПК або оформлений на листі вручну);

- короткі відповіді на контрольні питання.

4.5 Титульний лист повинен бути оформлений згідно Додатка А.

4.6 Виконане і відповідно оформлене завдання студент захищає у викладача.

Додаток А

Зразок титульної сторінки лабораторної роботи

Запорізький національний технічний університет

Кафедра обчислювальної математики

САМОСТІЙНА РОБОТА № *

з курсу “Диференційні рівняння”

Тема: __________________

Роботу виконав

Студент групи _____________________

Роботу перевірив _____________________

Запоріжжя 200_ р.